1、 22.2 事件的相互独立性事件的相互独立性 题型题型1 独立事件的概念独立事件的概念 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 1 一个家庭中有若干个小孩,假定生男孩和生女孩是等可能的,令 A一个家庭 中既有男孩又有女孩,B一个家庭中最多有一个女孩对下述两种情形,讨论 A 与 B 的独立性: (1)家庭中有两个小孩; (2)家庭中有三个小孩 解析:(1)有两个小孩的家庭,男孩、女孩的可能情形为(男,男),(男,女),(女, 男),(女,女),它有 4 个基本事件,由等可能性知概率各为1 4. 这时 A(男,女),(女,男),B(男,男),(男,
2、女),(女,男),AB(男,女), (女,男) 于是 P(A)1 2,P(B) 3 4,P(AB) 1 2. 由此可知 P(AB)P(A)P(B) 所以事件 A,B 不相互独立 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 (2)有三个小孩的家庭,小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男,男,男),(男, 男,女),(男,女,男),(男,女,女),(女,男,男),(女,男,女),(女,女,男),(女, 女,女) 由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为1 8,这时 A 中含有 6 个基本事件,B 中含有 4 个基本事件,AB 中含有 3 个基本事件 于是 P
3、(A)6 8 3 4,P(B) 4 8 1 2,P(AB) 3 8, 显然有 P(AB)3 8P(A)P(B)成立 从而事件 A 与 B 是相互独立的 规律方法:判断两个事件是否具有独立性的方法: (1)定义法:直接判定两个事件发生是否相互影响; (2)公式法:检验 P(AB)P(A)P(B)是否成立; (3)条件概率法:当 P(A)0 时,可用 P(B|A)P(B)判断 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 1下面所给出的两个事件 A 与 B 相互独立吗? 抛掷一枚骰子,事件 A“出现 1 点”,事件 B“出现 2 点”; 先后抛掷两
4、枚均匀硬币, 事件A“第一枚出现正面”, 事件B“第二枚出现反面”; 在含有2红1绿三个大小相同的小球的口袋中, 任取一个小球, 观察颜色后放回袋中, 事件 A“第一次取到绿球”,B“第二次取到绿球” 解析:事件 A 与 B 是互斥事件,故 A 与 B 不是相互独立事件 第一枚出现正面还是反面,对第二枚出现反面没有影响,A 与 B 相互独立 由于每次取球观察颜色后放回,故事件 A 的发生对事件 B 发生的概率没有影响,A 与 B 相互独立 题型题型2 求相互独立事件的概率求相互独立事件的概率 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 2 一个袋子
5、中有 3 个白球,2 个红球,每次从中任取 2 个球,取出后再放回,求: (1)第 1 次取出的 2 个球都是白球,第 2 次取出的 2 个球都是红球的概率; (2)第1次取出的2个球1个是白球、 1个是红球, 第2次取出的2个球都是白球的概率 解析:记:“第 1 次取出的 2 个球都是白球”的事件为 A, “第 2 次取出的 2 个球都是 红球”的事件为 B, “第 1 次取出的 2 个球 1 个是白球,1 个是红球”的事件为 C,很明显, 由于每次取出后再放回,A,B,C 都是相互独立事件 (1)P(AB)P(A)P(B)C 2 3 C2 5 C2 2 C2 5 3 10 1 10 3 1
6、00. 故第 1 次取出的 2 个球都是白球,第 2 次取出的 2 个球都是红球的概率是 3 100. (2)P(CA)P(C)P(A)C 1 3C 1 2 C2 5 C 2 3 C2 5 6 10 3 10 9 50. 故第 1 次取出的 2 个球 1 个是白球、1 个是红球,第 2 次取出的 2 个球都是白球的概率 是 9 50. 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 规律方法:互斥事件、对立事件、相互独立事件之间的区别 (1)两个事件互斥:AB,即 A 与 B 不能同时发生,此时有 P(AB)P(A)P(B) (2)两个事件对立:A 与 B
7、 互斥且 A,B 中必有一个发生,此时有 P(A)P(B)1,但反 过来 P(A)P(B)1 不能推出 A 与 B 对立 (3)两个事件相互独立等价于 P(AB)P(A)P(B),意味着事件 A,B 的发生互不影响,当 然可能同时发生,也可能不同时发生 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 2同时转动如图所示的两个转盘,记转盘甲得到的数为 x,转盘乙得到的数为 y,构成 数对(x,y),则所有数对(x,y)中满足 xy4 的概率为(C) A. 1 16 B. 1 8 C. 3 16 D. 1 4 解析:满足 xy4 的所有可能如下:x1
8、,y4;x2,y2; x4,y1. 所以,所求事件的概率 PP(x1,y4)P(x2,y2)P(x4,y1)1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 3 16.故选 C. 题型题型3 独立事件与互斥事件的综合应用独立事件与互斥事件的综合应用 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 3 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5,购买乙种商品的概率为 0.6, 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立, 各顾客之间购买商品也是相互独立的 求: (1)进入商场的 1 位顾客,甲、乙两种商品都购买的概率; (2)进入商场的 1 位顾客购买
9、甲、乙两种商品中的一种的概率; (3)进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率 解析:记 A 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买甲种商品”,则 P(A)0.5; 记 B 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买乙种商品”,则 P(B)0.6; 记 C 表示事件“进入商场的 1 位顾客,甲、乙两种商品都购买”; 记 D 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种” ; 记 E 表示事件“进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种” (1)易知 CAB,则 P(C)P(A)P(B)0.50.60.3. (2)易知 DA BA B,则 P(D)P(A BA
10、B)P(A B)P(A B)P(A)P(B)P(A)P(B) 0.50.40.50.60.5. (3)易知 EA B,则 P(E)P(A B)P(A) P(B)0.50.40.2,故 P(E)1P(E)0.8. 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 3甲、乙两射击运动员分别对一目标射击 1 次,甲射中的概率为 0.8,乙射中的概率为 0.9,求: (1)2 人中恰有 1 人射中目标的概率; (2)2 人至少有 1 人射中目标泊概率 解析:记“甲射击 1 次,射中目标”为事件 A, “乙射击 1 次,射中目标”为事件 B, 则 A 与 B
11、,A 与 B,A 与 B,A 与 B 为相互独立事件 (1)“2 人各射击 1 次, 恰有 1 人射中目标”包括两种情况: 一种是甲射中、 乙未射中(事 件 A B 发生), 另一种是甲未射中、 乙射中(事件 A B 发生) 根据题意, 事件 A B 与 A B 互斥, 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式,所求的概率为 P(A B)P(A B)P(A) P(B)P(A) P(B)0.8(10.9)(10.8)0.90.080.18 0.26. 所以 2 人中恰有 1 人射中目标的概率是 0.26. (2)法一 2 人至少有 1 人射中包括“2 人都中”和“2 人有 1 人不中”两种情况,其概 率为 PP(A B)P(A B)P(A B)0.720.260.98. 法二 “2 人至少有 1 人射中”与“2 人都未射中”为对立事件,2 人都未射中目标的 概率是 P(A B)P(A) P(B)(10.8)(10.9)0.02,所以“2 人至少有 1 人射中目标”的概率 为 P1P(A B)10.020.98.
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