1、 1 20232024 学年度上学期学年度上学期 2022 级级 9 月月考数学试卷 考试时间：2023 年 9 月 14 日 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是（）A110、110 B310、15 C15、310 D310、310 2已知,a b c为空间的一组基底，则下列向量也能作
2、为空间的一组基底的是（）Aab+，bc+，ac B2ab+，b，ac+C2ab+，2bc+，abc+Dac+，2ba+，2bc 3已知两个向量(2,1,3)a=，(4,)bm n=，且/ab，则mn+的值为（）A1 B2 C4 D8 4已知向量()2 3,0,2a=，向量13,0,22b=，则向量a在向量b上的投影向量为（）A()3,0,3 B()3,0,1 C()1,0,3 D13,0,44 5如图，元件)4,3,2,1=iAi（通过电流的概率均为 0.9，且各元件是否通过电流相互独立，则电流能在 M，N 之间通过的概率是 A0.729 B0.8829 C0.864 D0.9891 6同时抛
3、掷两颗骰子，观察向上的点数，记事件A=“点数之和为 7”，事件B=“点数之和为 3的倍数”，则（）AAB+为不可能事件 BA与B为互斥事件 CAB为必然事件 DA与B为对立事件 2 7袋子里装有形状大小完全相同的 4 个小球，球上分别标有数字 1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取 1 个球，A表示事件“第一次取出的球上数字是 1”，B表示事件“第二次取出的球上数字是 2”，C表示事件“两次取出的球上数字之和是 5”，D表示事件“两次取出的球上数字之和是 6”，通过计算，则可以得出（）AB 与 D 相互独立 BA 与 D 相互独立 CB 与 C 相互独立 DC 与 D 相互独立 8在边
4、长为 1 的菱形 ABCD 中，60ABC=，将DAC沿对角线 AC折起得三棱锥DABC.当三棱锥体积最大时，此三棱锥DABC的外接球的表面积为（）A5 B4 C53 D56 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9下列说法正确的是（）A若空间中的 O，A，B，C，满足1233OCOAOB=+，则 A，B，C，三点共线 B空间中三个向量a，b，
5、c，若/ab，则a，b，c共面 C对空间任意一点O和不共线的三点 A，B，C，若220222023OPOAOBOC=+，则 P，A，B，C 四点共面 D设,a b c是空间的一组基底，若amb=+，nab=，则,m n c不能为空间的一组基底 10已知空间向量(1,2,4),(2,4,)mnx=，则下列选项中正确的是（）A当mn时，3x=B当/mn时，8x=C当|5mn+=时，4x=D当1x=时，3 5sin,7m n=11如图，正方体1111ABCDABC D的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P为侧面11BBC C内 （不含边界）的动点，则（）A1DOAC B存在一点P，使得11/DO
6、 B P C三棱锥1ADDP的体积为43 D若1DOPO，则11C D P面积的最小值为4 55 3 12 已知长方体1111ABCDABC D的棱2ABAD=，11AA=，点P满足：1APABADAA=+，、0,1，下列结论正确的是（）A当1=，0=时，P到11AD的距离为3 B当0=，1=时，直线PB与平面ABCD所成角的正切值的最大值为24 C当1=时，点P的到平面11BDD B的距离的最大值为 1 D当1=，12=时，四棱锥11PBB DD外接球的表面积为28932 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知 A，B，C
7、三点不共线，O 是平面 ABC 外的任意一点，若点 P 在平面 ABC 内，且1253OPOAOBmOC=+，则实数m=14如图，在二面角l 中，,Al Bl ACBD且,ACAB BDAB，垂足分别为 A，B，已知6ACABBD=，CD=12，则二面角l 所成平面角为 15如图，在三棱锥ABCP中，BCAB，PA平面 ABC，PBAE 于点 E，M 是 AC的中点，1=PB，则EP EM的最小值为 16中国古代数学经典九章算术系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，如图为一个阳马与一个鳖臑的
8、组合体，已知PA平面ABCE，四边形ABCD为正方形，5AD=，3ED=，若鳖臑PADE的外接球的体积为9 2，则阳马PABCD的外接球的表面积等于 .四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤 17在ABC中，内角 A，B，C所对边的长分别为 a，b，c，且满足()3sincosacbAA+=+.(1)求 B；(2)若3b=，且ABC的面积为3，BD是ABC的中线，求BD的长.18某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一
9、路”知识竞赛，满分 100 分（95 分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有 20 人，按年龄分成 5 组，其中第一组：)20,25，第二组：)25,30，第三组：)30,35，4 第四组：)35,40，第五组：40,45，得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据频率分布直方图，估计这 20 人的平均年龄和第80 百分位数；(2)若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37 和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为 43 和 1，求这 20 人中 3545 岁所有人的年龄的方差.19为了普及垃圾分类知识，某校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为
