1、书书书?槡?槡?槡?槡?槡?1 昌平区昌平区 20222023 学年第学年第一一学期高学期高二二年级期末质量抽测年级期末质量抽测 数学试卷参考答案及评分标准数学试卷参考答案及评分标准 2023.1 一、选择题一、选择题 (共共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B C D C C A D B B 二、填空题（共二、填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分）分）（11）6 （12）12 （13）40（14）2 63 （15）2218yx=6 （16）注：（注：（14）和（
2、）和（15）第一空）第一空 3 分，第二空分，第二空 2 分分;（16）不填或填写含有）不填或填写含有的得的得 0 分，仅填写分，仅填写或或或或得得 3 分，填写分，填写的得满分的得满分.三、解答题（共三、解答题（共 5 5 小题，共小题，共 7070 分）分）（17）（共 14 分）解：（I）设圆C的标准方程为222()()(0)xaybrr+=.1 分 由题意可知，1a=，0b=，3 分 22(1 0)(03)2rCP=+=.5 分 所以圆C的标准方程为 22(1)4xy+=.6 分（II）直线CP的斜率为30301CPk=.7 分 因为直线l与圆C相切于点P，所以1CPMPkk=.8 分
3、 所以直线l的斜率33MPk=.9 分 所以直线l的方程为333yx=+.10 分 令0y=，得3x=.所以直线l与x轴的交点(3,0)M.11 分 所以1432 32PCMS=.14 分 2 （18）（共 14 分）解：（）因为1C C平面ABC，1CACC=，所以11ACC A是正方形.所以11ACAC.2 分 因为1C C平面ABC，BC 平面ABC，所以1C CBC.3 分 因为ACBC，1=C CACC，所以BC 平面11ACC A.5 分 因为1AC 平面11ACC A，所以1ACBC.6 分 因为1ACBCC=，所以1AC 平面1ABC.7 分（）方法一：因为1C C平面ABC，
4、所以11,CAC CCCBC.8 分 如图建立空间直角坐标系Cxyz，则11(0,0,0),(0,1,0),(1,0,1),(0,0,1)CBAC.所以1(1,0,1)CA=，(0,1,0)CB=，1(0,0,1)CC=.9 分 设平面1ABC的法向量(,)x y z=n，则 10,0,CAxzCBy=+=nn 即,0.xzy=令1=z，则1x=.于是(1,0,1)=n.11 分 设直线1CC与平面1ABC所成角为，则111|2sin|cos,|2CCCCCC=|nnn.13 分 所以直线1CC与平面1ABC所成角为4.14 分 A B C A1 B1 C1 A B C A1 B1 C1 x
5、y z 3 方法二：（）由（I）知，1AC 平面1A BC，所以11C CA即为直线1C C与平面1A BC所成角.10 分 又因为11ACC A为正方形，所以11C CA为等腰直角三角形.12 分 所以114C CA=.所以直线1C C与平面1A BC所成角为4.14 分（19）（共 14 分）解：（）由题意得2p=.2 分 所以抛物线的方程为24yx=.4 分 所以抛物线的准线方程为1x=.5 分 （）依题意由2,4yxbyx=+=得22(24)0+=bxbx.6 分 由16160b=，得1b.7 分 设1122(),(),A xB xyy，则1242xxb=+.8 分 所以121224y
6、yxxb=+=.9 分 所以AB的中点坐标(2,2)Db.10 分 因为MAB为等腰三角形，所以MDAB.11 分 所以211b=，解得1b=.12 分 所以直线l的方程为 10 xy=.13 分 因为抛物线的焦点坐标是(1,0)，所以直线l经过抛物线C的焦点 14 分（20）（共 14 分）解：（）证明：如图，连接AC交BD于点N，连接MN.1 分 因为PA平面BDM，PA平面PAC，平面PAC平面BDMMN=，4 所以PAMN.3 分 因为底面ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点，所以M是PC的中点.5 分（）选择条件选择条件：60BAD=.（i）取AB的中点E，连接DE.因为底面AB
7、CD是平行四边形，DADC=，60BAD=，所以ABD是等边三角形.所以DEAB.6 分 如图建立空间直角坐标系 D xyz，则(3,1,0),(3,1,0),(0,1,1),(0,0,2),ABMP 所以(3,1,0)=DB，(0,1,1)=DM.7 分 设平面BDM的法向量(,)x y z=n，则 30,0,DBxyDMyz=+=+=nn 即3,3.yxzx=令1x=，则3,3yz=.于是(1,3,3)=n.8 分 因为PD底面BCD，所以平面BCD的法向量(0,0,2)DP=.9 分 所以2 321cos,72 7=DPDPDPnnn.由题知，二面角MBDC为锐角，所以其余弦值为217.
