1、高二数学试卷共 6 页 第1页 延庆区 20222023 学年第一学期期末试卷 高 二 数 学 2022.12 本试卷共本试卷共 6 6 页，满分页，满分 150150 分，考试时间分，考试时间 120120 分钟分钟 第卷（选择题）第卷（选择题）一、选择题共一、选择题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的合题目要求的.（1）已知集合10Ax x=+，集合|2Bx x=，则（A）AB（B）1UAx x=（C）2ABx x=（D）2ABx x=（2）若复数z满足()1
2、3i24iz+=+，则z的虚部为（A）1i5 （B）1i5 （C）15（D）75（3）已知抛物线的焦点是(2 0)F ，则抛物线的标准方程是（A）24yx=（B）24yx=（C）28yx=（D）28yx=（4）已知1(02)F，2(0 2)F，动点P满足122PFPF=，则动点P的轨迹方程为（A）2213yx=（B）2213xy=（C）221(0)3yxx=（D）221(0)3xyy=高二数学试卷共 6 页 第2页 （5）与圆221:1Cxy+=和222:8120Cxyx+=都外切的圆的圆心在（A）一个椭圆上（B）一条双曲线上（C）一条抛物线上（D）双曲线的一支上（6）已知直线l和双曲线C，那
3、么“l与C只有一个公共点”是“l与C相切”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（7）若双曲线的方程为221916yx=，则它的离心率与渐近线方程分别为（A）53，43yx=（B）54，34yx=（C）53，34yx=（D）54，43yx=（8）已知抛物线24yx=和点(53)A，F是抛物线的焦点，P是抛物线上一点,则PAPF+的最小值是 （A）5 （B）6 （C）7（D）8（9）过抛物线24yx=的焦点F的一条直线与此抛物线相交于A，B两点，已知(4 4)A，则线段AB的中点到抛物线准线的距离是（A）258 （B）254（C）3 （D）10
4、3（10）已知点P在抛物线26xy=上，且(02)A，则PA的最小值为（A）2 （B）3 （C）3（D）4 高二数学试卷共 6 页 第3页 第第卷（非选择题）卷（非选择题）二、二、填空题共填空题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分分.（11）函数2lg(321)yxx=+的定义域为 （12）双曲线的一个焦点坐标是(2 0)，且双曲线经过点(22)，则双曲线的实轴长 为 ，标准方程为 （13）函数23 102()013xxxyx=，的值域为 （14）已知ABC中，2b=，3c=，30B=，则sinC=，a=（15）已知双曲线2221(00)xyabab=，的左
5、右焦点分别为1(0)Fc，2(0)F c，(0)c，P是双曲线上的一点给出下列四个结论：1PF的最小值为ca；若直线l的斜率与双曲线的渐进线的斜率相等，则直线l与双曲线只有一个公共点；点P到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为222a bc；若过1F的直线与双曲线的左支相交于A,B两点，如果222AFBFAB+=，那么2ABa=.其中，所有正确结论的序号为 高二数学试卷共 6 页 第4页 三、解答题共三、解答题共 6 6 小题，共小题，共 8585 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（16）（本小题16分）根据下列条件，求圆的标准方程：（）圆心在点
6、(21)A，且过点(2 2)B ，；（）过点(0 0)C，和点(0 2)D，半径为2；（）(12)E，(3 4)F，为直径的两个端点；（IV）圆心在直线:2380lxy+=上，且过点(10)P，和点(3 2)Q，.（17）（本小题14分）如图，已知点(21)A，12()33B，圆22:4C xy+=.（）求过点A的圆的切线方程；（）设过点A，B的直线交圆C于DE，两点，求线段DE 的长；（）求经过圆C内一点B且被圆截得弦长最短的直线的方程.（18）（本小题13分）如图，在棱长为4的正方体1111DCBAABCD中，点M是BC的中点.（）求证：1/AB平面11CDDC；（）求证：1AB 1AM；
