1、书书书 ! ! ! ! #学年度第一学期期中考试 高二数学试题 注意事项! !#$答卷前! 考生务必将自己的姓名 考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上$ !$回答选择题时! 选出每个小题答案后! 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑$如需改动! 用橡皮擦干净后! 再选涂其他答案标号$回答非选择题时! 将答案写 在答题卡上$写在本试卷上无效$ 第!卷# 选择题!% 分$ 一 单项选择题! 本题共# 且满足( 1# ! #$ 求动点0的轨迹曲线4的方程) !$ 若直线3/)1(0与曲线4交于#两点# 求 : #面积的最大值! 页 ( 共 ! 页 ( 第 ! 题试学数二高 1 2020-2021
2、 高二第一学期期中考试数学试题答案 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2 回答选择题时， 选出每个小题答案后， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如 需改动， 用橡皮擦干净后， 再选涂其他答案标号 回答非选择题时， 将答案写在答题卡上 写 在本试卷上无效 第卷（选择题 60 分） 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有 选错的得 0 分 1-8 C D B A C D A C,9ABC；10ACD； 11
3、.ABD.12AC 第卷（非选择题 90 分） 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 1 13 3. . 1 14 4. . 153 5 1 .16. 1064 ,0 , 39 （第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. （1） 由 解得 由于点 的坐标是 则所求直线 与 垂直，可设直线 的方程为 把点 的坐标代入得 ，即 所求直线 的方程为 （2） 由直线 的方程知它在 轴， 轴上的截距分别是 ， 2 所以直线 与两坐标轴围成三角形的面积 18. （1） ，连接 ， （2） ， 所以 ，
4、19. 解: （1）由题意得，直线PQ的斜率 1 3 3 k = ， PQ中点的坐标为 13 () 22 ， ， 2 分 所以PQ中垂线的方程为 31 3() 22 yx= ，即为 3yx= 4 分 由 3 yx yx = = 得，圆心 (0,0)C ，所以 | 2rCP= 所以圆C的标准方程为： 22 4xy+= 5 分 （2）若所求直线的斜率不存在，则直线方程为 2x = ，满足题意 6 分 若所求直线的斜率存在，设为k 则所求直线方程为： 1(2)yk x = ，即为 210kxyk+ = 8 分 因为该直线与圆C恰有1个公共点， 所以圆心到直线距离 2 |1 2 | 2 1 k d k
5、 = + ，解得 3 4 k = 10 分 此时，直线方程为3 4100 xy+= 由得，所求直线方程为： 2x = 或3 4100 xy+= 12 分 20. 解： （）因为椭圆 E：x2+1（0b1）的左、右焦点，过 F1 的直线与 E 相交于 A、B 两点， 由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|4a 已知 a1 ABF2 的周长为 4 -3 分 （）由已知|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列 3 |AF2|+|BF2|2|AB|，又|AF2|+|AB|+|BF2|4 故 3|AB|4， 解得|AB| -6 分 （）设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 A，B 两点
6、坐标满足方程， ，化简得， （1+b2）x2+2cx+12b20，则 x1+x2，x1x2， 因为直线 AB 的斜率为 1，所以|AB|x2x1|，即|x2x1|， 则（x1+x2）24x1x2， 解得 b；-12 分 21. (）矩形 ABCD 中，ABCD， AB面 PCD，CD平面 PCD， AB平面 PCD， 又 AB平面 ABE， 平面 PCD平面 ABE=EF， ABEF， EF面 PAB，AB平面 PAB， EF平面 PAB-6 分 （）取 AD 中点 O，连结 OP， 在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为矩形，AB=4，AD=2，PA=PD，且平面 PAD平面 ABC
7、D， PO底面 ABCD，连接 OB，则 OB 为 PB 在平面 ABCD 内的射影， PBO 为 PB 与平面 ABCD 所成角，根据题意知 sinPBO= 2 21 21 ， tanPBO= 2 17 17 ，由题 OB=17，PO=2 取 BC 中点 G，连接 OG，以 O 为坐标原点，OA 为 x 轴，在平面 ABCD 中，过 O 作 AB 的平行线 为 y 轴，以 OP 为 z 轴，建立空间直角坐标系， B（1，4，0） ，设 P（0，0，2） ，C=（-1，4，0） ， E（- 1 2 ，2，1） ()102PA = uuu r ， ， 3 21 2 AE uuu r ， ， =
8、设平面 PAE 的法向量为()nxyz r ， ，=， 于是 20 3 20 2 n PAxz n AExyz = = += uuu r r uuu r r ， 令 x=2，则 y=1，z=1Y 4 平面 PAE 的一个法向量n r =（2，1，1） 同理平面 ABE 的一个法向量为m r =（2，0，3） ， cosmn rr ， = 437 78 78613 + = 可知二面角 P-AE-B 为钝二面角 所以二面角 P-AE-B 的余弦值为- 7 78 78 -12 分 22 （本小题满分 12 分） 解： （1）设点 ),(yxP ，由题知： 22 (1)1 |4|2 xy x + =
9、， 2 分 所以 222 )4(4) 1(4=+xyx 整理得点P的轨迹方程为： 1 34 22 =+ yx 4 分 （2）由 22 1 43 yxt xy =+ += 得， 22 784120 xtxt+= 6 分 设 11 ( ,)A x y ， 22 (,)B xy ，则 12 8 7 t xx+= ， 2 12 412 7 t x x = 由 222 6428(412)48(7)0ttt = 得， 2 07t 2 2 12 48(7)4 6 |2 |27 77 t ABxxt = 8 分 点O到直线m的距离 | | 2 t d = 所以 2 22 1 | | 4 6 72 3 (7) 2772 AOB tt Stt = 10 分 22 2 2 37 ()3 72 tt+ = （当且仅当 2 7 2 t = 时等号成立，满足 0 ） 所以 AOB 面积最大值为 3 12 分
