1、 类型六类型六 二次函数与三角形相似问题二次函数与三角形相似问题 例 1、如图 1，已知抛物线的顶点为 A（2，1） ，且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 B。 求抛物线的解析式； （用顶点式 求得抛物线的解析式为xx 4 1 y 2 ） 若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形 为平行四边形，求 D 点的坐标； 连接 OA、AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P，使得OBP 与OAB 相 似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。 例 2、已知抛物线 2 yaxbxc经过 5 3 ( 33)0 2 PE ，及原
2、点(0 0)O ， 例 1 题图 图 1 O A B y x O A B y x 图 2 y x E Q P C B O A （1）求抛物线的解析式 （由一般式 得抛物线的解析式为 2 25 3 33 yxx ） （2）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上， 任取一点Q， 过点Q作直线QA平行于y轴交x轴于A点，交直线PC于 B点，直线QA与直线PC及两坐标轴围成矩形OABC是否存在点Q，使得OPC与 PQB相似？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，说明理由 （3）如果符合（2）中的Q点在x轴的上方，连结OQ，矩形OABC内的四个三角形 OP
3、CPQBOQPOQA，之间存在怎样的关系？为什么？ 例 3、如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上，点 C 在 y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点 D 处。已知折叠5 5CE ，且 3 tan 4 EDA。 （1）判断OCD与ADE是否相似？请说明理由； （2）求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标； （3）是否存在过点 D 的直线 l，使直线 l、直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和直线 l、直线 CE 与 y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果 不存在，请说明理由。 例 4、在平面直
4、角坐标系xOy中，已知二次函数 2 (0)yaxbxc a的图象与x轴交于 A B，两点（点A在点B的左边） ，与y轴交于点C，其顶点的横坐标为 1，且过点(2 3)，和 O x y C B E A ( 312)， （1）求此二次函数的表达式； （由一般式 得抛物线的解析式为 2 23yxx ） （2）若直线:(0)l ykx k与线段BC交于点D（不与点BC，重合） ，则是否存在这样 的直线l，使得以BOD， ，为顶点的三角形与BAC相似？若存在，求出该直线的函数 表达式及点D的坐标；若不存在，请说明理由；( 10)(30),(0 3)ABC ， （3）若点P是位于该二次函数对称轴右边图象上
5、不与顶点重合的任意一点，试比较锐角 PCO与ACO的大小（不必证明） ，并写出此时点P的横坐标 p x的取值范围 例 5 、如图所示，已知抛物线 2 1yx与x轴交于 A、B 两点，与y轴交于点 C （1）求 A、B、C 三点的坐标 （2）过点 A 作 APCB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积 O y C l x B A 1x （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MGx轴于点 G，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与PCA 相似若存在，请求出 M 点的坐标；否则，请说明理由 例 6、已知：如图，在平面直角坐标系中，ABC是直角三角形，90ACB，点A C， 的坐标分别为( 3 0)A ，(10)C ， 3 tan 4 BAC （1）求过点A B，的直线的函数表达式；点( 3 0)A ，(10)C ，B(13)， 39 44 yx （2）在x轴上找一点D，连接DB，使得ADB与ABC相似（不包括全等） ，并求点 D的坐标； （3） 在 （2） 的条件下， 如PQ，分别是AB和AD上的动点， 连接PQ， 设APDQm， 问是否存在这样的m使得APQ与ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在， 请说明理由 A C O B x y o C B A x P y
