1、第三节圆的方程1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.目 录CONTENTS123知识 体系构建课时 跟踪检测考点 分类突破目录目录PART1知识 体系构建必备知识 系统梳理 基础重落实课前自修目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）1.方程 x 2 y 2 ax 2 ay 2 a 2 a 10表示圆，则 a 的取值范围是（）A.（，2）C.（2，0）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）2.圆 C：x 2 y 2
2、2 x 6 y 0的圆心坐标为 ；半径 r .3.若坐标原点在圆（x m）2（y m）24的内部，则实数 m 的取值范围为 .（1，3）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）4.若圆的方程为 x 2 y 2 kx 2 y k 20，则当圆的面积最大时，圆心坐标为 .（0，1）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）5.（2024徐州模拟）已知圆经过点（3，0）和（1，2），圆心在直线 x 2 y 10上，则圆的标准方程为 .（x 1）2 y 24目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）1.以 A（x 1，y 1），B（x 2，y 2）为直径端点
3、的圆的方程为（x x1）（x x 2）（y y 1）（y y 2）0.2.圆心在任一弦的垂直平分线上.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）1.以 A（3，1），B（2，2）为直径的圆的方程是（）A.x 2 y 2 x y 80B.x 2 y 2 x y 90C.x 2 y 2 x y 80D.x 2 y 2 x y 90解析：由结论1得，圆的方程为（x 3）（x 2）（y 1）（y 2）0，整理得 x 2 y 2 x y 80，故选A.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）2.点 M，N 是圆 x 2 y 2 kx 2 y 40上的不同两点，且点 M，N
4、关于直线 x y 10对称，则该圆的半径等于（）C.3D.9目录目录PART2考点 分类突破精选考点 典例研析 技法重悟通课堂演练目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）求圆的方程1.圆心在 y 轴上，半径长为1，且过点 A（1，2）的圆的方程是（）A.x 2（y 2）21B.x 2（y 2）21C.（x 1）2（y 3）21D.x 2（y 3）24解析：根据题意可设圆的方程为 x 2（y b）21，因为圆过点 A（1，2），所以12（2 b）21，解得 b 2，所以所求圆的方程为 x 2（y 2）21.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）2.已知圆 C 的
5、圆心坐标是（0，m），若直线2 x y 30与圆 C 相切于点 A（2，7），则圆 C 的标准方程为 .x 2（y 8）25目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）3.（2024全国甲卷14题）设点 M 在直线2 x y 10上，点（3，0）和（0，1）均在 M 上，则 M 的方程为 .（x 1）2（y 1）25目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）M 的方程为 x 2 y 22 x 2 y 30，即（x 1）2（y 1）25.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）练后悟通求圆的方程的两
6、种方法目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）与圆有关的轨迹问题【例1】（1）点 M 与两个定点 O（0，0），P（2，0）的距离的比为3 1，则点 M 的轨迹方程为 ；目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）（2）已知Rt ABC 的斜边为 AB，且 A（1，0），B（3，0），则直角顶点 C 的轨迹方程为 .（x 1）2 y 24（y 0）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）解题技法求解与圆有关的轨迹（方程）的方法（1）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；（2）定义法：根据圆、直
7、线等定义列方程；（3）几何法：利用圆的几何性质列方程；（4）代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式求解.提醒要注意题目设问是求动点的轨迹还是动点的轨迹方程.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）1.过圆 C：（x 3）2（y 4）24外一点 P（x，y）引该圆的一条切线，切点为 Q，PQ 的长度等于点 P 到原点 O 的距离，则点 P 的轨迹方程为（）A.8 x 6 y 210B.8 x 6 y 210C.6 x 8 y 210D.6 x 8 y 210目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）解析：由题意得，圆心 C 的坐标为（3，4），半径
8、 r 2，如图.因为 PQ PO，且 PQ CQ，所以 PO 2 r 2 PC 2，所以 x 2 y 24（x 3）2（y 4）2，即6 x 8 y 210，所以点 P 的轨迹方程为6 x 8 y 210.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）2.（2024烟台一模）若长为10的线段的两个端点 A，B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，则线段 AB 的中点 M 的轨迹为 .以（0，0）为圆心，5为半径的圆目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）与圆有关的最值问题技法1利用几何性质求最值【例2】（2024绍兴一模）已知点（x，y）在圆（x 2）2（y 3）21上.
