2024年全国初中生数学素养与创新能力竞赛（初二组）决赛试题.rar

2024 年全国初中生数学素养与创新能力竞赛年全国初中生数学素养与创新能力竞赛（初二组）决赛试题（初二组）决赛试题（考试时间：（考试时间：120 分钟分钟 满分：满分：140 分）分）一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1 若实数 a，b 满足31ba，则（）Aa，b 都是有理数Bab 的结果必定为无理数Ca，b 都是无理数Dab 的结果可能为有理数2.小霞同学定义了两种新运算：D（x）x+1，R（x）x2（x 为实数），例如：D（2）2+13，R（3）321若 a 为实数，则下列运算正确的是（）A2D（a）R（2a）B2R（D（a）R（D（2a）CR（2D（a）2D（R（a）DR（D（2a）D（R（2a）3.已知等式1)()()(zyxyzxzxyxyzyzxzxy成立，则 x，y，z 中可能为 0 的数有几个？（）A0，1B0，1，2C1D04.柯桥区某学校开设了 5 个 STEAM 课程，分别为 S1、S2、S3、S4、S5，有 A、B、C、D、E 共 5 人一起去报名 STEAM 课程，每人至少报一个课程已知 B、C、D、E 分别报名了 4、3、3、2 个课程，而 S1、S2、S3、S4 四个课程中在这 5 人中分别有 1、2、2、3 人报名，则这 5 人中报名参加 S5 课程的人数有（）A5 人B4 人C3 人D6 人5.如图，ABC 为等腰直角三角形，ACB90若AOB45，则 OA、OB、OC 之间满足（）AOA2+OB2OC2BOA2+OB22OC2COA2+OB2+OAOB2OC2DOA2+OB2+2OAOB2OC26.如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，CO 是ABC 的角平分线过点 O 的直线交线段 CB 于点D，交线段 CA 的延长线于点 E，作 OGDE，交 BC 的延长线于点 G，交线段 CA 于 F在满足以上条件的情况下将 DE 绕点 O 旋转，旋转过程中以下保持定值的有（）个CECG；AFO+ODB；四边形 CFOD 的面积；4SOCESOCGA1B2C3D4二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.警犬日常训练中在跑一段山坡，上山速速是 80 米分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的 3倍，如果上、下山的路程相同，那么警犬跑这段山路的平均速度是 8.已知xxx（x表示不超过 x 的最大整数），设方程 xx 201420051的两个不同实数解为 x1，x2，则 20152（x1+x2）9.如果一个各数位上的数字均不为 0 的四位自然数abcd（cd），满足 2（ab）c+d，则称这个四位数为“倍差等和数”例如：四位数 5171，71，2（51）7+1，5171 是“倍差等和数”；又如：四位数 6321，2（63）2+1，6321 不是“倍差等和数”最大的“倍差等和数”为 ；将“倍差等和数”Mabcd的个位数字去掉后得到一个三位数，该三位数和 M 的个位数之差能被 7 整除，令 G（M）c2ad2+b，若)(12MG为整数，则满足条件的数 M 的最小值为 10.在ABC 中，AB=10，BC=6，AC=8，点 D 在线段 BC 上从点 C 向 B 移动，同时，点 E 在线段 AB 上由点 B 移动，当点 D 与点 B 重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连结 AD，CE，则 AD+CE 的最小值为 .三、（本大题 20 分）11.由浅入深是学习数学的重要方法已知权方和不等式为yxbaybxa222)(，当且仅当ybxa时，等号成立那么：若正实数 x，y，z 满足 x+3y+2z1，试求yxzyyx24422的最小值解x+3y+2z1，5 题图6 题图10 题图四、（本大题满分 25 分）12.如图 1，在四边形 ABCD 中，DADC，ADC90，ABC 是等边三角形，点 E 是直线 AB 上（异于点 A、B）的动点，点 E 绕着点 D 逆时针旋转 90至点 F 处，连接 CF（1）DAB；（2）当点 E 在线段 AB 上时，如图 2，连接 AF求证：AECF；在线段 AB 上一定存在一个定点 H，满足222)3(AEHBHBAF，请说明理由（3）当点 E 在直线 AB 上时，中的结论还成立吗？