1、北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷高二数学第 1 页（共 5 页）北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷 高二数学2023.1 本试卷共 5 页，共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）直线30 xy的倾斜角等于（A）45（B）90（C）120（D）135（2）抛物线24xy的准线方程是（A）1y （B）1x （C）1y（D）1x（3）在空间直角坐标系Oxyz中，点(1,
2、3,0)A，(0,3,1)B，则（A）直线/AB坐标平面xOy（B）直线AB坐标平面xOy（C）直线/AB坐标平面xOz（D）直线AB坐标平面xOz（4）在4(21)x的展开式中，2x的系数为（A）6（B）12（C）24（D）36（5）在长方体1111ABCDA B C D中，3AB，2BC，11AA，则二面角1DBCD的余弦值为（A）55（B）2 55（C）1010（D）3 1010北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷高二数学第 2 页（共 5 页）（6）若直线340 xym与圆22(+1)1xy相离，则实数m的取值范围是（A）(,8)(2,)（B）(,2)(8,)（C）(
3、,2)(2,)（D）(,8)(8,)（7）2名辅导教师与3名获奖学生站成一排照相，要求2名教师分别站在两侧，则不同的站法共有（A）33A种（B）332A种（C）5353AA种（D）35A种（8）设aR，则“1a”是“直线120laxy：与直线2(1)40lxay：平行”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（9）右图是一个椭圆形拱桥，当水面在l处时，在如图所示的截面里，桥洞与其倒影恰好构成一个椭圆.此时拱顶离水面2m，水面宽6m，那么当水位上升1m时，水面宽度为（A）3 3 m（B）3 3m2（C）4 2 m（D）4 2m3（10）设点(1,
4、0)A，(2,3)N，直线210l xaya：，AMl于点M，则|MN的最大值为（A）34（B）6（C）4（D）3 21北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷 高二数学 第 3 页（共 5 页）B C B1 C1 A D A1 D1 E 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。（11）设(3,2)A，(1,4)B，则过线段AB的中点，且与AB垂直的直线方程为_（12）在61()xx的展开式中，常数项等于_（用数字作答）（13）设F为抛物线24C yx：的焦点，点A在抛物线C上，点(3,0)B，且|AFBF，则|AB _ （14）
5、设双曲线22221(0,0)xyCabab：的离心率为e，则满足“直线2yx与双曲线C无公共点”的e的一个值是 _ （15）如图，在正方体1111ABCDABC D中，2AB，E为棱1DD的中点，F是正方形11CDDC内部（含边界）的一个动点，且1/BF平面1ABE.给出下列四个结论：动点F的轨迹是一段圆弧；存在符合条件的点F，使得11ABB F；三棱锥11EFBD的体积的最大值为23；设直线1BF与平面11CDDC所成角为，则tan的取值范围是2,2 2.其中所有正确结论的序号是 _ 北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷 高二数学 第 4 页（共 5 页）三、解答题共 6
6、小题，共 85 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题 10 分）从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动（）共有多少种不同的选择方法？（）若要求选中的3人性别不能都相同，求共有多少种不同的选择方法？（17）（本小题 15 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD为正方形，E为线段AB的中点，2PAAB.（）求证：BCPE；（）求平面PAB与平面PBD夹角的余弦值 （18）（本小题 15 分）在平面直角坐标系中，(1,0)A，(1,0)B，曲线C是由满足直线PA与PB的斜率之积等于定值()R 的点P组成的集合（）若曲线C是一个圆（或圆的一
