1、实用标准文档空间向量在立体几何中的应用【重要知识】一、 求平面法向量的方法与步骤:1、 选向量:求平面的法向量时,要选取两个相交的向量,如2、 设坐标:设平面法向量的坐标为3、 解方程:联立方程组,并解方程组4、 定结论:求出的法向量中三个坐标不是具体的数值,而是比例关系。设定某个坐标为常 数得到其他坐标二、 利用向量求空间角:1、求异面直线所成的角: 设为异面直线,点为上任意两点,点为上任意两点,所成的角为,则【注】由于异面直线所成的角的范围是:,因此2、 求直线与平面所成的角: 设直线的方向向量为,平面的法向量为,直线与平面所成的角为,与所成的角为,则【注】由于直线与平面所成的角的范围是:
2、,因此3、 求二面角: 设分别为平面的法向量,二面角为,则或,其中三、 利用向量求空间距离:1、 求点到平面的距离 设平面的法向量为,则点到平面的距离为2、 求两条异面直线的距离 设是两条异面直线,是公垂线段的方向向量,分别为上的任意两点,则的距离为【重要题型】1、(2012广东,理)如图所示,在四棱锥中,底面为矩形,点在线段上,(1)证明:(2)若,求二面角的正切值 2、(2013广东,理)如图,在等腰三角形中,分别是上的点,为的中点。将沿折起,得到如图所示的四棱锥,其中。(1)证明:(2)求二面角的平面角的余弦值3、(2009广东,理)如图,已知正方体的棱长为2,点是正方形的中心,点分别是
3、棱、的中点,设分别是点在平面内的正投影。(1)求以为顶点,以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积;(2)证明:直线;(3)求异面直线与所成角的正弦值。4、(2013课标,理)如图,直三棱柱中,分别是的中点,(1)证明:;(2)求二面角的正弦值.5、(2012辽宁,理)如图,直三棱柱,点分别为和的中点(1)证明:;(2)若二面角为直二面角,求的值.6、(2010辽宁,理)已知三棱锥中,为上一点,分别为的中点。(1)证明:;(2)求与平面所成角的大小. 7、(2010广东,理)如图,是半径为的半圆,为直径,点为的中点,点和点为线段的三等分点,平面外一点满足,(1)证明:;(2)已知点分别为
4、线段上的点,使得,求平面与平面所成二面角的正弦值.8、(2013汕头高二统考,理)在四棱锥中,平面,是正三角形,与的交点恰好是中点,又,点在线段上,且(1)求证:;(2)求证:平面;(3)求二面角的余弦值【参考答案】1、(1)证明:,又,(2)解:, 是正方形 建立如图所示的坐标系,则, ,设平面的一个法向量为则,即令,则,即设平面的一个法向量为,则,即令,则,即 设二面角的大小为,则, 2、(1)证明:连接 由图得, 在中,由余弦定理可得, ,即 由翻折的不变性可知, , 同理可证, 又,(2)解:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示 则 所以, 设平面的一个法向量为,则 即 令,则,即由
5、(1)知,为平面的一个法向量即求二面角的平面角的余弦值为3、(1)解:依题意得,且四边形在平面内的正投影为四边形 点是正方形的中心, 故所求的四棱锥的体积为(2)证明:由(1)知,与都是等腰直角三角形 ,即 又, ,(3)解:以为原点,分别为轴,轴,轴的正向,为1个单位长度,建立空间直角坐标系,则,4、(1)证明:连接交于点,则为中点 又是中点,连接,则 ,(2)由得,以为坐标原点,的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,设,则, ,设是平面的法向量,则,即,可取同理,设是平面的法向量,则,即,可取从而,故即二面角的正弦值为5、(1)证明:连接 三棱柱为直三棱柱,为的中点 为的中点 又
6、为的中点 , (2)以为坐标原点,分别以直线为轴,轴,轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示:设,则于是,因此,设是平面的法向量,由得,可取同理,设是平面的法向量,由得,可取为直二面角,即,解得6、(1)证明:设,以为原点,分别为轴正方向建立空间直角坐标系,如图所示:则由可知,(2)设为平面的一个法向量由得,可取设与平面所成角为,则7、(1)证明:为 的中点,为直径 又, ,(2)如图,以为原点,分别为轴正方向,过作平面的垂线,建立空间直角坐标系,连接由此得,设平面的法向量为,由得, ,可取同理,设平面的法向量为,可取平面与平面所成二面角的正弦值为8、证明:(1) 因为是正三角形,是中点,所以,即1分又因为,平面,2分又,所以平面3分又平面,所以4分(2)在正三角形中,5分在中,因为为中点,所以,所以,所以6分在等腰直角三角形中,所以,所以8分又平面,平面,所以平面9分(3)因为,所以,分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系,所以10分由(2)可知,为平面的法向量11分,设平面的一个法向量为,则,即,令则平面的一个法向量为12分设二面角的大小为(显然为锐角), 则所以二面角余弦值为14分文案大全