说明理由五、（本大题满分 25 分）在 RtABC 中，ACBC，ACB90，以 BC 为斜边作 RtEBC，BEC90，再将 BE 绕点 B 逆时针旋转 90得到 BF，连接 EF 分别交 BC，AB 于点 G，点 D（1）如图 1，BEC 在 BC 右侧，EBC30，AC2，求BFG 的面积；（2）如图 2，BEC 在 BC 右侧，点 D 是 AB 的中点，求证：DE2CE+DF；（3）如图 3，BEC 在 BC 左侧，FE 的延长线过 AB 的中点 D，当点 E 在 BD 的中垂线上时，CE 交 AB于点 H，直接写出BDFBCHSs的值2024 年全国初中生数学素养与创新能力竞赛年全国初中生数学素养与创新能力竞赛（初二组）决赛试题（初二组）决赛试题（考试时间：（考试时间：120 分钟分钟 满分：满分：140 分）分）一、选择题（本题满分 42 分，每小题 7 分）1 若实数 a，b 满足31ba，则（D）Aa，b 都是有理数Bab 的结果必定为无理数Ca，b 都是无理数Dab 的结果可能为有理数2.小霞同学定义了两种新运算：D（x）x+1，R（x）x2（x 为实数），例如：D（2）2+13，R（3）321若 a 为实数，则下列运算正确的是（D）A2D（a）R（2a）B2R（D（a）R（D（2a）CR（2D（a）2D（R（a）DR（D（2a）D（R（2a）3.已知等式1)()()(zyxyzxzxyxyzyzxzxy成立，则 x，y，z 中可能为 0 的数有几个？（C）A0，1B0，1，2C1D04.柯桥区某学校开设了 5 个 STEAM 课程，分别为 S1、S2、S3、S4、S5，有 A、B、C、D、E 共 5 人一起去报名 STEAM 课程，每人至少报一个课程已知 B、C、D、E 分别报名了 4、3、3、2 个课程，而 S1、S2、S3、S4 四个课程中在这 5 人中分别有 1、2、2、3 人报名，则这 5 人中报名参加 S5 课程的人数有（A）A5 人B4 人C3 人D6 人5.如图，ABC 为等腰直角三角形，ACB90若AOB45，则 OA、OB、OC 之间满足（D）AOA2+OB2OC2BOA2+OB22OC2COA2+OB2+OAOB2OC2DOA2+OB2+2OAOB2OC26.如图，在ABC 中，ACB90，ACBC，CO 是ABC 的角平分线过点 O 的直线交线段 CB 于点D，交线段 CA 的延长线于点 E，作 OGDE，交 BC 的延长线于点 G，交线段 CA 于 F在满足以上条件的情况下将 DE 绕点 O 旋转，旋转过程中以下保持定值的有（B）个CECG；AFO+ODB；四边形 CFOD 的面积；4SOCESOCGA1B2C3D4二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分）7.警犬日常训练中在跑一段山坡，上山速速是 80 米分，到达山顶后再下山，下山的速度是上山速度的 3倍，如果上、下山的路程相同，那么警犬跑这段山路的平均速度是 120 米/分 8.已知xxx（x表示不超过 x 的最大整数），设方程 xx 201420051的两个不同实数解为 x1，x2，则 20152（x1+x2）401807209 9.如果一个各数位上的数字均不为 0 的四位自然数abcd（cd），满足 2（ab）c+d，则称这个四位数为“倍差等和数”例如：四位数 5171，71，2（51）7+1，5171 是“倍差等和数”；又如：四位数 6321，2（63）2+1，6321 不是“倍差等和数”最大的“倍差等和数”为 9731；将“倍差等和数”Mabcd的个位数字去掉后得到一个三位数，该三位数和 M 的个位数之差能被 7 整除，令 G（M）c2ad2+b，若)(12MG为整数，则满足条件的数 M 的最小值为 533110.在ABC 中，AB=10，BC=6，AC=8，点 D 在线段 BC 上从点 C 向 B 移动，同时，点 E 在线段 AB 上由点 B 移动，当点 D 与点 B 重合时运动停止，已知它们的运动速度相同，连结 AD，CE，则 AD+CE 的最小值为 5532 .三、（本大题 20 分）11.