1、 类型六类型六 二次函数与三角形相似问题二次函数与三角形相似问题 例 1、如图 1,已知抛物线的顶点为 A(2,1) ,且经过原点 O,与 x 轴的另一个交点为 B。 求抛物线的解析式; (用顶点式 求得抛物线的解析式为xx 4 1 y 2 ) 若点 C 在抛物线的对称轴上,点 D 在抛物线上,且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形 为平行四边形,求 D 点的坐标; 连接 OA、AB,如图 2,在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P,使得OBP 与OAB 相 似?若存在,求出 P 点的坐标;若不存在,说明理由。 例 2、已知抛物线 2 yaxbxc经过 5 3 ( 33)0 2 PE ,及原
2、点(0 0)O , 例 1 题图 图 1 O A B y x O A B y x 图 2 y x E Q P C B O A (1)求抛物线的解析式 (由一般式 得抛物线的解析式为 2 25 3 33 yxx ) (2)过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点,在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上, 任取一点Q, 过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点,交直线PC于 B点,直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC是否存在点Q,使得OPC与 PQB相似?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,说明理由 (3)如果符合(2)中的Q点在x轴的上方,连结OQ,矩形OABC内的四个三角形 OP
3、CPQBOQPOQA,之间存在怎样的关系?为什么? 例 3、如图,四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片,点 A 在 x 轴上,点 C 在 y 轴上,将边 BC 折叠,使点 B 落在边 OA 的点 D 处。已知折叠5 5CE ,且 3 tan 4 EDA。 (1)判断OCD与ADE是否相似?请说明理由; (2)求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标; (3)是否存在过点 D 的直线 l,使直线 l、直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和直线 l、直线 CE 与 y 轴所围成的三角形相似?如果存在,请直接写出其解析式并画出相应的直线;如果 不存在,请说明理由。 例 4、在平面直
4、角坐标系xOy中,已知二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象与x轴交于 A B,两点(点A在点B的左边) ,与y轴交于点C,其顶点的横坐标为 1,且过点(2 3),和 O x y C B E A ( 312), (1)求此二次函数的表达式; (由一般式 得抛物线的解析式为 2 23yxx ) (2)若直线:(0)l ykx k与线段BC交于点D(不与点BC,重合) ,则是否存在这样 的直线l,使得以BOD, ,为顶点的三角形与BAC相似?若存在,求出该直线的函数 表达式及点D的坐标;若不存在,请说明理由;( 10)(30),(0 3)ABC , (3)若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上
5、不与顶点重合的任意一点,试比较锐角 PCO与ACO的大小(不必证明) ,并写出此时点P的横坐标 p x的取值范围 例 5 、如图所示,已知抛物线 2 1yx与x轴交于 A、B 两点,与y轴交于点 C (1)求 A、B、C 三点的坐标 (2)过点 A 作 APCB 交抛物线于点 P,求四边形 ACBP 的面积 O y C l x B A 1x (3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点 M,过 M 作 MGx轴于点 G,使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似若存在,请求出 M 点的坐标;否则,请说明理由 例 6、已知:如图,在平面直角坐标系中,ABC是直角三角形,90ACB,点A C, 的坐标分别为( 3 0)A ,(10)C , 3 tan 4 BAC (1)求过点A B,的直线的函数表达式;点( 3 0)A ,(10)C ,B(13), 39 44 yx (2)在x轴上找一点D,连接DB,使得ADB与ABC相似(不包括全等) ,并求点 D的坐标; (3) 在 (2) 的条件下, 如PQ,分别是AB和AD上的动点, 连接PQ, 设APDQm, 问是否存在这样的m使得APQ与ADB相似,如存在,请求出m的值;如不存在, 请说明理由 A C O B x y o C B A x P y