1、 3 湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟 2020-2021 学年高二上学期 期中考试数学试题 考试时间：11 月 24 日下午 15:0017：00 试卷页数：共 6 页 全卷满分：150 分 考试用时：120 分钟 祝考试顺利祝考试顺利 注意事项注意事项: : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮 擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共一、单项选择
2、题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的目要求的. . 1已知集合 2 |,20Ax xNxx，则集合A的真子集 个数为 A16 B15 C8 D7 2从装有除颜色外完全相同的 2 个黑球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是 A至少有 1 个白球，都是黑球 B至少有 1 个白球，至少有 1 个黑球 C恰有 1 个白球，恰有 2 个白球 D至少有 1 个白球，都是白球 3对于常数mn、，0mn是方程 22 1mxny的曲线是椭圆的 A充分必要条
3、件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 4掷一枚均匀的硬币 4 次，出现正面与反面次数相等的概率为 A 1 2 B 3 8 C 7 16 D 5 16 5珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的.这种挤压一直 在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化.由于地势险峻，气候恶劣， 通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”.攀登者们肩负高精度测量 仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有 的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020 年 5 月，中国珠峰高程测量 登山队 8 名队员开始新一轮的珠峰测量工作.如图， 在测量过程中， 已知竖立在 B 点处的测量
4、觇标高 12 米， 攀登者们在 A 处测得到觇标底点 B 和顶点 C 的仰角分别为 60 ，75 ，则 A、B 的高度差为 A 332米 B6 米 C6 3米. D12 米 6已知直线l过点(3,3)P且与点( 2,2)A 、(4, 2)B等距离，则直线l的方程为 A3230 xy或23150 xy B2330 xy或3230 xy C2330 xy或23150 xy D23150 xy或2320 xy 7已知函数 2 2,1 ( ) ,1 xx f x xx ，若函数 1 ( )( ) 2 g xf xmxm的图象与x轴恰好有 3 个交点，则实 数m的取值范围为 A 2 , 3 B 2 ,4
5、 3 C 2 ,1 3 D1, 8已知球O与棱长为2的正方体 1111 ABCDABC D的各个面都相切，则平面 1 ACD截此球所得的截面 面积为 A 3 B 2 3 C D 4 3 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求全部选对的得求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9.若函数 f x对,Ra b ，同时满足：（1）当0ab时有 0f af b；（2）当0ab时有 0f af
6、b，则称 f x为函数下列函数中是函数的为 A 3 ( )f xx B( )f xx x C e +e xx f x D 0,0 1 ,0 x f x x x 10.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，PA 底面ABCD，PAAB ，截面BDE与 直线PC平行，与PA交于点 E，则下列判断正确的是 AE为PA的中点 BPB与CD所成的角为 3 CBD 平面PAC D三棱锥CBDE与四棱锥PABCD的体积之比等于1:4 11已知函数( )sin(sin )cos(cos )f xxx，下列关于该函数结论正确的是 A( )f x的图象关于直线 x 2 对称 B( )f x的一个周期是
7、 2 C( )f x的最大值为 2 D( )f x是区间(0， 2 )上的增函数 高二期中考试（数学试卷）第 3 页 共 6 页 高二期中考试（数学试卷）第 4 页 共 6 页 4 12已知正数, ,x y z满足326 xyz ，下列结论正确的有 A623zyx B 111 xyz C4xyz D 2 4xyz 三、填空题（本大题共三、填空题（本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分）分） 13 某电子商务公司对 200 名网络购物者 2020 年上半年的消费情况进行统计， 发现消费金额 （单位： 万元） 都在区间0.3, 0.9内，其频率分布直方图如图