由浅入深是学习数学的重要方法已知权方和不等式为yxbaybxa222)(，当且仅当ybxa时，等号成立那么：若正实数 x，y，z 满足 x+3y+2z1，试求yxzyyx24422的最小值解x+3y+2z1，（x+2y）+（y+2z）1，原式2242)2()221(212124)2(2)2(12yxxyyxxyxyyxzyyx24422的最小值224.5 题图6 题图10 题图四、（本大题满分 25 分）12.如图 1，在四边形 ABCD 中，DADC，ADC90，ABC 是等边三角形，点 E 是直线 AB 上（异于点 A、B）的动点，点 E 绕着点 D 逆时针旋转 90至点 F 处，连接 CF（1）DAB；（2）当点 E 在线段 AB 上时，如图 2，连接 AF求证：AECF；在线段 AB 上一定存在一个定点 H，满足222)3(AEHBHBAF，请说明理由（3）当点 E 在直线 AB 上时，中的结论还成立吗？说明理由（1）解：DADC，ADC90，DAC45，ABC 是等边三角形，BAC60，DABDAC+BAC105，故答案为：105；（2）证明：点 E 绕着点 D 逆时针旋转 90至点 F 处，EDF90，DEDF，ADC90，ADECDF，DADC，DAEDCF（SAS），AECF；理由：延长 FC 交 AB 于点 HDAEDCF，DCFDAE105ADC90，DADC，DCA45，FCA150，ACH30，等边ABC，CAB60，AHC90，HAHB在 RtCHB 中，HBCH3，在 RtAHF 中，AF2AH2FH2，2222)3()(AEHBCHFCHBAF；（3）解：不一定成立当点 E 在射线 AB 上时，如图 1，如图 2，同理 AF2AH2FH2，得出2222)3()(AEHBCHFCHBAF 成立；当点 E 在 BA 延长线上时，如图 3，同理 AF2AH2FH2，得出222)3(AEHBHBAF；当点 E 在 BA 延长线上时，如图 4，同理 AF2AH2FH2，得出 222)3(AEHBHBAF；五、（本大题满分 25 分）在 RtABC 中，ACBC，ACB90，以 BC 为斜边作 RtEBC，BEC90，再将 BE 绕点 B 逆时针旋转 90得到 BF，连接 EF 分别交 BC，AB 于点 G，点 D（1）如图 1，BEC 在 BC 右侧，EBC30，AC2，求BFG 的面积；（2）如图 2，BEC 在 BC 右侧，点 D 是 AB 的中点，求证：DE2CE+DF；（3）如图 3，BEC 在 BC 左侧，FE 的延长线过 AB 的中点 D，当点 E 在 BD 的中垂线上时，CE 交 AB于点 H，直接写出BDFBCHSs的值（1）解：ACBC，BC2，BEC90，EBC30，CE=21BC1，BE322CEBC，BE 绕点 B 逆时针旋转 90得到 BF，BEF 是等腰直角三角形，EBF90，BEBF3，2321BFBEsEBF，BECEBF90，CEBF，CEGBFG，BFCEFGEG，即3331FGEG，33BFGBEGSs，4339333EBFBFGSs；（2）证明：在 DE 上截取 DMDF，连接 AM，CM，AB，EF 交于点 D，ADMBDF，DMDF，ADBD，ADMBDF（SAS），AMBFBE，MADFBD，CAM+MAD45，CBE+FBD45，CAMCBE，ACBC，AMBE，CAMCBE（SAS），CMCE，ACMBCE，ACM+BCM90，MCEBCE+BCM90，MCE 是等腰直角三角形，ME2CE，DEDM+MEDF2CE；（3）解：作ECN90，交 FD 延长线于点 N，BE 绕点 B 逆时针旋转 90得到 BF，BEF 是等腰直角三角形，BEBF，BEFBFE45，BEC90，CEN45，ECN90，CEN 是等腰直角三角形，CNCE，CENCNE45，ECNACB90，ACNBCE，ACBC，CNCE，RtACNRtBCE（HL），ANBEBF，CNACEB90，CNE45，ANDBFD45，ADBD，ADNBDF，ADNBDF（AAS），DNDF，点 E 在 BD 的中垂线上，BEDE，设 BEBFDEa，BEF 是等腰直角三角形，EF2a，DFDE+EFa)21(，NF2DFa)222(，NENFEFa)22(，CEN 是等腰直角三角形，CEaHE)12(2，BECEBF90，HEBF，DHEDBF，EFDEBFHE，即aaaHE)21(，得 HEa)12(，CHCEHE2a，过点 B 作 BPEF，垂足为点 P，BFE45，BFP 是等腰直角三角形，BPa22，得 SBCHaaBECH2121a2，SBDF242222)21(2121aaaBPDF，22442222aaSSBDFBCH