1、 K 型图（垂直处理）一线三等角型图（垂直处理）一线三等角 例 1：在等边中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，且， 则的边长为（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 18 【解答】A 【解析】是等边三角形， 例 2：如图，已知点 A（0，4） 、B（4，1） ，轴于点 C，点 P 为线段 OC 上一点，且，则 点 P 的坐标为 . D C A B E x y C A B P O 【解答】 （2，0） 【解析】 例 3：已知，在矩形 ABCD 中，点 M 为边 BC 的中点，点 P 为边 CD 上的动点（点 P 异于 C、 D 两点） .连接 PM， 过点 P 作 PM
2、的垂线与射线 DA 相交于点 E， 如图所示。 设，. （1）写出与之间的函数关系式 ； （2）若点 E 与点 A 重合，则的值为 ； （3）是否存在点 P，使得点 D 关于直线 PE 的对称点落在边 AB 上？若存在，求的值；若不存在，请 说明理由. 【解答】 （1）； （2）； （3）存在. 【解析】 （1） E M C B D A P . （2）， . （3）存在，理由如下： 过点 P 作于点 H，如下图所示， 点 D 关于直线 PE 的对称点落在边 AB 上， ， ， H E M C B D A P 此时，点 E 在边 AD 的延长线上，点 D 关于直线 PE 的对称点不可能落在边 A
3、B 上，所以舍去； 此时，点 E 在边 AD 上，符合题意， 所以，点 D 关于直线 PE 的对称点落在边 AB 上. 例 4： 探究与应用:在学习几何时,我们可以通过分离和构造基本图形， 将几何“模块”化例如在相似三角形中， K字 形 是 非 常 重 要 的 基 本 图 形 , 可 以 建 立 如 下 的 “ 模 块 ” （ 如 图1 ）， . （1）请就图 1 证明上述“模块”的合理性； （2）请直接利用上述“模块”的结论解决下面两个问题： 如图 2，已知点，点 B 在直线上运动，若，求此时点 B 的坐标； 如图 3，过点作轴与轴的平行线，交直线于点 C、D，求点 A 关于直线 CD 的对
4、称点 E 的坐标. 【解答】 （1）见解析； （2），. x y x y 图图3 图图2 图图1 B O E D CA O A D B C E A （1）证明： （2）作轴，轴，如图所示： 设点 . 过点 E 作轴，作，延长 AC 交 MN 于 N，如图所示： x y HG B O A x y M N E D C A O 设，由题意得 代入可得方程组，解得， . 巩固练习巩固练习 1. 如图所示，在等边中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，且， ，则等边的面积为（ ） A. B. 15 C. D. 【解答】C 【解析】是等边三角形， 设，则， E C A B D ， 过点 A 作
5、于点 F，如图所示： 在中， . 2. 如图，将边长为 6 的正方形 ABCD 折叠，使点 D 落在 AB 边的中点 E 处，折痕为 FH，点 C 落在点 Q 处，EQ 与 BC 交于点 G，则的周长为 . 【解答】12 【解析】设，则，由折叠性质可得， 在中，由勾股定理可得， 解得， F E C A B D G F Q E D C A B H 解得， 在中，由勾股定理可得 的周长. 3. 如图，直线交轴于点 A，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点 O，另两个顶 点 M、N 恰好落在上，若 N 点在第二象限内，则的值为 . 【解答】 【解析】过点 O 作于点 C，过点 N 作于点 D，
6、如图所示： 在直线上，设，则 x y AO N M x y D C AO N M 当时， 当时， ，即， 在中，由勾股定理得， 由面积公式可得， 即，解得， 在中， 在中，由勾股定理可得， 即，解得， 又在第二象限，只能取， ，即， . 4. 已知：在矩形 AOBC 中，分别以 OB、OA 所在直线为轴和轴，建立如图所示的平面直角坐标系，E 是边 AC 上的一个动点（不与 A、C 重合） ，过点 E 的反比例函数的图像与 BC 边交于点 F. （1）若且，求的值； （2）若，记，问当点 E 运动到什么位置时，S 有最大值？最大值 为多少？ （3）请探索：是否存在这样的点 E，使得将沿 EF 对
7、折后，C 点恰好落在 OB 上？若存在，请求出 E 点的坐标；若不存在，请说明理由. 【解答】 （1）； （2）当点 E 运动到 AC 的中点时，有最大值，最大值为 3； （3）存在符合条件的点 E， 它的坐标是. 【解析】 （1）点 E、F 在函数的图像上， 设， ， ； （2）由题意可知， ， ， ， x y F CA BO E ， 当时，S 有最大值， 此时，即点 E 运动到 AC 的中点； （3）设存在这样的点 E，将沿 EF 对折后，C 点恰好落在 OB 边上的 M 点，过点 E 作于 点 N，如图所示： 由题意可得， 又， 即 即解得， ， 存在符合条件的点 E，它的坐标是. x y NM F CA BO E
