1、三种方法破解 2020 天津高考导数压轴题 1.(2020 天津高考第 20 题)已知函数 3 ( )ln ()f xxkx kR,( )fx 为 ( )f x的导函数 ()当6k 时, (i)求曲线( )yf x在点(1,(1)f处的切线方程; (ii)求函数 9 ( )( )( )g xf xfx x 的单调区间和极值; ()当3k时,求证:对任意的 12 ,1,)xx ,且 12 xx,有 1212 12 2 fxfxf xf x xx 【分析】 ()原不等式等价于 22221212 121122
2、1212 lnln3 () 22 xxxxk xxxx xxk x xxx , 即证: 22 3121 12 122 ()2ln xxx xxkk x xx 。 法一: (控制变量法)令 12 1txx, 3 222 2 11 ( )()()2ln2 lng ttxktxktkx xt , 则 222 22222 222 222 222 ()() (3)112 ( )3()()3()0 txtxt xkk g ttxkxtxk xttx tx t , 所以( )g t在 2 (,)x 单增,则 2 ( )()0g tg x。 法 二 : ( 放
3、 缩 法 ) 为 了 构 造 1 2 x x 为 变 量 的 函 数 , 考 虑 对 不 等 式 进 行 放 缩 , 即 121 12 22 1 xxx xx xx , 下证: 31121 2212 (1)()2ln0 xxxx kk xxxx 。 令 1 2 1 x t x , 3 1 ( )(1)()2lnh ttk tkt t , 则 22 2 22 12(1) (3) ( )3(1)(1)0 ttk h ttkk ttt , 所以( )h t在(1,)单增,则( )(1)0h th。 法三: (放缩法+变换主元法或放缩参数法)即证: 22 3121 12 122
4、 ()2ln xxx xxkk x xx 。 为了构造 1 2 x x 为变量的函数,考虑 331121 2 2212 (1)()2ln0 xxxx xkk xxxx ,相当于多了两个 参数 2 1,3xk ,令 1 2 1 x t x , 33 2 1 ( )(1)(2ln )tx tktt t , 由常用不等式结论,知当1t 时,有 1 2ln0tt t 。则 3 1 ( )(1)3(2ln )tttt t , 由()(ii)可知,当1t 时, 32 3 36ln1ttt t ,即 32 3 36ln10ttt t 。 【点评】在高观点下函数导数压轴题的
5、系统性解读2.14 小节“用最朴素的思想解决代数 中多个变量的高考压轴题” 的第二点第 4 小点介绍了利用控制变量法破解指对数均值不等式 和 2004 全国 2 卷的导数压轴题。放缩法是证明不等式的基本方法,变化主元法是处理某类 参数问题非常优化的方法。 高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲不得不读。 2.(2020 天津高考第 15 题).如图,在四边形ABCD中,60 ,3BAB ,6BC , 且 3 , 2 ADBCAD AB ,则实数的值为_,若,M N是线段BC上的动 点,且| 1MN ,则DM DN
6、 的最小值为_ 【解析】 ADBC ,/AD BC, 180120BADB , cos120AB ADBC ABBCAB 13 6 39 22 ,解得 1 6 , 设 MN 中点为 O,则由极化恒等式知 222113 42 DM DNDOOMDO , 3.(2020 天津高考第 18 题).已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的一个顶点为 (0, 3)A,右焦 点为
7、F,且| |OAOF,其中O为原点 ()求椭圆的方程; ()已知点C满足3OC OF ,点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点) ,直线AB与以C为 圆心的圆相切于点P,且P为线段AB的中点求直线AB的方程 【答案】 () 22 1 189 xy ; () 1 3 2 yx,或3yx 【解析】 (2)设 00 (,)P xy,由点差法推导中点弦结论 00 00 31 2 ABOP yy kk xx , 由相切得 00 00 3 1 1 ABCP yy kk xx ,两式相除,得 0 2x ,所以 0 1y 或2。易得答案。 【点评】鉴于中点是几何中基本的位置,所以解析几何系统性突破把中点弦单独成节, 进行系统性地研究。