8、所示在这些购物者中，消费金额在区间0.5, 0.9内的购物 者的人数为_人 14.函数( )2 x f xexa,若命题:1,1 , ( )0Pxf x 是假命题,则实数a的取值范围是_ 15.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点,A B的距离之 比为定值1 的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆, 在平面直角坐标系xOy中,3,0 ,3,0AB,点P满足2 PA PB .则PABV的面积最大值为_ 16.已知圆 22 :(7)16Cxy,过点(5,0)M作直线交圆C于,A B两点若(2,5)P,则PAPB uu
9、ruur 的最小 值为_ 四、解答题： （本大题共四、解答题： （本大题共 6 小题，共小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17( (本小题满分本小题满分 10 分分) ) 在 222 bacac，3 cossinaBbA，3sincos2BB，这三 个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题 已知ABCV的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，_， 4 A ， 2b （1）求角 B； （2）求ABCV的面积 注：注：如果选择条件如果选择条件、条件条件和和条件条件分别解答，按第一个解答计分分别解答，按第一个解答
10、计分 18 ( (本小题满分本小题满分 12 分分) )如图， 在四棱锥PABCD中，底面ABCD的边长是2 2的正方形，PA PD， PAPD，F为PB上的点，且AF 平面PBD. （1）证明：PD 平面PAB； （2）证明：平面PAD 平面ABCD； （3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值 19( (本小题满分本小题满分 12 分分) ) 已知向量(cos4 ,sin2 )mxx u r ， 1 (,2) 2sin(2) 4 n x r ，函数( )f xm n u r r g （1）求函数( )f x的定义域及其单调递增区间； （2）当, 4 3 x 时，对任意tR，不等式 2 2
11、( )mtmtf x恒成立，求实数m的取值范围 20( (本小题满分本小题满分 12 分分) )“菊开江南秀，新韵生态城”宜昌市第 35 届菊花展 10 月 23 日至 11 月 16 日在点 军江南 URD 展出。重点展现我市花园城市建设成就，让市民有获得感、幸福感、成就感在菊花造景、园 艺科技、 品种展示上更具匠心、 引人注目， 并融入健康、 生态、 节能等理念， 通过景意相融激发游客共鸣 期 间也吸引了不少优秀企业来宜投资宣传，从而促进宜昌经济快速发展在此菊花展期间，某公司带来了一 种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放宜昌市场 已知该种设备年固定研发成本为 50 万元，每生产一台
12、需另投入 100 元，设该公司一年内生产该设备x 万台，且全部售完，且每万台 的销售收入( )G x（万元）与年产量x（万台）的函数关系式近似满足： 2 1802 ,018 ( ) 265027000 70,18(25) xx G x xm m xx （1）写出年利润( )W x(万元)关于年产量x（万台）的函数解析式 （年利润年销售收入总成本） ； （2）当年产量为多少万台时？该公司获得的利润最大 21.( (本小题满分本小题满分 12 分分) )某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜据统计该基地的西红柿增 加量y（百斤）与使用某种液体肥料x（千克）之间对应数据为如图所示的折线图
13、5 (1)依据数据的折线图，请计算相关系数r（精确到 001），并以此判定是否可用线性回归模型拟合y与x 的关系？若是请求出回归直线方程，若不是请说明理由； (2)过去 50 周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在 30 小时以上，其中不足 50 小时的周数有 5 周， 不低于 50 小时且不超过 70 小时的周数有 35 周，超过 70 小时的周数有 10 周蔬菜大棚对光照要求较大， 某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制， 并有如下关系： 周光照量X（单位：小时） 3050X 5070X 70X 光照控制仪最多可运行台数 5 4 2
14、若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为 3000 元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制 仪周亏损 1000 元若商家安装了 5 台光照控制仪，求商家在过去 50 周每周利润的平均值 附：对于一组数据 11 ( ,)x y， 22 (,)xy，(,) nn xy，其相关系数公式 n i i n i i n i ii yyxx yyxx r 1 2 1 2 1 )()( )( ， 回归直线ybxa $ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 11 2 22 11 ()() , () nn iiii ii nn ii ii xxyyx ynxy baybx xxxnx $ ，参考数据55.
