1、专题6 轴对称之最短路径破解策略 用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关系解决问题常见的题型有：ABl1已知：在直线l同恻有AB两点，在l上找一点P，使得APPB最小作法：如图作点A关于直线l的对称点A，连结AB，与直线，的交点就是点PBAPlA2已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P，使得|APPB|最小作法：如图，连结AB，作线段AB的垂甫平分线与直线l的交点就是点PABlP3已知：在直线l同侧有A，B两点，在l上找一点P使得|APPB|最大ABlABl作法：如图，连结BA并延长，与直线，的交点就是点PlABP4已知：在直线l同侧有A，B两点在l上找两点C
2、，D（其中CD的长度固定，等于ABl所给线段d），使得ACCDDB最小，a作法：如图，先将点A向右平移口个单位长度到点A，作A关于直线l的对称点A，连结AB，与直线l的交点就是点D连结AD，过点A作ACAD，交直线l于点C则AAlBACD此时ACCDDB最小5已知：在MON内有一点P，在边ON，OM上分别找点Q，R，使得PQQRRP最小ONMP作法：如图，分别作点P关于射线OM的对称点P，P，连结PP，与射线ON，PPPONMRQOM的交点就是点Q，RONMP6已知：在MON内有一点P，在边OM，ON上分别找点R，Q使得PRQR最小作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P，作PQON，垂足为Q
3、，PQ与射线ON的交点就是RPPQONMR7已知：在MON内有两点P，Q，在边OM，ON上分别找点R，S使得PRRSSQ最小PONMQ作法：如图，作点P关于射线OM的对称点P，作点Q关于射线ON的对称点Q，连纳PQ与射线OM，ON的交点就是R，SPPQONMQSR例题讲解例1 （1）如图1，等边ABC中，AB2，E是AB的中点，AD是高，在AD上作出点P，使BPEP的值最小，并求BPPE的最小值 （2）如图2，已知O的直径CD为2，的度数为60，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BPAP的值最小，并求BPAP的最小值（3）如图3，点P是四边形ABCD内一点，BPm，ABC，分别在边AB，B
4、C上作出点M，N，使PMN的周长最小，并求出这个最小值（用含m，的代数式表示）图1 图2 图3解 （1）（作法是：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，这点就是所求的点P）； （2）（作法是：作点B关于CD的对称点E，连接AE交CD于一点，这点就是所求的点P）； （3）分别作点P关于边AB，BC的对称点E，F，连结EF，分别与边AB，BC交于点M，N，线段EF的长度即为PMN的周长的最小值 如图，连结BE，BF，EBF2ABC2，BEBFBPm过点B作BHEF于点H，所以EBHEBF，EHFH在RtBEH中，sin，所以EHBEsinmsin，所以EF2msin，即PM
5、PNMNEF2msin例2 如图，在平面直角坐标系xOy中，分别以点A（2，3），B（3，4）为圆心，以1，3为半径作A，B，M，N分别是A，B上的动点，点P为x轴上的动点，求PMPN的最小值解 如图，作A关于x轴的对称图形A，连结AB，与x轴交于点P，与A交点为M，与B交点为N，连结PA，PA与A交点为M，则此时PAPB值最小，从而PMPN值也最小，最小值为线段MN的长如图，易得A（2，3），由两电间距离公式得AB5故MN54，即PMPN54例3 如图1，等边ABC的边长为6，AD，BE是两条边上的高，点O为其交点P，N 分别是BE，BC上的动点图1 图2（1）当PNPD的长度取得最小值时，
6、求BP的长度；（2）如图2，若点Q在线段BO上，BQ1，求QNNPPD的最小值图3 图4 解 （1）由等边三角形轴对称的性质可得，点D关于BE的对称点D在AB上，且为AB的中点 如图3，过点D作BC的垂线，垂足为N，DN交BE于点P，连结PD，则PD PD 此时DN的长度即为PNPD长度的最小值 显然DNAD，即点N为BD的中点 所以BNBC，从而BP（2）如图4，作点Q关于BC的对称点Q，则BQ1，CBQ30点D是点D关于BE的对称点，连接DQ，交BE于点P，交BC于点N 此时DQ即为QNNPPD的最小值 显然DBQ90， 所以DQ， 即QNNPPD的最小值为进阶训练1两平面镜OM，ON相交
7、于点O，且OMON，一束光线从点A出发，经过平面镜反射后，恰好经过点B，光线可以只经过平面镜OM反射后过点B，也可以只经过平面镜ON反射后过点B除了这两种作法外，还有其他方法吗？如果有，请在图中画出光线的行进路线，保留作图痕迹，并简要说明理由答案：作点A关于OM的对称点A，作点B关于ON 的对称点B，连接AB，与OM，ON分别交于点D，C光线行进路线如图2 （1）在A和B两地之间有一条河，现要在这条河上建一座桥CD，桥建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）（2）如图2，在A和B两地之间有两条河，现要在这两条河上各建一座桥，分别是MN和PQ， 桥分别建在何
8、处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）解：（1）如图，过点B作BB垂直于河岸，且使BB长度等于这条河宽，连接AB交河的一岸于点C，过点C作CD垂直于河岸，与另一岸交点为D，则CD即为架桥最合适的位置（2）如图，过点A作AA垂直于距点A较近的河岸，且使AA长等于该河宽，同样，过点B作BB垂直于距点B较近的河岸，且使BB长等于河宽，连接AB分别交两条河相邻的河岸于点N， P， 过点N作NM垂直于该河河岸，与另一岸交点为M， 过P作PQ垂直于该河河岸，与另一岸交点为Q， 则MN， PQ即为架桥最合适的位置图1 图23 如图，直线分别与x轴， y轴交于点A， B，抛物线yx22x1与y轴交于点C 若点E在抛物线yx22x1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CEEF的最小值提示：作点C关于对称轴x1的对称点C， 则C（2，1） 过点C作CFAB于点F， 且于对称轴交于点E， 此时FC的长为CEEF的最小值 连接CB， CA， 作CKx轴于点K， 则SABCSABDS梯形CKOBSCKAABFC，解得FC， 则CEEF的最小值是