9、目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）（2）求 x y 的最大值和最小值；目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）解题技法与圆有关的最值问题的三种几何转化法目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）技法2利用对称性求最值【例3】（2024衡水联考）已知 A（0，2），点 P 在直线 x y 20上，点 Q 在圆 C：x 2 y 24 x 2 y 0上，则 PA PQ 的最小值是 .目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）
10、目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）解题技法求解形如 PM PN（其中 M，N 均为动点）且与圆 C 上动点有关的折线段的最值问题的基本思路：（1）“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；（2）“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）12目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）解题技法根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数或基本不等式的性质求最值.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（
11、提升版）1.（2024全国乙卷11题）已知实数 x，y 满足 x 2 y 24 x 2 y 40，则 x y 的最大值是（）B.4D.7目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）2.已知动点 P（x，y）满足 x 2 y 2 x y 0，O 为坐标原点，则 PO 的最大值是 .目录目录PART3课时 跟踪检测关键能力 分层施练 素养重提升课后练习目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）1.设 a R，则“a 2”是“方程 x 2 y 2 ax 2 y 2
12、0表示圆”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件1 12 23 34 45 56 67 78 89 91010111112121313141415151616171718181919202021212222232324242525262627272828目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）解析：方程 x 2 y 2 ax 2 y 20表示圆，则有 D 2 E 24 F a 2480，解得 a 2或 a 2，则“a 2”是“a 2或 a 2”的充分不必要条件，所以“a 2”是“方程 x 2 y 2 ax 2 y 20表示圆”的充分不必要
13、条件.故选A.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）2.（2024宿迁模拟）圆 x 2 y 24 x 10关于点（0，0）对称的圆的标准方程为（）A.x 2 y 24 x 10B.x 2（y 2）25C.x 2 y 28 x 150D.（x 2）2 y 25目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）3.点 A 为圆（x 1）2 y 21上的动点，PA 是圆的切线，PA 1，则点 P 的轨迹方程是（）A.（x 1）2 y 24B.（x 1）2 y 22C.y 22 x D.y 22 x 目录目录高中总高中总复
14、习复习数学（提升版）数学（提升版）4.（2024兰州模拟）若点（a 1，a 1）在圆 x 2 y 22 ay 40的内部，则 a 的取值范围是（）A.a 1B.0 a 1D.a 1目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）5.（多选）已知 ABC 的三个顶点为 A（1，2），B（2，1），C（3，4），则下列关于 ABC 的外接圆圆 M 的说法正确的是（）A.圆 M 的圆心坐标为（1，3）C.圆 M 关于直线 x y 0对称D.点（2，3）在圆 M 内目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）6.（多选）已知圆
15、 M：x 2 y 24 x 10，点 P（x，y）是圆 M 上的动点，则下列说法正确的有（）A.圆 M 关于直线 x 3 y 20对称目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）30，42目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）（1）求圆心为 C 的圆的标准方程；目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）（2）设点 P 在圆 C 上，点 Q 在直线 x y 50上，求 PQ 的最小值.目
16、录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）A.（0，2B.1，2C.2，3D.1，3目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）11.（多选）设有一组圆 Ck：（x k）2（y k）24（k R），下列命题正确的是（）A.不论 k 如何变化，圆心 C 始终在一条直线上B.所有圆 Ck 均不经过点（3，0）C.经过点（2，2）的圆 Ck 有且只有一个D
17、.所有圆的面积均为4目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）解析：圆心坐标为（k，k），在直线 y x 上，A正确；令（3 k）2（0 k）24，化简得2 k 26 k 50，364040，2 k 26 k 50无实数根，B正确；由（2 k）2（2 k）24，化简得 k 24 k 20，16880，有两个不相等实根，经过点（2，2）的圆 Ck 有两个，C错误；由圆的半径为2，得圆的面积为4，D正确.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）A.点 P 的轨迹方程为（x 3）2 y 28目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习
18、复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）3目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）14.已知点 P（2，2），圆 C：x 2 y 28 y 0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 M，O 为坐标原点.（1）求点 M 的轨迹方程；目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）解：圆 C：x 2（y 4）242，故圆心为 C（0，4），半径为4.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）（2）当 OP OM 时，求 l 的方程及 POM 的面积.目录目录高中总高中总复习复
19、习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）15.太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功到武术，太极图无不跃然其上.这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”.在如图所示的阴阳鱼图案中，目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）16.在平面直角坐标系 xOy 中，曲线：y x 2 mx 2 m（m R）与 x 轴交于不同的两点 A，B，曲线
20、与 y 轴交于点 C.（1）是否存在以 AB 为直径的圆过点 C？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由；解：由曲线：y x 2 mx 2 m（m R），令 y 0，得 x 2 mx 2 m 0.设 A（x 1，0），B（x 2，0），可得 m 28 m 0，则 m 0或 m 8.x 1 x 2 m，x 1 x 22 m.令 x 0，得 y 2 m，即 C（0，2 m）.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）（2）求证：过 A，B，C 三点的圆过定点.解：证明：设过 A，B 两点的圆的方程为 x 2 y 2 mx Ey 2 m 0，将点 C（0，2 m）代入可得 E 12 m，所以过 A，B，C 三点的圆的方程为 x 2 y 2 mx（12 m）y 2 m 0.整理得 x 2 y 2 y m（x 2 y 2）0.目录目录高中总高中总复习复习数学（提升版）数学（提升版）感 谢 观 看!