7、（）求二面角11CMAB的大小 高二数学试卷共 6 页 第5页 （19）（本小题15分）已知椭圆C的两个焦点分别是1(10)F ，2(10)F，椭圆上的点P到两焦点的距离之和等于2 2，O为坐标原点，直线:2l yxm=+与椭圆C相交于A，B（不重合）两点.（）求椭圆C的标准方程；（）求m的取值范围；（）求AB的最大值 （20）（本小题15分）已知椭圆C的焦点在x轴上，焦距为2 2，离心率为22，过点30P（，）的直线l与椭圆C交于A，B（不重合）两点，坐标原点为(0 0)O，.（）求椭圆C的标准方程；（）若线段AB的中点的横坐标为1，求直线l的方程；（）若点O在以线段AB为直径的圆上，求直线
8、l的方程 （21）（本小题12分）对非空数集X，Y，定义X与Y的和集XYxy xXyY+=+，.对任意有限集A，记A为集合A中元素的个数.（）若集合012,135 7 9XY=，写出集合XXXY+与；（）若集合121012Xxxx=，满足121012xxx，且2024XX+，求XX+.高二数学试卷共 6 页 第6页 草稿纸 1延庆区 20222023 学年第一学期期末试卷高二数学参考答案及评分标准一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。题号12345678910答案DCDDDBCBAA二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，
9、共 25 分二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。12、14题第一空 2分，第二空 3 分；15 题选对一个给 3 分，选对二个给 5 分，选错不给分。三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。分。（16）（共 16 分）解：（）所求圆的半径22(22)(1 2)5r .2 分又因为圆心为(21)，所以所求圆的方程为22(2)(1)25xy.4 分（）设圆心坐标为(,)a b，则圆的方程为22()()4xayb.5 分因为(0,0),(0,2)是圆上的点，所以22224,(2)4.abab解得3,1.ab或3,1.ab7 分所以所求圆的方程为2222(3)(1)
10、4(3)(1)4xyxy或.8 分（）由已知可得(1,2),(3,4)的中点(2,3)就是圆心.9 分所以半径为22(2 1)(32)2.11 分所以所求圆的方程为22(2)(3)2xy.12 分（IV）设线段PQ的垂直平分线为m，则圆心既在直线m上，又在直线l上，题号1112131415答案1(,1)(,)3 2 2，22122xy0,13 313,4212所以圆心是直线m与l的交点.13 分因为直线PQ的斜率为2013 1，所以m的斜率为1.因为,P Q的中点为(2,1)，所以直线m的方程为1(2)yx ，即30 xy.14 分解方程组30,2380.xyxy得1,2.xy因此圆心的坐标为
11、(1,2)，又圆的半径为22(1 1)(20)2，所以所求圆的方程是22(1)(2)4xy.16 分（17）（共 14 分）解：（）如果切线的斜率不存在，则切线方程为2x.因为圆心(0,0)到2x 的距离为2，等于半径，所以2x 是圆的一条切线方程.2 分如果切线的斜率存在，设为k，则切线的方程为1(2)yk x，即210kxyk.3 分因为22121kk，解得34k ，所以切线方程为31(2)4yx ，即34100 xy.综上，过点A的圆的切线方程为2x 和34100 xy.4 分（）设DE中点为F，圆心为O，则OFDE，因此DFO是直角三角形.直线AB的两点式方程为12211233yx，整
12、理得10 xy.5 分因为圆心(0,0)O到直线AB的距离为00 1221 1OF，半径2OD，6 分所以22114422DFODOF.7 分所以线段DE的长为214DF.8 分（）过点B做任意一条直线交圆于,P Q两点，设线段PQ中点为R，连接,OP OR OB，3因为ORPQ，所以222222 4PQPROPOROR.所以当OR最大时，PQ最小.9 分又因为在Rt ORB中，OROB，所以当R与B重合时，即OBPQ时，PQ最小.10 分因为直线OB的斜率为2032103，所以直线PQ的斜率为1122.12 分所以直线PQ的方程为211()()323yx，即3650 xy.14（18）（共
