1、第 1页/共 10页2023 北京朝阳高二（上）期末数学20231（考试时间 120 分钟满分 150 分）考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共 50 分）一、选择题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知na为等差数列，54a，则46aa（A）4（B）6（C）8（D）10（2）已知点(,2)M a（0a）到直线:30l xy的距离为1，则实数a（A）21（B）2（C）22（D）21（3）设函数()lnf xxx，则曲线()yf x在点(1,(1)f处的切线方程为
2、（A）10 xy（B）210 xy（C）20 xy（D）220 xy（4）已知F是抛物线2:4C yx的焦点，点0(3,)Py在抛物线C上，则|PF（A）2 3（B）2 31（C）3（D）4（5）已知直线1:10lxay，直线2:(2)310laxy，则“1a”是“12/ll”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（6）如图，在四面体OABC中，G是BC的中点，设OA a，OB b，OC c，则AG（A）1122abc（B）12abc（C）12abc（D）1122 abc（7）已知函数32()1f xxaxx（aR）有两个极值点12,x x（
3、12xx），则（A）3a 或3a（B）1x是()f x的极小值点（C）1213xx（D）1213x x （8）在平面直角坐标系xOy中，设12,F F是双曲线22:12yC x 的两个焦点，点M在C上，且120MF MF ，第 2页/共 10页则12MFF的面积为（A）3（B）2（C）5（D）4（9）如图，平面平面，l，,A B是直线l上的两点，,C D是平面内的两点，且DAl，CBl，4DA，6AB，8CB，若平面内的动点P满足APDBPC，则四棱锥PABCD的体积的最大值为（A）24（B）24 3（C）48（D）48 3（10）斐波那契数列nF（*nN）在很多领域都有广泛应用，它是由如下递
4、推公式给出的：121FF，当2n 时，12nnnFFF若2222123100mmFFFFFF，则m（A）98（B）99（C）100（D）101第二部分（非选择题共 100 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（11）函数()exf xx的导函数()fx_（12）已知平面的法向量为(1,2,2)n，直线l的方向向量为(2,4)m u，且l，则实数m _（13）过圆22:(1)1Cxy的圆心且与直线0 xy平行的直线的方程是_（14）设点12,F F分别为椭圆22:12xCy的左、右焦点，则椭圆C的离心率为_；经过原点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于,P Q两点，当四边形12
5、PFQF的面积最大时，12PF PF _（15）已知na是首项为负数，公比为q的等比数列，若对任意的正整数n，21220nnaa恒成立，则q的值可以是_（只需写出一个）（16）数学家笛卡儿研究了许多优美的曲线，如笛卡儿叶形线D在平面直角坐标系xOy中的方程为3330 xyaxy当1a 时，给出下列四个结论：曲线D不经过第三象限；曲线D关于直线yx轴对称；对任意kR，曲线D与直线yxk 一定有公共点；对任意kR，曲线D与直线yk一定有公共点其中所有正确结论的序号是_三、解答题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。第 3页/共 10页（17）（本小题 13 分）设函数
6、321()313f xxxx（）求()f x的单调区间；（）当0,4x时，求()f x的最大值与最小值（18）（本小题 14 分）已知na是等差数列，其前n项和为nS（*nN），11a，59a（）求数列na的通项公式及nS；（）从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，求数列nb的前n项和nT条件：2nanb；条件：2nnnba；条件：11nnnbaa注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分（19）（本小题 14 分）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB 平面ABCD，/ADBC，2ABC，3PAPB，1BC，2AB，3AD，点O是AB的中点（）求证：POCD；（）求二面角APO
7、D的余弦值；（）在棱PC上是否存在点M，使得/BM平面POD？若存在，求CMCP的值；若不存在，说明理由第 4页/共 10页（20）（本小题 14 分）已知椭圆2222:1xyCab（0ab）的长轴长为 4，且点3(1,)2P在椭圆C上（）求椭圆C的方程；（）过点(4,0)M的直线l与椭圆C交于11(,)A x y，22(,)B xy两点，且120y y 问：x轴上是否存在点N，使得直线NA，直线NB与y轴围成的三角形始终是底边在y轴上的等腰三角形？若存在，求点N的坐标；若不存在，说明理由（21）（本小题 15 分）在无穷数列na中，12a，21a，21|nnnaaa，*nN（）求14aa与4
8、7aa的值；（）证明：数列na中有无穷多项不为0；（）证明：数列na中的所有项都不为0（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）第 5页/共 10页参考答案一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）（1）C（2）A（3）B（4）D（5）C（6）D（7）A（8）B（9）C（10）B二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）（11）(1)exx（12）4（13）10 xy（14）22；0（15）3（答案不唯一）（16）三、解答题（共 5 小题，共 70 分）（17）（共 13 分）解：（）函数()f x的定义域为R，2()23fxxx令2()230fxxx，得1
9、1x ，23x 当x变化时，(),()fxf x的变化情况如下：x(,1)1(1,3)3(3,)()fx00()f x单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以函数()f x的单调递增区间为(,1)，(3,)；单调递减区间为(1,3).8 分（）由（）可知，函数()f x在区间0,3上单调递减，在区间3,4上单调递增，所以()f x在区间0,4上的最小值为(3)8f 因为(0)1f，17(4)3f，所以(0)(4)ff所以()f x在区间0,4上的最大值为(0)1f.13 分（18）（共 14 分）解：（）设等差数列na的公差为d，则514aad由914d，解得2d 因为1(1)naand，所以