10、 p，乙同学答对每题的概率都为 q（pq），且在考试中每人各题答题结果互不影响已知每题甲、乙两人同时答对的概率为12，恰有一人答对的概率为512(1)求 p 和 q的值；(2)求甲、乙两人共答对 3 道题的概率 20我省从 2021 年开始，高考不分文理科，实行“3+1+2”模式，其中“3”指的是语文、数学，外语这 3 门必选科目，“1”指的是考生需要在物理、历史这 2 门首选科目中选择 1 门，“2”指的是考生需要在思想政治、地理、化学、生物这 4 门再选科目中选择 2 门。已知福建医科大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化学、生物至少 1 门。(1)从所有选科组合中任意选
11、取 1 个，求该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率；(2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意 1 个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求的概率.21如图，已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PA平面ABCD，60ABC=，EF，分别是BCPC，的中点(1)证明：AEPD；(2)若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正弦值为515，求二面角EAFC的余弦值.22如图，在矩形 ABCD中，1AB=，3BC=，M 是线段 AD 上的一动点，将ABM沿着 BM 折起，使点 A 到达点A的位置，满足点A平面BCDM且点A在
12、平面BCDM内的射影 E落在线段 BC上.(1)当点 M 与端点 D 重合时，证明：AB平面ACD；(2)求三棱锥EABM的体积的最大值；(3)设直线 CD与平面ABM所成的角为，二面角ABMC的平面角为，求2sincos的最大值.P D C A B F E 试卷第 1 页，共 4 页 20232023-20242024 学年度高中数学学年度高中数学 9 9 月月考卷月月考卷 1【答案】A 2【答案】B 3【答案】C 4【答案】A 5【答案】B 6【答案】B 7【答案】C 8【答案】C 9【答案】ABC 10【答案】BCD 11【答案】ACD 12【答案】BD【详解】A：APABAD=+，则A
13、DAPABBP=，即/ADBP，故P在BC上运动，所以P到11AD的距离为3，即棱BC与11AD的距离22215+=，错；B：1APADAA=+，则1AAAPADDP=，故P在1DD上运动，根据长方体的结构易知：当P与1D重合时，直线PB与面ABCD所成角正切值的最大值为11242 2DDBD=，对；C：1APABADAA=+，则1ABAAAPADDP+=，故P在底面11DCC D上运动，所以，当P在1CC上时，P的到平面11BDD B的距离最大，而11/CCDD，1CC 面11BDD B，1DD 面11BDD B，则1/CC面11BDD B，所以，由长方体结构特征，最大值问题化为C到BD的距
14、离h，2 2BD=，则2BC DChBD=，错；D：111122APABADAAACAA=+=+，则112AAAPACCP=，故P为1CC中点，如下图，11172PBPDPDPB=，11113,1BDB DDDBB=，所以11PBB DD的底面为矩形，顶点P在11BB DD的投影为底面中心，即11,DB BD的交点E，故11PBB DD外接球的球心O一定在直线PE上，令球体半径为 R，所以222PEPDDE=，|OERPE=，且22229(2)4ROEDER=+=+，可得17 216R=，则外接球的表面积为2289432R=，对.故选：CD 13【答案】215 14【答案】120 15【答案】
15、18/-0.125【详解】连接EC，如图，因PA平面ABC，BC平面ABC，则PABC，而ABBC，PAABA=，,PA AB 平面PAB，则BC平面PAB，又PB平面PAB，即有BCPB，因 M 是 AC的中点，则111()()222EMEAECEAEBBC=+=+，又AEPB，11111()22222EP EMEPEPEPEAEBBCEAEBPBEC=+2111|1|()22282EBEBEEPEPEBP+=，当且仅当|1|2|EPBE=取“=”，所以EP EM的最小值为18.故答案为：18 16【答案】20 17【答案】(1)3B=(2)172 试卷第 2 页，共 4 页【详解】（1）因
16、为()3sincosacbAA+=+，由正弦定理可得()sinsinsin3sincosACBAA+=+，即()()sinsinsin3sincosAABBAA+=+，即sinsin cos3sin sinAABAB+=，又因为sin0A，所以3sincos1BB=，所以1sin62B=.又因为()0,B，所以 5,666B，所以66B=，所以3B=.（2）因为3ABCS=，所以1sin32acB=得4ac=，由余弦定理得：2222cos13acbacB+=+=.又()12BDBABC=+，所以()22221117|()2cos444BDBABCcaacB=+=+=，得172BD=，故BD的长
17、为172.18【答案】(1)32.25，第 80 百分位数为 37.5(2)10【详解】（1）设这 20 人的平均年龄为x，则 22.5 0.0527.5 0.3532.5 0.337.5 0.242.5 0.132.25x=+=.设第 80 百分位数为a，由5 0.02(40)0.040.2a+=，解得37.5a=.（2）由频率分布直方图得各组人数之比为1:7:6:4:2，故各组中采用分层随机抽样的方法抽取 20 人，第四组和第五组分别抽取4人和2人，设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4x，5x，方差分别为24s，25s，则437x=，543x=，2452s=，251s=，设第四
