1、实用标准文档空间向量在立体几何中的应用【重要知识】一、 求平面法向量的方法与步骤：1、 选向量：求平面的法向量时，要选取两个相交的向量，如2、 设坐标：设平面法向量的坐标为3、 解方程：联立方程组，并解方程组4、 定结论：求出的法向量中三个坐标不是具体的数值，而是比例关系。设定某个坐标为常 数得到其他坐标二、 利用向量求空间角：1、求异面直线所成的角： 设为异面直线，点为上任意两点，点为上任意两点，所成的角为，则【注】由于异面直线所成的角的范围是：，因此2、 求直线与平面所成的角： 设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与所成的角为，则【注】由于直线与平面所成的角的范围是：
2、，因此3、 求二面角： 设分别为平面的法向量，二面角为，则或，其中三、 利用向量求空间距离：1、 求点到平面的距离 设平面的法向量为，则点到平面的距离为2、 求两条异面直线的距离 设是两条异面直线，是公垂线段的方向向量，分别为上的任意两点，则的距离为【重要题型】1、（2012广东，理）如图所示，在四棱锥中，底面为矩形，点在线段上，（1）证明：（2）若，求二面角的正切值 2、（2013广东，理）如图，在等腰三角形中，分别是上的点，为的中点。将沿折起，得到如图所示的四棱锥，其中。（1）证明：（2）求二面角的平面角的余弦值3、（2009广东，理）如图，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点分别是
3、棱、的中点，设分别是点在平面内的正投影。（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线；（3）求异面直线与所成角的正弦值。4、（2013课标，理）如图，直三棱柱中，分别是的中点，（1）证明：；（2）求二面角的正弦值.5、（2012辽宁，理）如图，直三棱柱，点分别为和的中点（1）证明：；（2）若二面角为直二面角，求的值.6、（2010辽宁，理）已知三棱锥中，为上一点，分别为的中点。（1）证明：；（2）求与平面所成角的大小. 7、（2010广东，理）如图，是半径为的半圆，为直径，点为的中点，点和点为线段的三等分点，平面外一点满足，（1）证明：；（2）已知点分别为
4、线段上的点，使得，求平面与平面所成二面角的正弦值.8、（2013汕头高二统考，理）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，点在线段上，且（1）求证：；（2）求证：平面;（3）求二面角的余弦值【参考答案】1、（1）证明：，又，（2）解：， 是正方形 建立如图所示的坐标系，则， ，设平面的一个法向量为则，即令，则，即设平面的一个法向量为，则，即令，则，即 设二面角的大小为，则， 2、（1）证明：连接 由图得， 在中，由余弦定理可得， ，即 由翻折的不变性可知， ， 同理可证， 又，（2）解：以点为原点，建立空间直角坐标系如图所示 则 所以， 设平面的一个法向量为，则 即 令，则，即由
5、（1）知，为平面的一个法向量即求二面角的平面角的余弦值为3、（1）解：依题意得，且四边形在平面内的正投影为四边形 点是正方形的中心， 故所求的四棱锥的体积为（2）证明：由（1）知，与都是等腰直角三角形 ，即 又， ，（3）解：以为原点，分别为轴，轴，轴的正向，为1个单位长度，建立空间直角坐标系，则，4、（1）证明：连接交于点，则为中点 又是中点，连接，则 ，（2）由得，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则， ，设是平面的法向量，则，即，可取同理，设是平面的法向量，则，即，可取从而，故即二面角的正弦值为5、（1）证明：连接 三棱柱为直三棱柱，为的中点 为的中点 又
6、为的中点 ， （2）以为坐标原点，分别以直线为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：设，则于是，因此，设是平面的法向量，由得，可取同理，设是平面的法向量，由得，可取为直二面角，即，解得6、（1）证明：设，以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示：则由可知，（2）设为平面的一个法向量由得，可取设与平面所成角为，则7、（1）证明：为 的中点，为直径 又， ，（2）如图，以为原点，分别为轴正方向，过作平面的垂线，建立空间直角坐标系，连接由此得，设平面的法向量为，由得， ，可取同理，设平面的法向量为，可取平面与平面所成二面角的正弦值为8、证明：（1） 因为是正三角形，是中点，所以,即1分又因为，平面，2分又，所以平面3分又平面，所以4分（2）在正三角形中，5分在中，因为为中点，所以，所以，所以6分在等腰直角三角形中，所以，所以8分又平面，平面，所以平面9分（3）因为，所以，分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系，所以10分由（2）可知，为平面的法向量11分，设平面的一个法向量为,则，即，令则平面的一个法向量为12分设二面角的大小为(显然为锐角)， 则所以二面角余弦值为14分文案大全