15、 03 . 0，95. 09 . 0 22.( (本小题满分本小题满分 12 分分) )已知圆 22 1: 2150Fxyx和定点 2 1,0F，其中点 1 F是该圆的圆心，P是圆 1 F上任意一点，线段 2 PF的垂直平分线交 1 PF于点E，设动点E的轨迹为C （1）求动点E的轨迹方程C； （2）设曲线C与x轴交于,A B两点，点M是曲线C上异于,A B的任意一点，记直线,MA MB的斜率分 别为 MA k， MB k证明： MAMB kkg是定值； （3）设点N是曲线C上另一个异于, ,M A B的点，且直线NB与MA的斜率满足 4 3 NBMA kk，试探究： 直线MN是否经过定点？如
16、果是，求出该定点，如果不是，请说明理由 高二期中考试（数学试卷）第 3 页 共 6 页 高二期中考试（数学试卷）第 4 页 共 6 页 6 2020 年秋“荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟” 高二二期中联考 数学试题参考答案数学试题参考答案 一、单项选择题：一、单项选择题： 15：DCBBC 68： ACA 二、多项选择题：二、多项选择题： 9.AB 10. ACD 11.ABD 12 .ABC 三、填空题三、填空题: : 13.120 14. 1 22ae e 15.12 16.2 412 四、解答题：四、解答题： 17.解：若选择 222 bacac， （1）由余弦定理 222 1 cos
17、22 acb B ac ， 因为(0, )B，所以 3 B . 4 分 （2）由正弦定理 sinsin ab AB 得 2sin sin2 3 4 sin33 2 bA a B ， 6 分 因为, 43 AB ，所以 5 4312 C ， 所以 562 sinsinsinsincoscossin 124646464 C ，8 分 所以 112 36233 sin2 22346 ABC SabC . 10 分 若选择3 cossinaBbA. （1）由正弦定理得3sincossinsinABBA， 因为sin0A，所以3cossin,tan3BBB， 因为(0, )B，所以 3 B .； （2）
18、 （以下同） 若选择3sincos2BB， （1）由和角公式得2sin2 6 B ，所以sin1 6 B . 因为(0, )B，所以 7 , 666 B ， 所以 62 B ，所以 3 B ； （2） （以下同） 18.证明： （1）AF 平面PBD,PD 平面PBD, PDAF,PAPD PAAFA,PD 平面PAB， 4 分 （2）由（1）知PD 平面PAB AB平面PABPDAB. ABCD是正方形,ABAD， PDAB,ADPDDI,AB 平面PAD， AB平面ABCD,平面PAD 平面ABCD. 8 分 （3）取AD的中点H,连接PH,BH,PAPD,PHAD, 7 平面PAD 平面
19、ABCD,PH 平面PAD， 平面PADI平面ABCDAD,PH 平面ABCD， BH是PB在平面ABCD内的射影. PBH就是PB与平面ABCD所成的角， 10 分 在等腰Rt PAD中, 2 2AD ,H是AD的中点, 2PH ， 在Rt BAH中, 2AH , 2 2AB ， 10BH , 22 2 3PBPHBH ， 26 sin 62 3 PH PBH PB . 直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为 6 6 12 分 19解：（1） cos4 ( )2sin2 2sin(2) 4 x f xx x 1 分 由2sin(2)0 4 x 得定义域, 28 k x xxZ 3 分 因为
20、22 cos4cos 2sin 2 ( )2sin22sin2cos2sin2 sin2cos2sin2cos2 xxx f xxxxx xxxx 2sin(2) 4 x 5 分 由222 242 kxk ，kZ,解得 3 88 kxk ，kZ 6 分 但 28 k x ，kZ 所以函数( )f x的单调递增区间为 3 ,) 88 kk 和(,2 88 kk ，kZ7 分 （此处没有考虑定义域扣（此处没有考虑定义域扣 1 分）分） （2）由（1）得( )2sin(2) 4 f xx ，因为, 4 3 x ，所以 311 2, 4412 x ， 所以 max ( )1f x， 8 分 则题目等价