18、组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z，方差为2s.则4542396xxz+=，()()222224545142106ssxzsxz=+=，因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为 10，据此，可估计这m人中年龄在 3545 岁的所有人的年龄方差约为 10.19【答案】(1)34p=，23q=(2)512【详解】（1）设 A：甲同学答对第一题，B：乙同学答对第一题，则()P Ap=，()P Bq=设 C：甲、乙两人均答对第一题，D：甲、乙两人恰有一人答对第一题，则CAB=，()()DABAB=甲、乙两人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，A 与 B 相互独立，AB与AB互斥，()()
19、()()P CP ABP A P Bpq=,()()()()(1()(1()()P DP ABP ABP AP BP A P B=+=+由题意得()()1,2511,12pqpqqp=+=解得3,423pq=或2,33.4pq=pq，34p=，23q=试卷第 3 页，共 4 页（2）设iA：甲同学答对了 i道题，iB:乙同学答对了 i道题，0,1,2i=由题意得()11331344448P A=+=，()23394416P A=，()12112433339P B=+=，()2224339P B=设 E：甲、乙两人共答对 3 道题，则()()1221EABAB=，()()122134945()8
20、916912P EP AP ABB=+=+=，甲、乙两人共答对 3 道题的概率为512 20【答案】(1)512(2)245576【详解】（1）用 a，b 分别表示“选择物理”“选择历史”，用 c，d，e，f分别表示选择“选择化学”“选择生物”“选择思想政治”“选择地理”，则所有选科组合的样本空间,acd ace acf ade adf aef bcd bce bcf bde bdf bef=，()12n =，设M=“从所有选科组合中任意选取 1 个，该选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”，则,Macd ace acf ade adf=，()5n M=，()()()512n MP
21、Mn=.（2）设甲、乙、丙三人每人的选科组合符合医科大学临床医学类招生选科要求的事件分别是1N，2N，3N，由题意知事件1N，2N，3N相互独立由（1）知()()()123512P NP NP N=.记N=“甲、乙、丙三人中恰好有一人的选科组合符合福建医科大学临床医学类招生选科要求”，则23121233NNN NN N NN N N=易知事件123N N N，123N N N，213N N N两两互斥，根据互斥事件概率加法公式得()()()()133211322P NP N N NP N N NP N N N=+555555555111111121212121212121212 =+24557
22、6=.21【答案】(1)详见解析；（2）.试题解析：(1)证明：由四边形ABCD为菱形，60ABC=，可得ABC为正三角形 因为E为BC的中点，所以AEBC又BCAD，因此AEAD因为PA平面ABCD，AE 平面ABCD，所以PAAE而PA平面PAD，AD平面PAD且PAADA=所以AE平面PAD又PD平面PAD所以AEPD.(3 分)(2)解：设2AB=，H为PD上任意一点，连接AHEH，由(1)知AE平面PAD 所以EHA为EH与平面PAD所成的角在Rt EAH中，3AE=，所以当AH最短时，EHA最大，即当AHPD时，EHA最大 因为，此时36tan2AEEHAAHAH=因此2AH=又2
23、AD=，所以45ADH=，所以2PA=(5 分)解法一：因为PA平面ABCD，PA平面PAC所以平面PAC 平面ABCD过E作EOAC于O，则EO 平面PAC过O作OSAF于S，连接ES，则ESO为二面角EAFC的平面角(7 分)试卷第 4 页，共 4 页 在Rt AOE中，3 sin302EOAE=，3 cos302AOAE=又F是PC的中点，在Rt ASO中，3 2 sin454SOAO=又223930484SEEOSO=+=+=在Rt ESO中，3 2154cos5304SOESOSE=即所求二面角的余弦值为155(10 分)22【答案】(1)证明见解析(2)112(3)14【详解】（1
24、）当点 M 与端点 D重合时，由90BAD=可知ABAD，由题意知AE上平面BCD，CD 平面BCD，所以A ECD，又BCCD，AEBCE=，AE平面A BC，BC平面A BC，所以CD 平面A BC，又AB平面A BC，可知A BCDADCDD=，CD 平面ACD，AD平面ACD，所以AB平面ACD（2）矩形中作AOBM，垂足为点 O，折起后得A OBM，由AE平面BCD，BM平面BCD，可得AEBM，所,AE AO平面A OE，AEAOA=，所以BM平面A OE，OE 平面A OE，可得BMOE，所以 A，O，E 三点共线，因此ABE与ABM相似，满足ABAMBEAB=，设AMt=，所以
25、1BEt=，21BMt=+，211OEt t=+，21tAOA Ot=+，2221tA EA OOEt=，要使点A射影E落在线段BC上，则AOOE，所以(1,3t，所以2224211141111111136662E A BMABEMBEMtVVA E Sttttt=+，当2t=时，()max112E A BMV=.（3）过点E做/EQ CD交BM于Q，所以直线EQ与平面ABM所成的角即为直线CD与平面ABM所成的角，由（2）可知BM平面A OE，BM平面ABM，所以平面ABM平面A OE，作EHA O，垂足为H，平面A BM平面A OEA O=，EH 平面A OE，可得EH 平面ABM，连接HQ，EQH是直线EQ与平面ABM所成的角，即EQH=，由题意可得231tEHt=，21EQt=，2221sin1EHEQt=因为A OBM，OEBM，所以A OE是二面角ABMC平面角，即AOE=，21cosOEA Ot=，22222111111sincos1244ttt=+，当且仅当2t=时“”成立，