13、13 分）证明：（）在正方体1111DCBAABCD中，连接1C D.因为11/ADBC且11ADBC，所以11ADC B是平行四边形.1 分所以11/ABDC，2 分因为111ABCDDC 平面，111DCCDDC 平面，3 分所以1/AB平面11CDDC.4 分证明：（）（法一）在正方体1111DCBAABCD 中，因为BC平面BBAA11，1AB平面BBAA11，所以1ABBC，即1BMAB.5 分因为四边形BBAA11是正方形,所以11ABBA.6 分4因为11,ABBMB AB BM平面BMA1,所以1AB平面BMA1.7 分因为1AM 平面BMA1，所以11ABAM.8 分（法二）
14、如图，建立空间直角坐标系xyzD,则11(4,0,0),(4,4,0),(4,4,4),(4,0,4)ABBA，(0,4,0),(2,4,0)CM.所以11(0,4,4),(2,4,4)ABAM.6 分因为110 16 160ABAM，所以11ABAM，即11ABAM.8 分（III）因为1(0,4,4)C，所以1111(0,4,4),(4,4,0),(2,0,4)ABACC M .9 分由（）知，平面BMA1的一个法向量为1(0,4,4),AB 10 分（若（）用法二证，需要补证1AB平面BMA1.）设平面11MCA的一个法向量为(,)nx y z，则1110,0.n ACn C M 即44
15、0,240.xyxz所以,2xy xz.令2x，则1,2zy，所以(2,2,1)n.11 分所以1112cos,2|n ABn ABnAB .12 分由图可知，二面角11CMAB为钝角,所以二面角11CMAB的大小为135.13 分5（19）（共 15 分）解：（）由已知得22 2a，因此2a，又因为1c，2 分所以22222(2)11bac.3 分因为椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆C的标准方程为2212xy.4 分（）联立直线l的方程与椭圆C的方程得方程组222,1.2yxmxy5 分消去y，整理得2298220 xmxm.6 分因为222(8)4 9(22)872mmm ，7 分所以当0 时
16、，29m，即33m 时，方程有两个不同的实数解，此时原方程组的实数解集中有两个元素，直线l与椭圆C有两个公共点.8 分（）设11(,)A x y,22(,)B xy,则222212121212()()1()4ABxxyykxxx x10 分又因为2k，由（）可知1289mxx，212229mx x，12 分所以2222642287251445728819819mmmABm.14 分所以当0m 时，AB有最大值为5 722 1093.15 分（20）（共 15 分）解：（）由已知得22 2c，所以2c.1 分因为22ca，所以2a.2 分所以222422bac.3 分6所以椭圆C的标准方程为22
17、142xy.4 分（）因为直线l过(3,0)P，当斜率不存在时，直线l的方程为3x，与C无交点.5 分当斜率存在时，设:0(3)l yk x，即3ykxk.6 分联立直线l的方程与椭圆C的方程得方程组223,142ykxkxy.消去y，整理得2222(1 2)121840kxk xk，7 分由已知22222(12)4(1 2)(184)40160kkkk ，即225k，8 分设11(,)A x y,22(,)B xy,由韦达定理可知21221212kxxk，212218412kx xk，9 分因为线段AB的中点横坐标为 1，所以212212212kxxk.10 分解得21245k.于是12k
18、，方程为1322yx或者1322yx.11 分（）因为11(,)OAx y，22(,)OBxy，所以1212OA OBx xy y .将113ykxk，223ykxk代入上式可得22212121212(3)(3)13()9OA OBx xkxk kxkkx xkxxk （），12 分由题意可知OAOB ，所以0OA OB ，13 分即2242221)(184)36901212kkkkkk（，7解得242235k，即2 2323k .14 分方程为2 236 232323yx或者2 236 232323yx.15 分（21）（共 12 分）解：（）0 1 2 3 4XX，3 分1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11XY，.6 分（）因为121012xxx，所以11121311012210123101210121012xxxxxxxxxxxxxxLL.9 分所以2023XX.11 分又因为XX是整数且2024XX，所以2023XX12 分