21、于 2 21mtmt恒成立，即 2 10mtmt 恒成立 9 分 当0m时，有1 0恒成立 10 分 当0m时，有0m且 2 40mm ，得到0,4m 11 分 综上，0,4m 12 分 20解： （1）( )( ) 10050W xx G xx 2 分 2 28050,018 ( ) 27000 302600,18(25) xxx W x xxm m x 4 分 （2）当018x时, 22 ( )280502(20)750W xxxx ,在0,18上单调递增 18x 时，( )W x取最大值 max ( )W x2 4 750742 6 分 当18x 时, 27000 ( )260030W
22、xx x 900 260030()x x , (i) 2530m时，( )W x在18,m上单调递增，且(25)770742W 高二期中考试（数学试卷）第 3 页 共 6 页 高二期中考试（数学试卷）第 4 页 共 6 页 8 xm 时， max 900 ( )( )260030()W xW mm m 8 分 (ii) 30m时，时，( )W x 900 260030 2 x x 800 max ( )800(30W xx取“” ） 10 分 综上所述 (i) 2530m时，当年产量为m万台时，该公司获得最大利润； (ii) 30m时，当年产量为30万台时，该公司获得最大利润. 12 分 21
23、. 解： （1）由已知数据可得 24568 5 5 x ， 34445 4 5 y 1 分 因为 5 1 ()()( 3)( 1)0003 16 ii i xxyy ， 2 分 ，52310) 1() 3()( 22222 5 1 2 i i xx 5 222222 1 ()( 1)00012. i i yy 3 分 所以相关系数 1 22 11 ()() 69 0.95 102 52 ()() n ii i nn ii ii xx yy r xxyy 因为0.75r ，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系 4 分 因为 1 2 1 ()() () n ii i n i i xxyy b xx
24、 $ 6 0.3 20 ，2.5aybx $ ,所以回归直线方程0.32.5yx. 6 分 （2）记商家周总利润为Y元，由条件可得在过去 50 周里：70X 时，共有 10 周，只有 2 台光照控制仪 运行，周总利润2 3000 3 10003000Y 元 8 分 当5070X时，共有 35 周，有 4 台光照控制仪运行，周总利润4 3000 1 100011000Y 元 9 分 当50X 时，共有 5 周， 5 台光照控制仪都运行，周总利润5 3000 15000Y 元 10 分 所以过去 50 周每周利润的平均值 3000 10 11000 35 15000 5 9800 50 Y 元，1
25、1 分 所以商家在过去 50 周每周利润的平均值为9800元 12 分 22.解： （1） 依题意可知圆 1 F的标准方程为 2 2 116xy， 因为线段 2 PF的垂直平分线交 1 PF于点E， 所以 2 EPEF，动点E始终满足 1212 42EFEFrFF， 故动点E满足椭圆的定义,因此24,22ac，解得2,3ab， 椭圆C的方程为 22 1 43 xy ， 4 分 （2） 2,0 ,2,0AB ），设 00 ,M xy，则 2 0 2 000 22 0000 3 3 4 22244 MAMB x yyy kk xxxx 7 分 （3） 4 3 NBMA kkQ，由（2）中的结论 3
26、 4 MAMB kk 可知 33 44 NBMB kk ， 所以1 NBMB kk ，即NBMB， 当直线MN的斜率存在时，可设MN的方程为 1122 ,ykxb M x yN xy， 22 3412 ykxb xy ，可得 222 3484120kxkbxb， 则 12 2 2 12 2 0 8 34 412 34 kb xx k b xx k （*）， 8 分 9 11221212 2,2,22BN BMxyxyxxkxbkxb uuu r uuur 22 1212 1240kx xkbxxb， 将（*）式代入可得 22 74160bkkb， 即 2270kbkb ，亦即20270kbkb或 9 分 当2bk时， 22ykxkk x ，此时直线MN恒过定点 2,0（舍）； 当 2 7 bk 时， 22 77 ykxkk x ，此时直线MN恒过定点 2 ,0 7 ； 10 分 当直线MN的斜率不存在时，经检验，可知直线MN也恒过定点 2 ,0 7 ； 11 分 综上所述，直线MN恒过定点 2 ,0 7 . 12 分