10、21nan（*nN）所以21()1(21)22nnaannnSn.6 分（）选条件：2nanb 因为2122nannb，第 6页/共 10页所以2121212242nnnnbb又因为12b，所以数列nb是首项为 2，公比为 4 的等比数列所以2(14)2(41)143nnnT.14 分选条件：2nnnba因为2221nnnnban所以123nnTbbbb123(21)(23)(25)2(21)nn123(2222)135(21)nn22(12)12nn1222nn.14 分选条件：11nnnbaa因为111111()(21)(21)22121nnnbaannnn，所以123nnTbbbb111
11、11111(1)2335572121nn11(1)221n21nn.14 分（19）（共 14 分）解：（）因为PAPB，点O为AB的中点，所以POAB又因为平面PAB 平面ABCD，平面PAB 平面=ABCD AB，PO 平面PAB，所以PO 平面ABCD又因为CD 平面ABCD，所以POCD 4 分（）取Q为CD的中点，连接OQ因为/OQBC，2ABC，所以OQAB第 7页/共 10页由（）知POAB又因为PO 平面ABCD，OQ 平面ABCD，所以POOQ如图，分别以,OB OQ OP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz则(1,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(1,3,
12、0)ABCD因为222 2POPAOA，所以(0,0,2 2)P所以(0,0,2 2)OP ，(1,3,0)OD 因为OQ 平面APO，所以平面APO的法向量为1(0,1,0)n设平面POD的法向量为2(,)x y zn，则220,0,OPODnn 即2 20,30.zxy 令1y，则3x，0z 于是2(3,1,0)n设二面角APOD为，由题知为锐角，则211212|10coscos|10|,nnn nnn所以二面角APOD的余弦值为1010.10 分（）设M是棱PC上一点，则存在0,1使得CMCP 因为(1,1,2 2)CP ，所以(,1,2 2)BMBCCMBCCP 因为平面POD的法向量
13、为2(3,1,0)n，所以/BM平面POD当且仅当20BM n，即310，解得14所以在棱PC上存在点M，使得/BM平面POD，此时14CMCP.14 分（20）（共 14 分）解：（）由题设，得2224,131.4aab解得2a，1b 所以椭圆C的方程为2214xy.4 分第 8页/共 10页（）依题意，直线 l 的斜率存在且不为 0，设其方程为(4)yk x（0k）由22(4),440yk xxy得2222(41)326440kxk xk由2222(32)4(41)(644)0kkk ，得3366k12221324kxxk，212264441kx xk假设存在点(,0)N t满足题意，则0
14、NANBkk12121212(4)(4)NANByyk xk xkkxtxtxtxt1212122(4)()8()()x xtxxtkxt xt令1212122(4)()80()()x xtxxtkxt xt，即12122(4)()80 x xtxxt所以2222221288(4)328320411414ktkttkkkk所以22201288(4)32832ktkttk，即88t 所以1t 故在x轴上存在点(1,0)N，使得直线NA，直线NB与y轴围成的三角形始终是底边在y轴上的等腰三角形.14 分（21）（共 15 分）解：（）因为12,12aa，所以342,221aa所以1422212aa
15、又567221,2432,3aaa，所以472421232aa.4 分（）假设数列na中只有有限多个不为0的项设0ka 是数列na中不为0的最后一项则10ka所以21|0kkkkaaaa，与假设矛盾所以数列na中有无穷多项不为0.9 分（）解法一：由（）可得1231,1,22aaa，2245672(21),(21)21(,221)aaaa下面证明对任意*nN，有1322(21)nna，131(21)(,21),nnnnan为奇数,为偶数,31(21)(2,1)nnnnan为奇数,为偶数.当1n 时，由（）可得1231,1,22aaa假设当nk时，式成立当1nk时，13(1)231331|(21
16、)(21)|2(21)kkkkkkkaaaa，式成立，第 9页/共 10页313(1)132131(|2(21)(21)1|2(21)21)1(21)1(21)1|,|,kkkkkkkkkkaaakkkak为奇数,为偶数,为奇数,为偶数,式成立，3(1)33323111|(21)2(21)1|(21)2(21)1(21)1,(21),1|,|,kkkkkkkkkkaaakkkak为奇数,为偶数,为奇数,为偶数,式成立所以对任意*nN，式成立所以对任意*nN，有0na，即0na.15 分（）解法二：由（）可得1231,1,22aaa，2245672(21),(21)21(,221)aaaa下面证
17、明对任意*nN，有1322(21)nna，131(21)(,21),nnnnan为奇数,为偶数,31(21)(2,1)nnnnan为奇数,为偶数.假设存在*tN，使得1322(21)tta或131(21)(,21),ttttat为奇数,为偶数,或31(21)(2,1)ttttat为奇数,为偶数.设1321*31312(21)(21)(21)(21)(21,),ttttttttatTtattat N为奇数,或为偶数,为奇数,或为偶数取minmT，则2m 所以对任意1km，有1322(21)kka，131(21)(,21),kkkkak为奇数,为偶数,31(21)(2,1)kkkkak为奇数,为偶
18、数.所以2323(1)13(11)3(1)11|(21)(21)|2(21)mmmmmmmaaaa，第 10页/共 10页313(1)23(1)13(1)12111|2(21)(21)|2(21)21)(2|,(|1)(2),1,mmmmmmmmmmaaammmam为奇数,为偶数,为奇数,为偶数,33(1)33(1)23(1)11111|(21)2(21)|(21)2(21)(21)(1|,|,),2mmmmmmmmmmaaammmam为奇数,为偶数,为奇数,为偶数.所以mT，与minmT矛盾所以假设不成立所以对任意*nN，有0na，即0na.15 分（）解法三：由（）可得1231,1,22aaa，2245672(21),(21)21(,221)aaaa依次类推，对任意*nN，有1322(21)nna，131(21)(,21),nnnnan为奇数,为偶数,31(21)(2,1)nnnnan为奇数,为偶数.所以对任意*nN，有0na，即0na
