1、三种方法破解 2020 天津高考导数压轴题 1.（2020 天津高考第 20 题）已知函数 3 ( )ln ()f xxkx kR，( )fx 为 ( )f x的导函数 （）当6k 时， （i）求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程； （ii）求函数 9 ( )( )( )g xf xfx x 的单调区间和极值； （）当3k时，求证：对任意的 12 ,1,)xx ，且 12 xx，有 1212 12 2 fxfxf xf x xx 【分析】 （）原不等式等价于 22221212 121122
2、1212 lnln3 () 22 xxxxk xxxx xxk x xxx ， 即证： 22 3121 12 122 ()2ln xxx xxkk x xx 。 法一： （控制变量法）令 12 1txx， 3 222 2 11 ( )()()2ln2 lng ttxktxktkx xt ， 则 222 22222 222 222 222 ()() (3)112 ( )3()()3()0 txtxt xkk g ttxkxtxk xttx tx t ， 所以( )g t在 2 (,)x 单增，则 2 ( )()0g tg x。 法 二 ： （ 放
3、 缩 法 ） 为 了 构 造 1 2 x x 为 变 量 的 函 数 ， 考 虑 对 不 等 式 进 行 放 缩 ， 即 121 12 22 1 xxx xx xx ， 下证： 31121 2212 (1)()2ln0 xxxx kk xxxx 。 令 1 2 1 x t x ， 3 1 ( )(1)()2lnh ttk tkt t ， 则 22 2 22 12(1) (3) ( )3(1)(1)0 ttk h ttkk ttt ， 所以( )h t在(1,)单增，则( )(1)0h th。 法三： （放缩法+变换主元法或放缩参数法）即证： 22 3121 12 122
4、 ()2ln xxx xxkk x xx 。 为了构造 1 2 x x 为变量的函数，考虑 331121 2 2212 (1)()2ln0 xxxx xkk xxxx ，相当于多了两个 参数 2 1,3xk ，令 1 2 1 x t x ， 33 2 1 ( )(1)(2ln )tx tktt t ， 由常用不等式结论，知当1t 时，有 1 2ln0tt t 。则 3 1 ( )(1)3(2ln )tttt t ， 由()(ii)可知，当1t 时， 32 3 36ln1ttt t ，即 32 3 36ln10ttt t 。 【点评】在高观点下函数导数压轴题的
5、系统性解读2.14 小节“用最朴素的思想解决代数 中多个变量的高考压轴题” 的第二点第 4 小点介绍了利用控制变量法破解指对数均值不等式 和 2004 全国 2 卷的导数压轴题。放缩法是证明不等式的基本方法，变化主元法是处理某类 参数问题非常优化的方法。 高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲不得不读。 2.（2020 天津高考第 15 题）.如图，在四边形ABCD中，60 ,3BAB ，6BC ， 且 3 , 2 ADBCAD AB ，则实数的值为_，若,M N是线段BC上的动 点，且| 1MN ，则DM DN
6、 的最小值为_ 【解析】 ADBC ，/AD BC， 180120BADB ， cos120AB ADBC ABBCAB 13 6 39 22 ，解得 1 6 ， 设 MN 中点为 O，则由极化恒等式知 222113 42 DM DNDOOMDO ， 3.（2020 天津高考第 18 题）.已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的一个顶点为 (0, 3)A，右焦 点为
7、F，且| |OAOF，其中O为原点 （）求椭圆的方程； （）已知点C满足3OC OF ，点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点） ，直线AB与以C为 圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点求直线AB的方程 【答案】 （） 22 1 189 xy ； （） 1 3 2 yx，或3yx 【解析】 （2）设 00 (,)P xy，由点差法推导中点弦结论 00 00 31 2 ABOP yy kk xx ， 由相切得 00 00 3 1 1 ABCP yy kk xx ，两式相除，得 0 2x ，所以 0 1y 或2。易得答案。 【点评】鉴于中点是几何中基本的位置，所以解析几何系统性突破把中点弦单独成节， 进行系统性地研究。
