1、【海淀】( 20)（本小题满分14分） 已知椭圆的左顶点为，两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于不同的两点 (I)求椭圆的方程； ()当与垂直时，求的长；()若过点且平行于的直线交直线于点，求证：直线恒过定点解：（）因为，所以 因为两个焦点与短轴一个顶点构成等腰直角三角形，所以 又 所以 ， 所以椭圆方程为 （）方法一： 设 ， ，（舍） 所以 方法二： 设， 因为与垂直， 所以点在以为直径的圆上， 又以为直径的圆的圆心为，半径为，方程为 ， ，（舍） 所以 方法三：设直线的斜率为， ，其中 化简得 当时， 得 ， 显然直线存在斜率且斜率不为0. 因为与垂
2、直，所以 得， 所以 （）直线恒过定点 设，由题意，设直线的方程为， 由 得， 显然，则， 因为直线与平行，所以，则的直线方程为，令，则，即 ，直线的方程为 令，得 因为，故，所以直线恒过定点. 【西城】20（本小题满分14分）已知椭圆: 的长轴长为4，左、右顶点分别为，经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）. （）求椭圆的方程及离心率； （）求四边形面积的最大值； （）若直线与直线相交于点，判断点是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程. （结论不要求证明）解：（）由题意，得 , 解得. 1分所以椭圆方程为. 2分故，.所以椭圆的离心率. 4分（）当直线的斜率不存在时，由题意
3、，得的方程为， 代入椭圆的方程，得， 又因为， 所以四边形的面积. 6分 当直线的斜率存在时，设的方程为， 联立方程 消去，得. 7分 由题意，可知恒成立，则，. 8分 四边形的面积 9分 ， 设，则四边形的面积， 所以. 综上，四边形面积的最大值为. 11分 （）结论：点在一条定直线上，且该直线的方程为. 14分【朝阳】20. （本小题满分14分）已知点为椭圆上任意一点，直线与圆交于两点，点为椭圆的左焦点（）求椭圆的离心率及左焦点的坐标；（）求证：直线与椭圆相切；（）判断是否为定值，并说明理由（）由题意， 所以离心率，左焦点 4分（）由题知，即.当时直线方程为或，直线与椭圆相切当时，由得，即
4、所以 故直线与椭圆相切 8分（）设，当时， 所以，即当时，由 得，则，因为 所以，即故为定值 14分【丰台】20（本小题14分）已知椭圆，直线与椭圆交于两点，直线与椭圆交于两点（）求椭圆的离心率；（）证明：四边形不可能为矩形解：（）由题知 解得. 则，所以椭圆W的离心率为. （）由于两直线关于原点成中心对称且椭圆是关于原点的中心对称图形.不妨设.则 得，.所以 AB不垂直于AD.所以 四边形ABCD不可能为矩形.【石景山】20（本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，右焦点为，左顶点为，右顶点在直线:上（）求椭圆的方程；（）设点是椭圆上异于，的点，直线交直线于点，当点运动时，判断以为直径的圆与直
5、线的位置关系，并加以证明解：（）依题可知， 因为 ，所以 故椭圆的方程为 （）以为直径的圆与直线相切 证明如下：由题意可设直线的方程为则点坐标为，中点的坐标为， 由得 设点的坐标为，则所以， 因为点坐标为， 当时，点的坐标为，直线的方程为，点的坐标 为此时以为直径的圆与直线相切 当时，直线的斜率所以直线的方程为,即 故点到直线的距离 （或直线的方程为,故点到直线的距离）又因为 ，故以为直径的圆与直线相切综上得，当点运动时，以为直径的圆与直线相切 解法二:（）以为直径的圆与直线相切 证明如下: 设点,则 当时,点的坐标为，直线的方程为， 点的坐标为， 此时以为直径的圆与直线相切， 当时直线的方程
6、为， 点D的坐标为,中点的坐标为,故 直线的斜率为, 故直线的方程为,即, 所以点到直线的距离 故以为直径的圆与直线相切综上得，当点运动时，以为直径的圆与直线相切 【东城】（19）（本小题13分）已知为椭圆上两点，过点且斜率为的两条直线与椭圆的交点分别为.（）求椭圆的方程及离心率；（）若四边形为平行四边形，求的值（19）（共13分）解：（I）由题意得解得所以椭圆的方程为. 又， 所以离心率. .5分（II）设直线的方程为，由消去，整理得.当时，设，则，即.将代入，整理得，所以.所以.所以.同理.所以直线的斜率.又直线的斜率，所以.因为四边形为平行四边形，所以.所以，解得或.时，与重合，不符合题意，舍去.所以四边形为平行四边形时，. 13分