7、部分），求的值；（）若曲线C是一个双曲线（或双曲线的一部分），且该双曲线的离心率2e，求的取值范围 E D A P B C 北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷高二数学第 5 页（共 5 页）（19）（本小题 15 分）已知椭圆22221(0)xyCabab：的一个焦点为(3,0)F，其长轴长是短轴长的2倍 （）求椭圆C的方程；（）记斜率为1且过点F的直线为l，判断椭圆C上是否存在关于直线l对称的两点,A B？若存在，求直线AB的方程；若不存在，说明理由.（20）（本小题 15 分）如图，在四棱柱1111ABCDABC D中，1AA 平面ABCD，/AB CD，1ADCD，1
8、2AAAB，E为线段1AA的中点，再从下列两个条件中选择一个作为己知条件：ADBE；条件：2BC.（）求直线CE与11B D所成角的余弦值；（）求点1C到平面BCE的距离；（）已知点M在线段1CC上，直线EM与平面11BCC B所成角的正弦值为2 23，求线段CM的长.（21）（本小题 15 分）已知椭圆22116xyCtt：的焦点在x轴上，且离心率为12.（）求实数t的值；（）若过点(,)P m n可作两条互相垂直的直线12,l l，且12,l l均与椭圆C相切.证明：动点P组成的集合是一个圆A D1A1 B1D CC1 BE北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷高二数学答案
9、及评分参考第 1页（共 6页）北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷高二数学答案及评分参考2023.1一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.（1）D（2）A（3）C（4）C（5）D（6）B（7）B（8）A（9）A（10）B二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 题，每小题题，每小题 5 分，共分，共 25 分分.（11）2310 xy（12）20（13）2 2（14）答案不唯一，如2.（注：(1,5e）（15）注：注：第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分.三、解答题：本大题
10、共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 85 分分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分其他正确解答过程，请参照评分标准给分.（16）（本小题 10 分）解：（）从4男3女共7名志愿者中，选出3人参加社区义务劳动，选择方法数为37C35 4 分（）选中3人都是男生的选择方法数为34C4，6 分选中3人都是女生的选择方法数为33C1，8 分所以若选中的3人性别不都相同，选择方法数为354130 10 分（17）（本小题 15 分）解：（）因为PA 平面ABCD，且底面ABCD为正方形，所以,AB AD AP两两垂直.故以A为原点，,AB AD AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所
11、示的空间直角坐标系 1 分则(0,0,0)A，(2,0,0)B，(2,2,0)C，(0,2,0)D，(0,0,2)P，(1,0,0)E所以(0,2,0)BC ，(1,0,2)PE 3 分所以0BC PE ，所以BCPE 5 分北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷高二数学答案及评分参考第 2页（共 6页）（）显然(0,2,0)AD 是平面PAB的一个法向量 7 分因为(2,0,2)PB ，(0,2,2)PD ，8 分设平面PBD的法向量为(,)x y zm，则0,0,PBPD mm即220,220.xzyz 10 分令1x，则1,1yz于是(1,1,1)m 12 分因为3cos
12、,3|ADADAD mmm，所以平面PAB与平面PBD夹角的余弦值为33 15分（18）（本小题 15 分）解：（）设(,)P x y，则直线PA的斜率为1PAykx，直线PB的斜率1PBykx 3 分所以221PAPBykkx，即22xy，其中1x .6 分由曲线C是一个圆（或圆的一部分），得1.8 分（）由曲线C:22xy是一个双曲线（或双曲线的一部分），得0，且该双曲线的标准方程可化为221yx 10 分此时双曲线C对应的21a，2b 12 分所以离心率e满足2222221cabeaa 14 分由2e，得+12.解得1 15 分EDAPBCzyx北京市西城区 20222023 学年度第一
