1、 22.2 事件的相互独立性事件的相互独立性 题型题型1 独立事件的概念独立事件的概念 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 1 一个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令 A一个家庭 中既有男孩又有女孩，B一个家庭中最多有一个女孩对下述两种情形，讨论 A 与 B 的独立性： (1)家庭中有两个小孩； (2)家庭中有三个小孩 解析：(1)有两个小孩的家庭，男孩、女孩的可能情形为(男，男)，(男，女)，(女， 男)，(女，女)，它有 4 个基本事件，由等可能性知概率各为1 4. 这时 A(男，女)，(女，男)，B(男，男)，(男，
2、女)，(女，男)，AB(男，女)， (女，男) 于是 P(A)1 2，P(B) 3 4，P(AB) 1 2. 由此可知 P(AB)P(A)P(B) 所以事件 A，B 不相互独立 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 (2)有三个小孩的家庭，小孩为男孩、女孩的所有可能情形为(男，男，男)，(男， 男，女)，(男，女，男)，(男，女，女)，(女，男，男)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女， 女，女) 由等可能性知这 8 个基本事件的概率均为1 8，这时 A 中含有 6 个基本事件，B 中含有 4 个基本事件，AB 中含有 3 个基本事件 于是 P
3、(A)6 8 3 4，P(B) 4 8 1 2，P(AB) 3 8， 显然有 P(AB)3 8P(A)P(B)成立 从而事件 A 与 B 是相互独立的 规律方法：判断两个事件是否具有独立性的方法： (1)定义法：直接判定两个事件发生是否相互影响； (2)公式法：检验 P(AB)P(A)P(B)是否成立； (3)条件概率法：当 P(A)0 时，可用 P(B|A)P(B)判断 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 1下面所给出的两个事件 A 与 B 相互独立吗？ 抛掷一枚骰子，事件 A“出现 1 点”，事件 B“出现 2 点”； 先后抛掷两
4、枚均匀硬币， 事件A“第一枚出现正面”， 事件B“第二枚出现反面”； 在含有2红1绿三个大小相同的小球的口袋中， 任取一个小球， 观察颜色后放回袋中， 事件 A“第一次取到绿球”，B“第二次取到绿球” 解析：事件 A 与 B 是互斥事件，故 A 与 B 不是相互独立事件 第一枚出现正面还是反面，对第二枚出现反面没有影响，A 与 B 相互独立 由于每次取球观察颜色后放回，故事件 A 的发生对事件 B 发生的概率没有影响，A 与 B 相互独立 题型题型2 求相互独立事件的概率求相互独立事件的概率 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 2 一个袋子
5、中有 3 个白球，2 个红球，每次从中任取 2 个球，取出后再放回，求： (1)第 1 次取出的 2 个球都是白球，第 2 次取出的 2 个球都是红球的概率； (2)第1次取出的2个球1个是白球、 1个是红球， 第2次取出的2个球都是白球的概率 解析：记：“第 1 次取出的 2 个球都是白球”的事件为 A， “第 2 次取出的 2 个球都是 红球”的事件为 B， “第 1 次取出的 2 个球 1 个是白球，1 个是红球”的事件为 C，很明显， 由于每次取出后再放回，A，B，C 都是相互独立事件 (1)P(AB)P(A)P(B)C 2 3 C2 5 C2 2 C2 5 3 10 1 10 3 1
6、00. 故第 1 次取出的 2 个球都是白球，第 2 次取出的 2 个球都是红球的概率是 3 100. (2)P(CA)P(C)P(A)C 1 3C 1 2 C2 5 C 2 3 C2 5 6 10 3 10 9 50. 故第 1 次取出的 2 个球 1 个是白球、1 个是红球，第 2 次取出的 2 个球都是白球的概率 是 9 50. 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 规律方法：互斥事件、对立事件、相互独立事件之间的区别 (1)两个事件互斥：AB，即 A 与 B 不能同时发生，此时有 P(AB)P(A)P(B) (2)两个事件对立：A 与 B
7、 互斥且 A，B 中必有一个发生，此时有 P(A)P(B)1，但反 过来 P(A)P(B)1 不能推出 A 与 B 对立 (3)两个事件相互独立等价于 P(AB)P(A)P(B)，意味着事件 A，B 的发生互不影响，当 然可能同时发生，也可能不同时发生 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 2同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为 x，转盘乙得到的数为 y，构成 数对(x，y)，则所有数对(x，y)中满足 xy4 的概率为(C) A. 1 16 B. 1 8 C. 3 16 D. 1 4 解析：满足 xy4 的所有可能如下：x1
8、，y4；x2，y2； x4，y1. 所以，所求事件的概率 PP(x1，y4)P(x2，y2)P(x4，y1)1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 1 4 3 16.故选 C. 题型题型3 独立事件与互斥事件的综合应用独立事件与互斥事件的综合应用 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 例 3 设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为 0.5，购买乙种商品的概率为 0.6， 且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立， 各顾客之间购买商品也是相互独立的 求： (1)进入商场的 1 位顾客，甲、乙两种商品都购买的概率； (2)进入商场的 1 位顾客购买
9、甲、乙两种商品中的一种的概率； (3)进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率 解析：记 A 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买甲种商品”，则 P(A)0.5； 记 B 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买乙种商品”，则 P(B)0.6； 记 C 表示事件“进入商场的 1 位顾客，甲、乙两种商品都购买”； 记 D 表示事件“进入商场的 1 位顾客购买甲、乙两种商品中的一种” ； 记 E 表示事件“进入商场的 1 位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种” (1)易知 CAB，则 P(C)P(A)P(B)0.50.60.3. (2)易知 DA BA B，则 P(D)P(A BA
10、B)P(A B)P(A B)P(A)P(B)P(A)P(B) 0.50.40.50.60.5. (3)易知 EA B，则 P(E)P(A B)P(A) P(B)0.50.40.2，故 P(E)1P(E)0.8. 学习目标学习目标 预习导学预习导学 典例精析典例精析 栏 目 链 接 栏 目 链 接 变式训练 3甲、乙两射击运动员分别对一目标射击 1 次，甲射中的概率为 0.8，乙射中的概率为 0.9，求： (1)2 人中恰有 1 人射中目标的概率； (2)2 人至少有 1 人射中目标泊概率 解析：记“甲射击 1 次，射中目标”为事件 A， “乙射击 1 次，射中目标”为事件 B， 则 A 与 B
11、，A 与 B，A 与 B，A 与 B 为相互独立事件 (1)“2 人各射击 1 次， 恰有 1 人射中目标”包括两种情况： 一种是甲射中、 乙未射中(事 件 A B 发生)， 另一种是甲未射中、 乙射中(事件 A B 发生) 根据题意， 事件 A B 与 A B 互斥， 根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率为 P(A B)P(A B)P(A) P(B)P(A) P(B)0.8(10.9)(10.8)0.90.080.18 0.26. 所以 2 人中恰有 1 人射中目标的概率是 0.26. (2)法一 2 人至少有 1 人射中包括“2 人都中”和“2 人有 1 人不中”两种情况，其概 率为 PP(A B)P(A B)P(A B)0.720.260.98. 法二 “2 人至少有 1 人射中”与“2 人都未射中”为对立事件，2 人都未射中目标的 概率是 P(A B)P(A) P(B)(10.8)(10.9)0.02，所以“2 人至少有 1 人射中目标”的概率 为 P1P(A B)10.020.98.
