1、2024年高考数学模拟试卷考生须知：1全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1正三棱锥底面边长为3，侧棱与底面成角，则正三棱锥的外接球的体积为（ ）ABCD2已知x，y满足不等式，且目标函数z9x+6y最大值的变化范围20，22，则t的取值范围（ ）A2，4
2、B4，6C5，8D6，73已知过点且与曲线相切的直线的条数有（ ）A0B1C2D34如图所示，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（ ）ABCD5已知命题，则是（ ）A，B，.C，D，.6设为虚数单位，复数，则实数的值是（ ）A1B-1C0D27在中，是的中点，点在上且满足，则等于（ ）ABCD8在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测甲：我的成绩比乙高乙：丙的成绩比我和甲的都高丙：我的成绩比乙高成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为A甲、乙、丙B乙、甲、丙C丙、乙、甲D甲、丙、乙9已
3、知，函数，若函数恰有三个零点，则（ ）ABCD10下列说法正确的是（ ）A“若，则”的否命题是“若，则”B在中，“”是“”成立的必要不充分条件C“若，则”是真命题D存在，使得成立11在关于的不等式中，“”是“恒成立”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件12已知向量，且，则m=( )A8B6C6D8二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13若一组样本数据7，9，8，10的平均数为9，则该组样本数据的方差为_.14曲线ye5x2在点(0，3)处的切线方程为_15若的展开式中所有项的系数之和为，则_，含项的系数是_（用数字作答）.16如图，的外接圆半径为
4、，为边上一点，且，则的面积为_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知矩阵，求矩阵的特征值及其相应的特征向量18（12分）某地在每周六的晚上8点到10点半举行灯光展，灯光展涉及到10000盏灯，每盏灯在某一时刻亮灯的概率均为，并且是否亮灯彼此相互独立.现统计了其中100盏灯在一场灯光展中亮灯的时长（单位：），得到下面的频数表：亮灯时长/频数1020402010以样本中100盏灯的平均亮灯时长作为一盏灯的亮灯时长.（1）试估计的值；（2）设表示这10000盏灯在某一时刻亮灯的数目.求的数学期望和方差；若随机变量满足，则认为.假设当时，灯光展处于最佳灯光亮
5、度.试由此估计，在一场灯光展中，处于最佳灯光亮度的时长（结果保留为整数）.附：某盏灯在某一时刻亮灯的概率等于亮灯时长与灯光展总时长的商；若，则，.19（12分）设函数，（）求曲线在点（1,0）处的切线方程；（）求函数在区间上的取值范围20（12分）设椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点D在椭圆C上， 的周长为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过圆上任意一点P作圆E的切线l，若l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求证：为定值.21（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为()，将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.（1）求曲
6、线的普通方程和极坐标方程；（2）设直线与曲线交于两点，求的取值范围.22（10分）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数）和曲线（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（1）求直线和曲线的极坐标方程；（2）在极坐标系中，已知点是射线与直线的公共点，点是与曲线的公共点，求的最大值参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】由侧棱与底面所成角及底面边长求得正棱锥的高，再利用勾股定理求得球半径后可得球体积【详解】如图，正三棱锥中，是底面的中心，则是正棱锥的高，是侧棱与底面所成的角，即60，由
7、底面边长为3得，正三棱锥外接球球心必在上，设球半径为，则由得，解得，故选：D【点睛】本题考查球体积，考查正三棱锥与外接球的关系掌握正棱锥性质是解题关键2、B【解析】作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.【详解】画出不等式组所表示的可行域如图AOB当t2时，可行域即为如图中的OAM，此时目标函数z9x+6y 在A（2，0）取得最大值Z18不符合题意t2时可知目标函数Z9x+6y在的交点（）处取得最大值，此时Zt+16由题意可得，20t+1622解可得4t6故选：B【点睛】此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟
