1、中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）（第1题图）1如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式可以化简为（ ） （A）2c-a （B）2a-2b （C）-a （D）a2如果正比例函数y = ax（a 0）与反比例函数y =（b 0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（3，2），那么另一个交点的坐标为（ ）（A）（2，3） （B）（3，2） （C）（2，3） （D）（3，2）3如果为给定的实数，且，那么这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ） （A）1 （B） （C） （D）4小倩和小玲每人都有若干面值为
2、整数元的人民币小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）45一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为，则中最大的是（ ）（A） （B） （C） （D）二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .（第6题图）（第
3、7题图）7如图，正方形ABCD的边长为2，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则DMN的面积是 .8如果关于x的方程x2+kx+k23k+= 0的两个实数根分别为，那么 的值为 92位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .10如图，四边形ABCD内接于O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BFEC，并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO，
4、BC = 6，则CF的长为 .（第10题图）三、解答题（共4题，每题20分，共80分）11已知二次函数，当时，恒有；关于x的方程的两个实数根的倒数和小于求的取值范围12如图，O的直径为，O 1过点，且与O内切于点为O上的点，与O 1交于点，且点在上，且，BE的延长线与O 1交于点，求证：BOC（第12题图）13已知整数a，b满足：ab是素数，且ab是完全平方数. 当a2012时，求a的最小值.14求所有正整数n，使得存在正整数，满足，且.中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题1C解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知，且，所以 2D解：由题设知，所以
5、.解方程组得 所以另一个交点的坐标为（3，2）.注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.3D 解：由题设知，所以这四个数据的平均数为，中位数为 ，于是 .4D解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，均为非负整数. 由题设可得消去x得 (2y7)n = y+4， 2n =.因为为正整数，所以2y7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，6，11从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，75D解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的
6、有序数对有9个，8个，9个，10个，所以，因此最大二、填空题67x19解：前四次操作的结果分别为 3x2，3(3x2)2 = 9x8，3(9x8)2 = 27x26，3(27x26)2 = 81x80.由已知得 27x26487， 81x80487.解得 7x19.容易验证，当7x19时，487 487，故x的取值范围是7x1978解：连接DF，记正方形的边长为2. 由题设易知，所以 ，由此得，所以.在RtABF中，因为，所以（第7题），于是 .由题设可知ADEBAF，所以 ， .于是 ， . 又，所以. 因为，所以.8解：根据题意，关于x的方程有=k240，由此得 (k3)20 又(k3)2
7、0，所以(k3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+=0，解得x1=x2=. 故=98解：设平局数为，胜（负）局数为，由题设知，由此得0b43. 又 ，所以. 于是 043，87130，由此得 ，或.当时，；当时，不合题设.故（第10题）10解：如图，连接AC，BD，OD. 由AB是O的直径知BCA =BDA = 90.依题设BFC = 90，四边形ABCD是O的内接四边形，所以BCF =BAD,所以 RtBCFRtBAD ，因此 .因为OD是O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，ODBC， 于是 . 因此.由，知因为，所以 ，BA=AD ，故.三、解答题11解： 因为当时，
8、恒有，所以，即，所以 （5分）当时，；当时，即，且 ，解得 （10分）设方程的两个实数根分别为，由一元二次方程根与系数的关系得因为，所以，解得，或因此 （20分）12 证明：连接BD，因为为的直径，所以又因为，所以CBE是等腰三角形 （5分）（第12题）设与交于点，连接OM，则又因为，所以 （15分）又因为分别是等腰，等腰的顶角，所以BOC （20分）13解：设ab = m（m是素数），ab = n2（n是正整数）. 因为 (a+b)24ab = (ab)2，所以 (2am)24n2 = m2， (2am+2n)(2am2n) = m2. （5分）因为2am+2n与2am2n都是正整数，且2am+2n2am2n (m为素数)，所以 2am+2nm 2，2am2n1.解得 a，. 于是 = am. （10分）又a2012，即2012.又因为m是素数，解得m89. 此时，a=2025.当时，.因此，a的最小值为2025. （20分）14解：由于都是正整数，且，所以1，2，2012于是 （10分）当时，令，则 .（15分） 当时，其中，令 ，则 综上，满足条件的所有正整数n为 （20分）
