1、2022届高考数学一轮复习立体几何题型专练-解答题C卷1.如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为2的菱形,平面平面ABCD,F为棱PD的中点.(1)在棱AB上是否存在一点E,使得平面PCE?并说明理由;(2)当二面角的余弦值为时,求直线PB与平面ABCD所成的角.2.如图,在三棱柱中,四边形是边长为4的正方形,平面平面,.(1)求证:平面ABC;(2)求平面与平面夹角的余弦值;(3)证明:在线段上存在点D(不与B、重合),使得,并求的值.3.如图,在四棱锥中,底面ABCD为矩形,侧棱底面ABCD,E为PD的中点.(1)求异面直线AC与PB间的距离;(2)在侧面PAB内找一点N,使平面PAC,并
2、求出N到AB和AP的距离.4.如图,在四棱锥中,四边形ABCD是等腰梯形,,,M,N分别是AB,AD的中点且,平面平面ABCD.(1)证明:平面ABCD;(2)已知三棱锥的体积为,求二面角的余弦值.5.如图所示的几何体中,.(1)求证:平面ABCD;(2)若,点F在EC上,且满足,求平面FAD与平面ADC的夹角的余弦值.6.如图,正三棱柱中,各棱长均为4,N是的中点.(1)求点N到直线AB的距离;(2)求点到平面ABN的距离.7.如图,在直三棱柱中,点E、F分别为、AB的中点.(1)证明:平面;(2)求与平面AEF所成角的正弦值.8.如图,在四棱锥中,平面ABCD,底面ABCD是菱形,.(1)
3、求证:平面PAC;(2)若,求PB与AC所成角的余弦值.答案以及解析1.答案:(1)在棱AB上存在点E,使得平面PCE,且E为棱AB的中点.理由如下:如图,取PC的中点Q,连接EQ、FQ,由题意得,且,因为且,所以且.所以四边形AEQF为平行四边形.所以.又平面PCE,平面PCE,所以平面PCE.(2)连接BD、DE.由题意知为正三角形,所以,即,又,所以,且平面平面ABCD,平面平面,所以平面ABCD,故以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,设,则由题意知,则,设平面FBC的法向量为.则令,则,所以,易知平面DFC的一个法向量,因为二面角的余弦值为,所以,即,解得(负值舍去).因为平面
4、ABCD,所以PB在平面ABCD内的射影为BD,所以为直线PB与平面ABCD所成的角,由题意知在中,所以,所以直线PB与平面ABCD所成的角为45.2.答案:(1)证明:四边形是正方形,.又平面平面,平面平面,平面ABC.(2)由,得,.建立如图所示的空间直角坐标系,则,.设平面的法向量为,平面的法向量为.则令,则,.令,则,.平面与平面夹角的余弦值为.(3)证明:设点D的竖坐标为,在平面中作于点E,易得,由(1)知,即,解得.3.答案:(1)由题意得,.以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,如图,则,.设异面直线AC、PB的公垂线的方向向
5、量为,则,令,则,即.设异面直线AC、PB之间的距离为d,则.(2)设在侧面PAB内存在一点,使平面PAC,由(1)知,解得,N到AB的距离为1,N到AP的距离为.4.答案:(1)连接DM,显然且,四边形BCDM为平行四边形,且,是正三角形,平面平面ABCD,且平面平面,平面PAD,平面PAD,又,且,平面ABCD.(2)连接BD,易知,.在中,.故建立如图所示的空间直角坐标系,则,设平面PNC的一个法向量,;设平面PNM的一个法向量,;,设二面角所成的角为,.5.答案:(1)证明:在中,由余弦定理可得,所以(负值舍去),因为,所以是直角三角形,.又,所以平面ABE.因为平面ABE,所以,因为
6、,所以平面ABCD.(2)由题易得,由(1)知,平面ABE,所以平面平面ABE,如图,以B为原点,过点B且垂直于平面BEC的直线为z轴,BE,BC所在直线分别为x,y轴,建立空间直角坐标系Bxyz,则,因为,所以,易知,设平面FAD的法向量为,则即令,则,所以.由(1)知平面ABCD,所以为平面ABCD的一个法向量.设平面FAD与平面ADC的夹角为,则,所以平面FAD与平面ADC的夹角的余弦值为.6.答案:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则,是的中点,.,则,.设点N到直线AB的距离为,则.(2)设平面ABN的法向量为,则由,得令,则,即.易知,设点到平面ABN的距离为,则.7.答案:(1)证明:如图,连接、,因为三棱柱为直三棱柱,所以E为的中点.又因为F为AB的中点,所以.又平面,平面,所以平面.(2)以为原点,、所在直线分别为x、y、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以,设平面AEF的法向量为,则令,得,记与平面AEF所成角为,则.8.答案:(1)证明:因为四边形ABCD是菱形,所以.因为平面ABCD,平面ABCD,所以.又因为,所以平面PAC.(2)设.因为,所以,.如图,以O为坐标原点,直线OB,OC分别为x轴,y轴,过点O平行于PA的直线为z轴,建立空间直角坐标系Oxyz,则,所以,.设PB与AC所成角为,则,即PB与AC所成角的余弦值为.