8、练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.3、C【解析】设切点为，则，由于直线经过点，可得切线的斜率，再根据导数的几何意义求出曲线在点处的切线斜率，建立关于的方程，从而可求方程【详解】若直线与曲线切于点，则，又，解得，过点与曲线相切的直线方程为或，故选C【点睛】本题主要考查了利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，求解曲线的切线的方程，其中解答中熟记利用导数的几何意义求解切线的方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题4、B【解析】根据三视图可以得到原几何体为三棱锥，且是有三条棱互相垂直的三棱锥，根据几何体的各面面积可得最大面的面积【详解】解：分析题意可知，如下图所示，该几何体为
9、一个正方体中的三棱锥，最大面的表面边长为的等边三角形，故其面积为，故选B【点睛】本题考查了几何体的三视图问题，解题的关键是要能由三视图解析出原几何体，从而解决问题5、B【解析】根据全称命题的否定为特称命题，得到结果.【详解】根据全称命题的否定为特称命题，可得，本题正确选项：【点睛】本题考查含量词的命题的否定，属于基础题.6、A【解析】根据复数的乘法运算化简，由复数的意义即可求得的值.【详解】复数，由复数乘法运算化简可得，所以由复数定义可知，解得，故选：A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，复数的意义，属于基础题.7、B【解析】由M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足可得
10、：P是三角形ABC的重心，根据重心的性质，即可求解【详解】解：M是BC的中点，知AM是BC边上的中线，又由点P在AM上且满足P是三角形ABC的重心 又AM1故选B【点睛】判断P点是否是三角形的重心有如下几种办法：定义：三条中线的交点性质：或取得最小值坐标法：P点坐标是三个顶点坐标的平均数8、A【解析】利用逐一验证的方法进行求解.【详解】若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A【点睛】
11、本题将数学知识与时政结合，主要考查推理判断能力题目有一定难度，注重了基础知识、逻辑推理能力的考查9、C【解析】当时，最多一个零点；当时，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得【详解】当时，得；最多一个零点；当时，当，即时，在，上递增，最多一个零点不合题意；当，即时，令得，函数递增，令得，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数恰有3个零点函数在上有一个零点，在，上有2个零点，如图：且，解得，故选【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及两个参数，故按“一元化”想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底.10、C【解析】A：否命题既否条件又否结论
12、，故A错.B：由正弦定理和边角关系可判断B错.C：可判断其逆否命题的真假，C正确.D：根据幂函数的性质判断D错.【详解】解：A：“若，则”的否命题是“若，则”，故 A错.B：在中，故“”是“”成立的必要充分条件，故B错.C：“若，则”“若，则”，故C正确.D：由幂函数在递减，故D错.故选：C【点睛】考查判断命题的真假，是基础题.11、C【解析】讨论当时，是否恒成立；讨论当恒成立时，是否成立，即可选出正确答案.【详解】解：当时，由开口向上，则恒成立；当恒成立时，若，则 不恒成立，不符合题意，若 时，要使得恒成立，则 ，即 .所以“”是“恒成立”的充要条件.故选:C.【点睛】本题考查了命题的关系，
13、考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若，则推出 是 的充分条件；若，则推出 是 的必要条件.12、D【解析】由已知向量的坐标求出的坐标，再由向量垂直的坐标运算得答案【详解】，又，34+（2）（m2）0，解得m1故选D【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，考查向量垂直的坐标运算，属于基础题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】根据题意，由平均数公式可得，解得的值，进而由方差公式计算，可得答案【详解】根据题意，数据7，9，8，10的平均数为9，则，解得：，则其方差.故答案为：1【点睛】本题考平均数、方差的计算，考查运算求解能力，求解时注意求出的值
