1、2022届高考数学一轮复习立体几何题型专练-解答题C卷1.如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的菱形，平面平面ABCD，F为棱PD的中点.（1）在棱AB上是否存在一点E，使得平面PCE？并说明理由；（2）当二面角的余弦值为时，求直线PB与平面ABCD所成的角.2.如图，在三棱柱中，四边形是边长为4的正方形，平面平面，.（1）求证：平面ABC；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）证明：在线段上存在点D（不与B、重合），使得，并求的值.3.如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，侧棱底面ABCD，E为PD的中点.（1）求异面直线AC与PB间的距离；（2）在侧面PAB内找一点N，使平面PAC，并
2、求出N到AB和AP的距离.4.如图，在四棱锥中，四边形ABCD是等腰梯形，,，M,N分别是AB,AD的中点且，平面平面ABCD.（1）证明：平面ABCD；（2）已知三棱锥的体积为，求二面角的余弦值.5.如图所示的几何体中，.（1）求证：平面ABCD；（2）若，点F在EC上，且满足，求平面FAD与平面ADC的夹角的余弦值.6.如图，正三棱柱中，各棱长均为4，N是的中点.（1）求点N到直线AB的距离；（2）求点到平面ABN的距离.7.如图，在直三棱柱中，点E、F分别为、AB的中点.（1）证明：平面；（2）求与平面AEF所成角的正弦值.8.如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是菱形，.（1）
3、求证：平面PAC；（2）若，求PB与AC所成角的余弦值.答案以及解析1.答案：（1）在棱AB上存在点E，使得平面PCE，且E为棱AB的中点.理由如下：如图，取PC的中点Q，连接EQ、FQ，由题意得，且，因为且，所以且.所以四边形AEQF为平行四边形.所以.又平面PCE，平面PCE，所以平面PCE.（2）连接BD、DE.由题意知为正三角形，所以，即，又，所以，且平面平面ABCD，平面平面，所以平面ABCD，故以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，设，则由题意知，则，设平面FBC的法向量为.则令，则，所以，易知平面DFC的一个法向量，因为二面角的余弦值为，所以，即，解得（负值舍去）.因为平面
4、ABCD，所以PB在平面ABCD内的射影为BD，所以为直线PB与平面ABCD所成的角，由题意知在中，所以，所以直线PB与平面ABCD所成的角为45.2.答案：（1）证明：四边形是正方形，.又平面平面，平面平面，平面ABC.（2）由，得，.建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，平面的法向量为.则令，则，.令，则，.平面与平面夹角的余弦值为.（3）证明：设点D的竖坐标为，在平面中作于点E，易得，由（1）知，即，解得.3.答案：（1）由题意得，.以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，则，.设异面直线AC、PB的公垂线的方向向
5、量为，则，令，则，即.设异面直线AC、PB之间的距离为d，则.（2）设在侧面PAB内存在一点，使平面PAC，由（1）知，解得，N到AB的距离为1，N到AP的距离为.4.答案：（1）连接DM，显然且，四边形BCDM为平行四边形，且，是正三角形，平面平面ABCD，且平面平面，平面PAD，平面PAD，又，且，平面ABCD.（2）连接BD，易知，.在中，.故建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面PNC的一个法向量，；设平面PNM的一个法向量，；，设二面角所成的角为，.5.答案：（1）证明：在中，由余弦定理可得，所以（负值舍去），因为，所以是直角三角形，.又，所以平面ABE.因为平面ABE，所以，因为
6、，所以平面ABCD.（2）由题易得，由（1）知，平面ABE，所以平面平面ABE，如图，以B为原点，过点B且垂直于平面BEC的直线为z轴，BE，BC所在直线分别为x，y轴，建立空间直角坐标系Bxyz，则，因为，所以，易知，设平面FAD的法向量为，则即令，则，所以.由（1）知平面ABCD，所以为平面ABCD的一个法向量.设平面FAD与平面ADC的夹角为，则，所以平面FAD与平面ADC的夹角的余弦值为.6.答案：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则，是的中点，.，则，.设点N到直线AB的距离为，则.（2）设平面ABN的法向量为，则由，得令，则，即.易知，设点到平面ABN的距离为，则.7.答案：（1）证明：如图，连接、，因为三棱柱为直三棱柱，所以E为的中点.又因为F为AB的中点，所以.又平面，平面，所以平面.（2）以为原点，、所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面AEF的法向量为，则令，得，记与平面AEF所成角为，则.8.答案：（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以.因为平面ABCD，平面ABCD，所以.又因为，所以平面PAC.（2）设.因为，所以，.如图，以O为坐标原点，直线OB，OC分别为x轴，y轴，过点O平行于PA的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则，所以，.设PB与AC所成角为，则，即PB与AC所成角的余弦值为.
