1、湖南省长沙市雅礼教育集团2020-2021学年 高二上学期期中考试数学试题 湖南省长沙市雅礼教育集团2020-2021学年 高二上学期期中考试数学试题 时量：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共一、选择题：本题共8个小题，每小题个小题，每小题5分，共分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1半径为 2 的球的表面积是() A 16 3 B 32 3 C16D32 2已知向量3a ，2，x，向量2b ，0，1，若ab ，则实数x () A3B3 C6D6 3下列说法正确的是() A通过圆台侧面一点，有无
2、数条母线 B棱柱的底面一定是平行四边形 C圆锥的轴截面是等腰三角形 D用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台 4在正方体 1111 ABCDABC D中，AC与 1 BC所成角的大小为() A30B45C60D90 5已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线互相垂直，焦距为6 2，则该双曲线的 实轴长为() A3B6C9D12 6已知半径为 1 的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为() A4B5C6D7 7已知( 2,1)是直线l被椭圆 22 1 369 xy 所截得线段的中点，则直线l的方程是() A20 xyB240 xyC230
3、xyD2310 xy 8已知 1 F、 2 F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P 与点 2 F关于直线 bx y a 对称，则该双曲线的离心率为() A 5 2 B5C2D2 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 个小题个小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合 题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9下列说法正确的是() A方程1 2 y x 表示一条直线 B到 x 轴的距离为
4、 2 的点的轨迹方程为2y C方程 2222 (1)(4)0 xy表示四个点 D “75 m”是“方程1 57 22 m y m x 表示椭圆”的必要不充分条件 10已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，且 l，m，则下列 命题中正确的是() A若/ /，则mB若，则lm C若lm，则 lD若 m，则 11某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆，如图所示，已知 它的近地点A（离地面最近的点）距地面m千米，远地点B（离地面最远的点）距地面n千 米，并且F、A、B三点在同一直线上，地球半径约为R千米，设该椭圆的长轴长、短轴 长、焦距分别为2a、2b、2c，则() Aac
5、mRBacnRC2amnD()()bmR nR 12过抛物线 2 4yx的焦点F作直线交抛物线于A 1 x， 1 y，B 2 x， 2 y两点，M为线 段AB的中点，则() A以线段AB为直径的圆与直线1x相切 B以线段BF为直径的圆与y轴相切 C当3AFFB 时， 9 | 2 AB D3OA OB （O 为坐标原点） 三三、填空题填空题：本题本题共共 4 小题小题，每小题每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13曲线1ylnxx的一条切线的斜率为 2，则切点坐标为 14直三棱柱 111 CBAABC 中，若CAa ，CBb ， 1 CCc ，则 1 BA (用, ,a b c 表示） 15
6、 如图， 测量河对岸的塔高AB时， 可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C，D， 测得15BCD，30CBD，10 2CD （米)，并在C处测得塔顶A的仰角为45， 则塔高AB 米 16农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽粒，俗称“粽子” ，古称“角 黍” ，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人 屈原如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为 1 的正三角形构成的，将它沿虚线折起 来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，若该六面体内有一球，则该球体积的最大值 为 四四、解答题解答题：本题本题共共 6 小题小题，共共 70 分分.解答应写出文
7、字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）设等比数列 n a满足 12 4aa， 31 8aa （1）求 n a的通项公式； （2）记 n S为数列 3 log n a的前n项和若 13mmm SSS ，求m 18 （12 分）已知曲线 3 :C yx求： （1）曲线C上横坐标为 1 的点处的切线的方程； （2）第（1）小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点？ 19 （12 分） 在ABC 中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c， 已知sin2sinaBbA （1）求角B的大小； （2）给出三个条件2b ，ABC 外接圆半径 2 3 3 r ，
8、2 3ac，试从中选择两 个可以确定ABC 的条件，并求ABC 的面积 20 （12 分）如图所示，在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为正方形，且2BC ，4AB ， 2 5ACAE （1）证明：AB 平面BCDE； （2）求二面角CADE的余弦值 21 （12 分）已知抛物线 2 :4C yx，直线: l yxm与抛物线交于A，B两点，( 1,6)P 是 抛物线准线上的点，连结PA，PB （1）若1m ，求AB的长 （2）若PAB 是以PA，PB为腰的等腰三角形，求m的值 22 （12 分）在平面直角坐标系xOy中，圆 22 :(1)16Axy，点( 1,0)B ，过B的直线l与 圆A交于点