14、，属于基础题14、.【解析】先利用导数求切线的斜率，再写出切线方程.【详解】因为y5e5x，所以切线的斜率k5e05，所以切线方程是：y35(x0)，即y5x3.故答案为y5x3.【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义和函数的求导，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，相应的切线方程是15、 【解析】的展开式中所有项的系数之和为，项的系数是 ，故答案为（1），（2）.16、【解析】先由正弦定理得到，再在三角形ABD、ADC中分别由正弦定理进一步得到B=C，最后利用面积公式计算即可.【详解】依题意可得，由正弦定理得，即，由图可知是钝角，
15、所以，在三角形ABD中，在三角形ADC中，由正弦定理得即，所以，故，故的面积为.故答案为：.【点睛】本题考查正弦定理解三角形，考查学生的基本计算能力，要灵活运用正弦定理公式及三角形面积公式，本题属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、矩阵属于特征值的一个特征向量为，矩阵属于特征值的一个特征向量为【解析】先由矩阵特征值的定义列出特征多项式，令解方程可得特征值，再由特征值列出方程组，即可求得相应的特征向量.【详解】由题意，矩阵的特征多项式为，令，解得， 将代入二元一次方程组，解得，所以矩阵属于特征值的一个特征向量为；同理，矩阵属于特征值的一个特征向量为v【点
16、睛】本题主要考查了矩阵的特征值与特征向量的计算，其中解答中熟记矩阵的特征值和特征向量的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.18、（1）（2），,72【解析】（1）将每组数据的组中值乘以对应的频率，然后再将结果相加即可得到亮灯时长的平均数，将此平均数除以（个小时），即可得到的估计值；（2）利用二项分布的均值与方差的计算公式进行求解；先根据条件计算出的取值范围，然后根据并结合正态分布概率的对称性，求解出在满足取值范围下对应的概率.【详解】（1）平均时间为（分钟）（2），即最佳时间长度为72分钟.【点睛】本题考查根据频数分布表求解平均数、几何概型（长度模型）、二项分布的均值与
17、方差、正态分布的概率计算，属于综合性问题，难度一般.（1）如果，则；（2）计算正态分布中的概率，一定要活用正态分布图象的对称性对应概率的对称性.19、（1）（2）【解析】分析：(1)先断定在曲线上，从而需要求，令，求得结果，注意复合函数求导法则，接着应用点斜式写出直线的方程；(2)先将函数解析式求出，之后借助于导数研究函数的单调性，从而求得函数在相应区间上的最值.详解：（）当，. ， 当， 所以切线方程为.（）,因为，所以.令，则在单调递减， 因为，所以在上增，在单调递增. , 因为，所以在区间上的值域为.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，曲线在某个
18、点处的切线方程的求法，复合函数求导，函数在给定区间上的最值等，在解题的过程中，需要对公式的正确使用.20、（1）（2）见解析【解析】(1) 由，周长,解得,即可求得标准方程.(2)通过特殊情况的斜率不存在时,求得,再证明的斜率存在时,即可证得为定值.通过设直线的方程为与椭圆方程联立,借助韦达定理求得,利用直线与圆相切,即,求得的关系代入,化简即可证得即可证得结论.【详解】（1）由题意得，周长，且.联立解得，所以椭圆C的标准方程为.（2）当直线l的斜率不存在时，不妨设其方程为，则，所以，即.当直线l的斜率存在时，设其方程为，并设，由，由直线l与圆E相切，得.所以.从而，即.综合上述，得为定值.【
19、点睛】本题考查了椭圆的标准方程,直线与椭圆的位置关系中定值问题,考查了学生计算求解能力,难度较难.21、（1）的极坐标方程为，普通方程为；（2）【解析】（1）根据三角函数恒等变换可得， ，可得曲线的普通方程，再运用图像的平移得依题意得曲线的普通方程为，利用极坐标与平面直角坐标互化的公式可得方程；（2）法一：将代入曲线的极坐标方程得，运用韦达定理可得，根据，可求得的范围；法二:设直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角)，代入曲线的普通方程得，运用韦达定理可得，根据，可求得的范围；【详解】（1）， ，即曲线的普通方程为，依题意得曲线的普通方程为，令，得曲线的极坐标方程为；（2）法一：将代入曲线的
20、极坐标方程得，则，异号，；法二:设直线的参数方程为(为参数，为直线的倾斜角)，代入曲线的普通方程得，则，异号，.【点睛】本题考查参数方程与普通方程，极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化，求解几何量的取值范围，关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义，直线的参数方程，参数的几何意义，属于中档题.22、（1），；（2）【解析】（1）先将直线l和圆C的参数方程化成普通方程，再分别求出极坐标方程；（2）写出点M和点N的极坐标，根据极径的定义分别表示出和，利用三角函数的性质求出的最大值.【详解】解：（1），即极坐标方程为，极坐标方程（2）由题可知， ，当时，.【点睛】本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的互化问题，极径的定义，以及三角函数的恒等变换，属于中档题.
