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中考数学压轴题专项汇编专题6轴对称之最短路径.doc

1、专题6 轴对称之最短路径破解策略 用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法,本质是利用三角形三边关系解决问题常见的题型有:ABl1已知:在直线l同恻有AB两点,在l上找一点P,使得APPB最小作法:如图作点A关于直线l的对称点A,连结AB,与直线,的交点就是点PBAPlA2已知:在直线l同侧有A,B两点,在l上找一点P,使得|APPB|最小作法:如图,连结AB,作线段AB的垂甫平分线与直线l的交点就是点PABlP3已知:在直线l同侧有A,B两点,在l上找一点P使得|APPB|最大ABlABl作法:如图,连结BA并延长,与直线,的交点就是点PlABP4已知:在直线l同侧有A,B两点在l上找两点C

2、,D(其中CD的长度固定,等于ABl所给线段d),使得ACCDDB最小,a作法:如图,先将点A向右平移口个单位长度到点A,作A关于直线l的对称点A,连结AB,与直线l的交点就是点D连结AD,过点A作ACAD,交直线l于点C则AAlBACD此时ACCDDB最小5已知:在MON内有一点P,在边ON,OM上分别找点Q,R,使得PQQRRP最小ONMP作法:如图,分别作点P关于射线OM的对称点P,P,连结PP,与射线ON,PPPONMRQOM的交点就是点Q,RONMP6已知:在MON内有一点P,在边OM,ON上分别找点R,Q使得PRQR最小作法:如图,作点P关于射线OM的对称点P,作PQON,垂足为Q

3、,PQ与射线ON的交点就是RPPQONMR7已知:在MON内有两点P,Q,在边OM,ON上分别找点R,S使得PRRSSQ最小PONMQ作法:如图,作点P关于射线OM的对称点P,作点Q关于射线ON的对称点Q,连纳PQ与射线OM,ON的交点就是R,SPPQONMQSR例题讲解例1 (1)如图1,等边ABC中,AB2,E是AB的中点,AD是高,在AD上作出点P,使BPEP的值最小,并求BPPE的最小值 (2)如图2,已知O的直径CD为2,的度数为60,点B是的中点,在直径CD上作出点P,使BPAP的值最小,并求BPAP的最小值(3)如图3,点P是四边形ABCD内一点,BPm,ABC,分别在边AB,B

4、C上作出点M,N,使PMN的周长最小,并求出这个最小值(用含m,的代数式表示)图1 图2 图3解 (1)(作法是:作点B关于AD的对称点,恰好与点C重合,连接CE交AD于一点,这点就是所求的点P); (2)(作法是:作点B关于CD的对称点E,连接AE交CD于一点,这点就是所求的点P); (3)分别作点P关于边AB,BC的对称点E,F,连结EF,分别与边AB,BC交于点M,N,线段EF的长度即为PMN的周长的最小值 如图,连结BE,BF,EBF2ABC2,BEBFBPm过点B作BHEF于点H,所以EBHEBF,EHFH在RtBEH中,sin,所以EHBEsinmsin,所以EF2msin,即PM

5、PNMNEF2msin例2 如图,在平面直角坐标系xOy中,分别以点A(2,3),B(3,4)为圆心,以1,3为半径作A,B,M,N分别是A,B上的动点,点P为x轴上的动点,求PMPN的最小值解 如图,作A关于x轴的对称图形A,连结AB,与x轴交于点P,与A交点为M,与B交点为N,连结PA,PA与A交点为M,则此时PAPB值最小,从而PMPN值也最小,最小值为线段MN的长如图,易得A(2,3),由两电间距离公式得AB5故MN54,即PMPN54例3 如图1,等边ABC的边长为6,AD,BE是两条边上的高,点O为其交点P,N 分别是BE,BC上的动点图1 图2(1)当PNPD的长度取得最小值时,

6、求BP的长度;(2)如图2,若点Q在线段BO上,BQ1,求QNNPPD的最小值图3 图4 解 (1)由等边三角形轴对称的性质可得,点D关于BE的对称点D在AB上,且为AB的中点 如图3,过点D作BC的垂线,垂足为N,DN交BE于点P,连结PD,则PD PD 此时DN的长度即为PNPD长度的最小值 显然DNAD,即点N为BD的中点 所以BNBC,从而BP(2)如图4,作点Q关于BC的对称点Q,则BQ1,CBQ30点D是点D关于BE的对称点,连接DQ,交BE于点P,交BC于点N 此时DQ即为QNNPPD的最小值 显然DBQ90, 所以DQ, 即QNNPPD的最小值为进阶训练1两平面镜OM,ON相交

7、于点O,且OMON,一束光线从点A出发,经过平面镜反射后,恰好经过点B,光线可以只经过平面镜OM反射后过点B,也可以只经过平面镜ON反射后过点B除了这两种作法外,还有其他方法吗?如果有,请在图中画出光线的行进路线,保留作图痕迹,并简要说明理由答案:作点A关于OM的对称点A,作点B关于ON 的对称点B,连接AB,与OM,ON分别交于点D,C光线行进路线如图2 (1)在A和B两地之间有一条河,现要在这条河上建一座桥CD,桥建在何处才能使从A到B的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)(2)如图2,在A和B两地之间有两条河,现要在这两条河上各建一座桥,分别是MN和PQ, 桥分别建在何

8、处才能使从A到B的路径最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河岸垂直)解:(1)如图,过点B作BB垂直于河岸,且使BB长度等于这条河宽,连接AB交河的一岸于点C,过点C作CD垂直于河岸,与另一岸交点为D,则CD即为架桥最合适的位置(2)如图,过点A作AA垂直于距点A较近的河岸,且使AA长等于该河宽,同样,过点B作BB垂直于距点B较近的河岸,且使BB长等于河宽,连接AB分别交两条河相邻的河岸于点N, P, 过点N作NM垂直于该河河岸,与另一岸交点为M, 过P作PQ垂直于该河河岸,与另一岸交点为Q, 则MN, PQ即为架桥最合适的位置图1 图23 如图,直线分别与x轴, y轴交于点A, B,抛物线yx22x1与y轴交于点C 若点E在抛物线yx22x1的对称轴上移动,点F在直线AB上移动,求CEEF的最小值提示:作点C关于对称轴x1的对称点C, 则C(2,1) 过点C作CFAB于点F, 且于对称轴交于点E, 此时FC的长为CEEF的最小值 连接CB, CA, 作CKx轴于点K, 则SABCSABDS梯形CKOBSCKAABFC,解得FC, 则CEEF的最小值是

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