1、 K 型图(垂直处理)一线三等角型图(垂直处理)一线三等角 例 1:在等边中,D 为 BC 边上一点,E 为 AC 边上一点,且, 则的边长为( ) A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【解答】A 【解析】是等边三角形, 例 2:如图,已知点 A(0,4) 、B(4,1) ,轴于点 C,点 P 为线段 OC 上一点,且,则 点 P 的坐标为 . D C A B E x y C A B P O 【解答】 (2,0) 【解析】 例 3:已知,在矩形 ABCD 中,点 M 为边 BC 的中点,点 P 为边 CD 上的动点(点 P 异于 C、 D 两点) .连接 PM, 过点 P 作 PM
2、的垂线与射线 DA 相交于点 E, 如图所示。 设,. (1)写出与之间的函数关系式 ; (2)若点 E 与点 A 重合,则的值为 ; (3)是否存在点 P,使得点 D 关于直线 PE 的对称点落在边 AB 上?若存在,求的值;若不存在,请 说明理由. 【解答】 (1); (2); (3)存在. 【解析】 (1) E M C B D A P . (2), . (3)存在,理由如下: 过点 P 作于点 H,如下图所示, 点 D 关于直线 PE 的对称点落在边 AB 上, , , H E M C B D A P 此时,点 E 在边 AD 的延长线上,点 D 关于直线 PE 的对称点不可能落在边 A
3、B 上,所以舍去; 此时,点 E 在边 AD 上,符合题意, 所以,点 D 关于直线 PE 的对称点落在边 AB 上. 例 4: 探究与应用:在学习几何时,我们可以通过分离和构造基本图形, 将几何“模块”化例如在相似三角形中, K字 形 是 非 常 重 要 的 基 本 图 形 , 可 以 建 立 如 下 的 “ 模 块 ” ( 如 图1 ), . (1)请就图 1 证明上述“模块”的合理性; (2)请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题: 如图 2,已知点,点 B 在直线上运动,若,求此时点 B 的坐标; 如图 3,过点作轴与轴的平行线,交直线于点 C、D,求点 A 关于直线 CD 的对
4、称点 E 的坐标. 【解答】 (1)见解析; (2),. x y x y 图图3 图图2 图图1 B O E D CA O A D B C E A (1)证明: (2)作轴,轴,如图所示: 设点 . 过点 E 作轴,作,延长 AC 交 MN 于 N,如图所示: x y HG B O A x y M N E D C A O 设,由题意得 代入可得方程组,解得, . 巩固练习巩固练习 1. 如图所示,在等边中,D 为 BC 边上一点,E 为 AC 边上一点,且, ,则等边的面积为( ) A. B. 15 C. D. 【解答】C 【解析】是等边三角形, 设,则, E C A B D , 过点 A 作
5、于点 F,如图所示: 在中, . 2. 如图,将边长为 6 的正方形 ABCD 折叠,使点 D 落在 AB 边的中点 E 处,折痕为 FH,点 C 落在点 Q 处,EQ 与 BC 交于点 G,则的周长为 . 【解答】12 【解析】设,则,由折叠性质可得, 在中,由勾股定理可得, 解得, F E C A B D G F Q E D C A B H 解得, 在中,由勾股定理可得 的周长. 3. 如图,直线交轴于点 A,将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点 O,另两个顶 点 M、N 恰好落在上,若 N 点在第二象限内,则的值为 . 【解答】 【解析】过点 O 作于点 C,过点 N 作于点 D,
6、如图所示: 在直线上,设,则 x y AO N M x y D C AO N M 当时, 当时, ,即, 在中,由勾股定理得, 由面积公式可得, 即,解得, 在中, 在中,由勾股定理可得, 即,解得, 又在第二象限,只能取, ,即, . 4. 已知:在矩形 AOBC 中,分别以 OB、OA 所在直线为轴和轴,建立如图所示的平面直角坐标系,E 是边 AC 上的一个动点(不与 A、C 重合) ,过点 E 的反比例函数的图像与 BC 边交于点 F. (1)若且,求的值; (2)若,记,问当点 E 运动到什么位置时,S 有最大值?最大值 为多少? (3)请探索:是否存在这样的点 E,使得将沿 EF 对
7、折后,C 点恰好落在 OB 上?若存在,请求出 E 点的坐标;若不存在,请说明理由. 【解答】 (1); (2)当点 E 运动到 AC 的中点时,有最大值,最大值为 3; (3)存在符合条件的点 E, 它的坐标是. 【解析】 (1)点 E、F 在函数的图像上, 设, , ; (2)由题意可知, , , , x y F CA BO E , 当时,S 有最大值, 此时,即点 E 运动到 AC 的中点; (3)设存在这样的点 E,将沿 EF 对折后,C 点恰好落在 OB 边上的 M 点,过点 E 作于 点 N,如图所示: 由题意可得, 又, 即 即解得, , 存在符合条件的点 E,它的坐标是. x y NM F CA BO E