9、C，D，过B做直线BE平行AC交AD于点E （1）求点E的轨迹的方程； （2）过A的直线与交于H、G两点，若线段HG的中点为M，且2MNOM ，求四边 形OHNG面积的最大值 日期：2020/11/16 17:06:30 ；用户：哈哈哈哈给；邮箱：17771121119 ；学号： 25052989 雅礼教育集团雅礼教育集团 20202020 下学期期中考试试卷下学期期中考试试卷 高二数学参考答案高二数学参考答案 一一、选择题选择题：本题共本题共 8 个小题个小题，每小题每小题 5 分分，共共 40 分分，在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有只有 一项是符合题目要求的一项是符合
10、题目要求的. 题题 号号12345678 答答 案案CDCCBABB 二二、选择题选择题：本题共本题共 4 个小题个小题，每小题每小题 5 分分，共共 20 分分.在每小题给出的选项中在每小题给出的选项中，有多项符合有多项符合 题目要求题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 题题 号号9101112 答答 案案CDADABDABD 三三、填空题填空题：本题本题共共 4 小题小题，每小题每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. (1，2)14.abc 15.2016. 729 68 四四、解答题解答题：本题本题
11、共共 6 小题小题，共共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17解： （1）设公比为q，则由 11 2 11 4 8 aa q a qa ， 可得 1 1a ，3q ， 所以 1 3n n a （2）由（1）有 3 log1 n an，是一个以 0 为首项，1 为公差的等差数列， 所以 (1) 2 n n n S ， 所以 (1)(1)(3)(2) 222 m mmmmm ， 2 560mm， 解得6m ，或1m （舍去） ， 所以6m 18解： （1） 2 3yx 1 |3 x y ， 而切点的坐标为(1,1) 曲线 3 yx在1x
12、的处的切线方程为320 xy （2）由方程组： 3 320 xy yx 解得： 1 1 x y 或 2 8 x y 故切线与曲线C还有其他的公共点：( 2, 8) 19解： （1）因为sin2sinaBbA，所以2 sincossinaBBbA， 由正弦定理得2cosabBba， 1 cos 2 B ， 0B， 3 B ； （2）显然可知当选择条件时，ABC 不唯一； 当选择条件时，ABC 唯一，此时， 由余弦定理 222 2cosbacacB， 即 222 4()3123acacacacac 解得 8 3 ac 所以ABC 的面积 11832 3 sin 22323 SacB 当选择条件时，
13、ABC 唯一，此时， 由正弦定理可知2 sin2brB 由余弦定理 222 2cosbacacB， 即 222 4()3123acacacacac 解得 8 3 ac 所以ABC 的面积 11832 3 sin 22323 SacB 20 （1）证明：底面BCDE为正方形，且2BC ，4AB ，2 5ACAE 222 ACABBC， 222 AEABBE， ABBC，ABBE， 又BCBEB ，BC 平面BCDE，BE 平面BCDE， AB平面BCDE； （2）解：由（1）知，AB 平面BCDE，又底面BCDE为正方形， 分别以BC ，BE ，BA 为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系 则(
14、0B，0，0)，(0A，0，4)，(2C，0，0)，(0E，2，0)， (2,0, 4)AC ，(2,2, 4)AD ，(0,2, 4)AE 设平面ACD的一个法向量为( , , )nx y z ， 则 240 2240 n ACxz n ADxyz ，取1z ，得(2,0,1)n ； 同理可求得平面ADE的一个法向量(0,2,1)m 11 cos, | |555 m n m n mn 又二面角CADE为钝角， 故二面角CADE的余弦值为 1 5 21解： （1）联立直线1yx和抛物线方程 2 4yx，可得 2 610 xx ， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，可得
15、12 6xx， 12 1x x ， 可得 2 121212 |1 1 |2()42364 18ABxxxxx x ； （2）联立直线yxm和抛物线方程 2 4yx，可得 22 (24)0 xmxm， 设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，可得 12 42xxm， 设AB的中点为D，可得(2,2)Dm， 由PAB 是以PA，PB为腰的等腰三角形，可得直线PD的斜率为1， 由( 1,6)P ，可得 62 1 12m ，解得1m ， 由 22 (24)40mm，可得1m ，1m 成立， 故m的值为1 22解： （1）因为 | | EBED ACAD ，又因为| | 4ACAD，所
16、以| |EBED， 所以| | | 4 | 2EBEAEDEAADAB， 所以E的轨迹是焦点为A，B，长轴为 4 的椭圆的一部分， 设椭圆方程为： 22 22 1(0) xy ab ab ， 则24a ，22c ，所以 2 4a ， 222 3bac， 所以椭圆方程为 22 1 43 xy ， 又因为点E不在x轴上，所以0y ， 所以点E的轨迹的方程为 22 1(0) 43 xy y （2）因为直线HG斜率不为 0，设为1xty， 设 1 (G x， 1) y， 2 (H x， 2) y，联立 22 1, 1 43 xty xy 整理得 22 (34)690tyty， 所以 222 3636(34)144(1)0ttt， 12 2 6 34 t yy t ， 12 2 9 34 y y t ， 所以 2 12 2 161 | 234 OHG t SOAyy t ， 2MNOM ，2 GHNOHG SS ， 设四边形OHNG的面积为S， 则 2 22 2 2 2 1811818 3 1 3434 31 1 1 OHGGHNOHG t SSSS tt t t t ， 令 2 1(1)tm m， 再令 1 3ym m ，则 1 3ym m 在1，)单调递增， 所以1m 时，4 min y， 此时0t ， 2 2 1 31 1 t t 取得最小值 4，所以 9 2 max S