13、学期期末试卷高二数学答案及评分参考第 3页（共 6页）（19）（本小题 15 分）解：（）设椭圆的半焦距为c由题意得2223,2,cababc 3 分解得2a，1b 4 分所以椭圆C的方程为2214xy 5 分（）假设椭圆C上存在关于l对称的两点,A B.则ABl，且线段AB的中点在直线l上.7 分由题意，直线l的方程为3yx.8 分设直线AB的方程为yxm .9 分由22,14yxmxy 得2258440 xmxm 10 分由22(8)4 5(44)0mm ，解得55m 11 分设11(,)A x y，22(,)B xy，则1285mxx 12 分设线段AB的中点为D，则12425Dxxmx
14、，5DDmyxm 13 分由线段AB的中点在直线l上，得4355mm，解得533m，这与55m（即0）矛盾，所以椭圆C上不存在关于l对称的两点,A B 15 分（20）（本小题 15 分）解：若选择条件：因为1AA 平面ABCD，AD 平面ABCD，北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷高二数学答案及评分参考第 4页（共 6页）AD1A1B1DCC1BExyz所以1AAAD，又因为ADBE，1AABEE，1,AA BE平面11AABB，所以AD平面11AABB，所以ADAB.2 分若选择条件:在四边形ABCD中，设AB的中点为F，连接CF（图略），由/AB CD，1CD，2AB
15、，得四边形ADCF为平行四边形.所以1CF，/AD CF.又因为2BC，1BF.所以222BFCFBC，所以BFCF.所以ADAB.2 分故选择条件或选择条件均可得到ADAB.（）又由1AA 平面ABCD，可得AD，AB，1AA两两垂直，所以以A为原点，AD，AB，1AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系，3 分则(0,0,0)A，(0,2,0)B，(1,1,0)C，(0,0,1)E，1(0,2,2)B，1(1,1,2)C，1(1,0,2)D.所以(1,1,1)CE ，11(1,2,0)B D.4 分所以11111115cos,15|C|CE B DCE B DE B D
16、所以直线CE与11B D所成角的余弦值为1515 6 分（）由（）得1(0,0,2)CC 因为(1,1,0)BC ，(0,2,1)BE ，设平面BCE的法向量为(,)x y zm，所以0,0,BCBE mm即0,20.xyyz令1x，则1y，2z，于是(1,1,2)m 8 分所以点1C到平面BCE的距离为1|2 63CC m|m|10 分北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷高二数学答案及评分参考第 5页（共 6页）（）设1CMCC，其中0,1，则1(0,0,2)CMCC .11 分所以(1,1,21)EMECCM .12 分因为(1,1,0)BC ，1(0,0,2)BB 设平
17、面11BCC B的法向量为111(,)xyzn，则10,0,BCBB nn即1110,20.xyz令11x，则11y，10z，于是(1,1,0)n 13 分记直线EM与平面11BCC B所成角为，则2|22 2sin|cos,|3|2443EMEMEM n|nn，14 分解得14，或34.所以12CM 或32CM.15 分（21）（本小题 15 分）解：（）设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c由题意，得222221,6,1,2,atbtcaabc 3 分解得3t 4 分（）由（）知椭圆C的方程为22143xy 5 分 当2m 时，设过点(,)P m n且与椭圆C相切的直线方程为()ynk
18、 xm 6 分联立方程组22(),1,43ynk xmxy北京市西城区 20222023 学年度第一学期期末试卷高二数学答案及评分参考第 6页（共 6页）消去y，得222(34)8()4()120kxk nkm xnkm.8 分则2222164()4(34)4()120knkmknkm，9 分化简，得222(4)230mkmnkn.（）因为过点(,)P m n可作两条互相垂直的直线12,l l，且12,l l均与椭圆C相切，所以关于k的方程（）存在两个根12,k k（分别为直线12,l l的斜率），且121k k .11 分所以240m，222222244(4)(3)4(3412)0m nmnmn，且21223=14nk km.即227mn（2m ），且验证知20.所以点(,)P m n在圆227xy上.13 分 当2m 时，由12,l l均与椭圆C相切，得直线1l，2l分别与x轴、y轴平行，此时点P的坐标为(2,3)，或(2,3)，或(2,3)，或(2,3).所以点(,)P m n在圆227xy上.经验证，过圆227xy上任意的一点可作两条互相垂直的直线12,l l，且12,l l均与椭圆C相切.综上，动点(,)P m n组成的集合是一个圆，且圆的方程为227xy 15 分
