1、【海淀】( 20)(本小题满分14分) 已知椭圆的左顶点为,两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形,过点且与轴不重合的直线与椭圆交于不同的两点 (I)求椭圆的方程; ()当与垂直时,求的长;()若过点且平行于的直线交直线于点,求证:直线恒过定点解:()因为,所以 因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形,所以 又 所以 , 所以椭圆方程为 ()方法一: 设 , ,(舍) 所以 方法二: 设, 因为与垂直, 所以点在以为直径的圆上, 又以为直径的圆的圆心为,半径为,方程为 , ,(舍) 所以 方法三:设直线的斜率为, ,其中 化简得 当时, 得 , 显然直线存在斜率且斜率不为0. 因为与垂
2、直,所以 得, 所以 ()直线恒过定点 设,由题意,设直线的方程为, 由 得, 显然,则, 因为直线与平行,所以,则的直线方程为,令,则,即 ,直线的方程为 令,得 因为,故,所以直线恒过定点. 【西城】20(本小题满分14分)已知椭圆: 的长轴长为4,左、右顶点分别为,经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点(不与点重合). ()求椭圆的方程及离心率; ()求四边形面积的最大值; ()若直线与直线相交于点,判断点是否位于一条定直线上?若是,写出该直线的方程. (结论不要求证明)解:()由题意,得 , 解得. 1分所以椭圆方程为. 2分故,.所以椭圆的离心率. 4分()当直线的斜率不存在时,由题意
3、,得的方程为, 代入椭圆的方程,得, 又因为, 所以四边形的面积. 6分 当直线的斜率存在时,设的方程为, 联立方程 消去,得. 7分 由题意,可知恒成立,则,. 8分 四边形的面积 9分 , 设,则四边形的面积, 所以. 综上,四边形面积的最大值为. 11分 ()结论:点在一条定直线上,且该直线的方程为. 14分【朝阳】20. (本小题满分14分)已知点为椭圆上任意一点,直线与圆交于两点,点为椭圆的左焦点()求椭圆的离心率及左焦点的坐标;()求证:直线与椭圆相切;()判断是否为定值,并说明理由()由题意, 所以离心率,左焦点 4分()由题知,即.当时直线方程为或,直线与椭圆相切当时,由得,即
4、所以 故直线与椭圆相切 8分()设,当时, 所以,即当时,由 得,则,因为 所以,即故为定值 14分【丰台】20(本小题14分)已知椭圆,直线与椭圆交于两点,直线与椭圆交于两点()求椭圆的离心率;()证明:四边形不可能为矩形解:()由题知 解得. 则,所以椭圆W的离心率为. ()由于两直线关于原点成中心对称且椭圆是关于原点的中心对称图形.不妨设.则 得,.所以 AB不垂直于AD.所以 四边形ABCD不可能为矩形.【石景山】20(本小题满分14分)已知椭圆的离心率为,右焦点为,左顶点为,右顶点在直线:上()求椭圆的方程;()设点是椭圆上异于,的点,直线交直线于点,当点运动时,判断以为直径的圆与直
5、线的位置关系,并加以证明解:()依题可知, 因为 ,所以 故椭圆的方程为 ()以为直径的圆与直线相切 证明如下:由题意可设直线的方程为则点坐标为,中点的坐标为, 由得 设点的坐标为,则所以, 因为点坐标为, 当时,点的坐标为,直线的方程为,点的坐标 为此时以为直径的圆与直线相切 当时,直线的斜率所以直线的方程为,即 故点到直线的距离 (或直线的方程为,故点到直线的距离)又因为 ,故以为直径的圆与直线相切综上得,当点运动时,以为直径的圆与直线相切 解法二:()以为直径的圆与直线相切 证明如下: 设点,则 当时,点的坐标为,直线的方程为, 点的坐标为, 此时以为直径的圆与直线相切, 当时直线的方程
6、为, 点D的坐标为,中点的坐标为,故 直线的斜率为, 故直线的方程为,即, 所以点到直线的距离 故以为直径的圆与直线相切综上得,当点运动时,以为直径的圆与直线相切 【东城】(19)(本小题13分)已知为椭圆上两点,过点且斜率为的两条直线与椭圆的交点分别为.()求椭圆的方程及离心率;()若四边形为平行四边形,求的值(19)(共13分)解:(I)由题意得解得所以椭圆的方程为. 又, 所以离心率. .5分(II)设直线的方程为,由消去,整理得.当时,设,则,即.将代入,整理得,所以.所以.所以.同理.所以直线的斜率.又直线的斜率,所以.因为四边形为平行四边形,所以.所以,解得或.时,与重合,不符合题意,舍去.所以四边形为平行四边形时,. 13分