1、顺义区2022202220232023学年第一学期期末质量监测高二（数学）参考答案一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.CAAAD CDBBC二、填空题共 5 道小题，每题 5 分，共 25 分（11）90；（12）4；（13）（答对一空 3 分，答对两空 4 分）；（14），3（答对一空 3 分）；（15）（答对一空 3 分）三、解答题共 6 道题，共 85 分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（16）（本小题 13 分）解：（I），所以 2 分 4 分 6 分（II）一周阅读时间不低于 14 小时的学生共有 4 人，7分在第 8 小组记为，在第 9 小组记为，8分从
2、 4 人中随机抽取 2 人，样本空间可记为，11分用 表示“2 人恰好在同一个数据分组”，则，包含的样本点个数是 2.所以 2 人恰好在同一个数据分组的概率 13分（17）（本小题 14 分）证明：（I）因为底面，所以 2 分又因为，所以 4 分所以即 6 分所以即 7 分（II）因为底面，所以，以为原点，所在直线为 轴，所在直线为轴，1 1 1,2 4 40,14,8 172225 12622100c 6c 1720.085100a 2520.125100b 1a2a1b2b12=,a a11,a b12,a b21,a b22,a b12,b bA1212,Aa ab bA21().63P
3、 A 1AAABC10AA CB ACCB0AC CB 10AA CBAC CB 10A AACCB 10AC CB 1BCAC1AAABCACCBCCAxCBy所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 8 分则各点坐标为，因为为的中点，所以所以，11 分设为平面的一个法向量，则，所以有，令，得 13 分所以，又，所以因为平面，所以平面 14 分（其他解法酌情给分）（18）（本小题 13 分）解：（I）因为直线与 轴的交点为点，所以令，解得，所以 2 分代入圆可得 4 分（II）直线的斜率因为直线垂直于直线，所以，解得 6 分又因为直线经过点，所以直线的方程为 即 8 分圆到直线：的距离10 分又圆
4、的半径，由直角三角形可知 11 分所以 13 分（其他解法酌情给分）1CCz0,0,0C12,0,2A0,2,0B10,0,2CEAB1,1,0E10,2,2BC 1,1,0CE 12,0,2AC ,mx y z1ACE100m CEm AC 0220 xyxz1x 1,1yz 1,1,1m 1220m BC 1mBC 1BC 1ACE1/BC1ACE240 xyxA0y 2x 2,0A 222xyr0r 2r 240 xy2k ABl1ABkk 12ABk ABAAB1022yx 220 xy0,0OAB220 xy220022512d2r 2212ABrd8 55AB（19）（本小题 15
5、 分）解：（）因为长方体，所以以为原点，所在直线为 轴，所在直线为轴，所在直线为 轴，建立空间直角坐标系 则，所以，2 分所以 3分所以，即直线与直线所成角的余弦值为5分（II）又，7 分设为平面的一个法向量，则 所以有 令可得 所以 8 分设直线与平面所成的角为 9 分则=所以直线与平面所成角的正弦值为 11 分（III）因为，为平面的一个法向量所以点到平面的距离为 13 分所以即点到平面的距离为 15 分1 1 11ABCD ABCDDDAxDCy1DDz2,0,0A12,0,2A2,1,0E2,3,0B0,3,0C10,3,2C10,1,2AE 12,0,2BC 111111cos,AE
6、 BCAE BCAEBC 1110cos,5AE BC 1AE1BC1052,2,0CE 12,3,2AC ,mx y z1AEC100m CEm AC 2202320 xyxyz1x 11,2yz11,1,2m1BC1AEC1sincos,BC m 1126BC mBCm 1BC1AEC2610,1,0AE 11,1,2m1AECA1AEC1A E mm 123A E mm A1AEC23（其他解法酌情给分）（20）（本小题 15 分）解：（）依题意，解得.1 分因为，即，2 分所以，所以离心率，3 分的面积.5 分（）下面证明直线一定经过 轴上定点.7 分联立消 整理，得，设，.则，.10
7、 分设点，所以直线的方程：.11 分令，得.12 分因为，所以.15 分所以直线过定点.（21）（本小题 15 分）解：（I）集合不是平衡集，2 分因为去掉 3 以后，1,5,7,9 不能划分成元素和相等的两个集合 3 分（II）记集合所有元素之和为.由题目条件可知，（）均为偶数，4 分因此（）的奇偶性相同，都是奇数；6 分由于，24214a2 2a 222844cab2c(22,0)D(2,0)F22ceaDEF122 22222S AGy5(0,)2221184ykxxy，y22(21)460kxkx11(,)A x y22(,)B xy122421kxxk1 22621x xk2(,4)
8、G xAG121244()yyxxxx0 x2121211212444x yxxx yyxxxx121121212124(1)4xxkxxxkx xxxxx1 21232kx xxx12121212123554()52222xxxxxxyxxxxAG50,2（）1,3,5,7,9B=12,nAa aa=MiMa-1,2,in=ia1,2,in=12nMaaa=+并且由奇数个奇数的和为奇数，偶数个奇数的和为偶数，可知 为奇数.8 分（III）由（2）可知集合中元素个数为奇数，当时，显然任意集合不是平衡集”.9 分当时，不妨设，将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有，或者；将集合分成两个交集为空集的子集，且两个子集元素之和相等，则有，或者.由、，得，矛盾；由、，得，矛盾；11 分由、，得，矛盾；由、，得，矛盾.13 分因此当时，集合一定不是平衡集.时，可得1,3,5,7,9,11,13是平衡集.15 分所以.nA3n=123,a a a5n=12345aaaaa1345,a a a a1534aaaa+=+5134aaaa=+2345,a a a a2534aaaa+=+5234aaaa=+12aa=12aa=-12aa=-12aa=5n=A7n 7n
