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2012年全国初中数学竞赛试题(含答案).doc

1、中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题一、选择题(共5小题,每小题7分,共35分)(第1题图)1如果实数a,b,c在数轴上的位置如图所示,那么代数式可以化简为( ) (A)2c-a (B)2a-2b (C)-a (D)a2如果正比例函数y = ax(a 0)与反比例函数y =(b 0 )的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为(3,2),那么另一个交点的坐标为( )(A)(2,3) (B)(3,2) (C)(2,3) (D)(3,2)3如果为给定的实数,且,那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是( ) (A)1 (B) (C) (D)4小倩和小玲每人都有若干面值为

2、整数元的人民币小倩对小玲说:“你若给我2元,我的钱数将是你的n倍”;小玲对小倩说:“你若给我n元,我的钱数将是你的2倍”,其中n为正整数,则n的可能值的个数是( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)45一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为,则中最大的是( )(A) (B) (C) (D)二、填空题(共5小题,每小题7分,共35分)6按如图的程序进行操作,规定:程序运行从“输入一个值x”到“结果是否487?”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是 .(第6题图)(第

3、7题图)7如图,正方形ABCD的边长为2,E,F分别是AB,BC的中点,AF与DE,DB分别交于点M,N,则DMN的面积是 .8如果关于x的方程x2+kx+k23k+= 0的两个实数根分别为,那么 的值为 92位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场记分规则是:每场比赛胜者得3分,负者得0分;平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m的值为 .10如图,四边形ABCD内接于O,AB是直径,AD = DC. 分别延长BA,CD,交点为E. 作BFEC,并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO,

4、BC = 6,则CF的长为 .(第10题图)三、解答题(共4题,每题20分,共80分)11已知二次函数,当时,恒有;关于x的方程的两个实数根的倒数和小于求的取值范围12如图,O的直径为,O 1过点,且与O内切于点为O上的点,与O 1交于点,且点在上,且,BE的延长线与O 1交于点,求证:BOC(第12题图)13已知整数a,b满足:ab是素数,且ab是完全平方数. 当a2012时,求a的最小值.14求所有正整数n,使得存在正整数,满足,且.中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1C解:由实数a,b,c在数轴上的位置可知,且,所以 2D解:由题设知,所以

5、.解方程组得 所以另一个交点的坐标为(3,2).注:利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为(3,2).3D 解:由题设知,所以这四个数据的平均数为,中位数为 ,于是 .4D解:设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元,均为非负整数. 由题设可得消去x得 (2y7)n = y+4, 2n =.因为为正整数,所以2y7的值分别为1,3,5,15,所以y的值只能为4,5,6,11从而n的值分别为8,3,2,1;x的值分别为14,7,6,75D解:掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的

6、有序数对有9个,8个,9个,10个,所以,因此最大二、填空题67x19解:前四次操作的结果分别为 3x2,3(3x2)2 = 9x8,3(9x8)2 = 27x26,3(27x26)2 = 81x80.由已知得 27x26487, 81x80487.解得 7x19.容易验证,当7x19时,487 487,故x的取值范围是7x1978解:连接DF,记正方形的边长为2. 由题设易知,所以 ,由此得,所以.在RtABF中,因为,所以(第7题),于是 .由题设可知ADEBAF,所以 , .于是 , . 又,所以. 因为,所以.8解:根据题意,关于x的方程有=k240,由此得 (k3)20 又(k3)2

7、0,所以(k3)2=0,从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0,解得x1=x2=. 故=98解:设平局数为,胜(负)局数为,由题设知,由此得0b43. 又 ,所以. 于是 043,87130,由此得 ,或.当时,;当时,不合题设.故(第10题)10解:如图,连接AC,BD,OD. 由AB是O的直径知BCA =BDA = 90.依题设BFC = 90,四边形ABCD是O的内接四边形,所以BCF =BAD,所以 RtBCFRtBAD ,因此 .因为OD是O的半径,AD = CD,所以OD垂直平分AC,ODBC, 于是 . 因此.由,知因为,所以 ,BA=AD ,故.三、解答题11解: 因为当时,

8、恒有,所以,即,所以 (5分)当时,;当时,即,且 ,解得 (10分)设方程的两个实数根分别为,由一元二次方程根与系数的关系得因为,所以,解得,或因此 (20分)12 证明:连接BD,因为为的直径,所以又因为,所以CBE是等腰三角形 (5分)(第12题)设与交于点,连接OM,则又因为,所以 (15分)又因为分别是等腰,等腰的顶角,所以BOC (20分)13解:设ab = m(m是素数),ab = n2(n是正整数). 因为 (a+b)24ab = (ab)2,所以 (2am)24n2 = m2, (2am+2n)(2am2n) = m2. (5分)因为2am+2n与2am2n都是正整数,且2am+2n2am2n (m为素数),所以 2am+2nm 2,2am2n1.解得 a,. 于是 = am. (10分)又a2012,即2012.又因为m是素数,解得m89. 此时,a=2025.当时,.因此,a的最小值为2025. (20分)14解:由于都是正整数,且,所以1,2,2012于是 (10分)当时,令,则 .(15分) 当时,其中,令 ,则 综上,满足条件的所有正整数n为 (20分)

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