8、10 分 选择条件选择条件：2BD=.（i）取AB的中点E，连接DE.因为2DADCBD=，所以ABD是等边三角形.所以DEAB.6 分 以下同选条件.10 分 （ii）假设在棱PA上存在点(,)Q x y z，且(01)PQPA=，A B C D P M y E x z A B C D P M N 5 则(,2)(3,1,2)x y z=.11 分 所以(3,22)Q.所以(33,1,22)BQ=.12 分 因为BQ 平面BDM，平面BDM的法向量(1,3,3)=n，所以33122133=.13 分 因为此方程组无实根，所以不存在点Q使得BQ 平面BDM.14 分（21）（共 14 分）解：
9、（）由题设，22224,22,.acaabc=+解得2224,2,2.=abc 3 分 所以椭圆G的方程为22142xy+=.4 分（）当直线l的斜率不存在时，6(1,)2M，6(1,)2N.所以4 563MN=，不合题意.5 分 当直线l的斜率存在时，设:(1)l yk x=，设11(,)M x y，22(,)N xy.联立方程组221,42(1)xyyk x+=消去y得2222(1)4xkx+=.整理得2222(21)4240+=kxk xk.所以2122421+=+kxxk，21 222421=+kx xk.6 分 由4222164(21)(24)8(23)0kkkk=+=+，7 分 6
10、 所以22221212121 2()()1()4MNxxyykxxx x=+=+2228(23)4 51213+=+=+kkk.所以4213580=kk.所以22(1301)(8)kk=+.解得1k=.8 分 综上，所求直线l的方程为10 xy=或10 xy+=.9 分 （）由题意得1(2,0)A，2(2,0)A.当直线l的斜率不存在时，6(1,)2M，6(1,)2N，此时都有1213kk=.10 分 当直线l的斜率存在时，设:(1)l yk x=，11(,)M x y，22(,)N xy.所以直线1A M的斜率11111(1)22=+yk xkxx，直线2A N的斜率22222(1)22yk
11、 xkxx=.11 分 所以1121 2122121 221(1)(2)22(2)(1)22kxxx xxxkxxx xxx+=+因为11 2121 22121 22113(22)(22)33(22)kx xxxx xxxkx xxx+=+1 2121 22125(83(22)x xxxx xxx+=22221 2214820821213(22)kkkkx xxx+=+22221 221482016213(22)80kkkkx xxx+=+=.13 分 所以1213kk=.综上，1213=kk.14 分 7 备注：备注：所以1121 212121 221(1)(2)22(2)(1)222+=+
12、kxxx xxxkxxx xxx 2211222211222442()221212442()22121+=+kkxxkkkkxxkk 21221222121663321+=+kxkkxk.综上，1213=kk.14 分 解法解法 2 2:（）由题意设直线l的方程为1xmy=+，且11(,)M x y，22(,)N xy.5 分 联立方程组221,421.xyxmy+=+消去x，得22(1)24myy+=，整理得22(2)230mymy+=.因为 28(23)0m=+.6 分 所以12222myym+=+，12232y ym=+，7 分 因为 221212()()MNxxyy=+2221222 464 51123mmyymm+=+=+=+,解得1m=.8 分 综上，所求直线l的方程为10 xy=或10 xy+=.9 分（）由题意可知121223()my yyy=+.直线1AM的斜率1111123yykxmy=+，8 直线2A N的斜率2222221yykxmy=，11 分 所以11112121222112223(1)(3)31ykmyy mymy yyyky mymy yymy+=+1211211212212212223()231263()6393my yyyyyyymy yyyyyyy+=+.14 分
