1、九年级上册九年级上册 数学 华师版 专题课堂(三)一元二次方程根的 判别式及根与系数关系的应用 一、根的判别式的应用 类型：(1)通过求b24ac的值，判断一元二次方程的根的情况； (2)根据方程根的情况求出字母系数的取值范围 【例1】已知a，b，c是ABC的三边长，并且关于x的一元二次 方程(ac)x2bx 1 4 (ac)0有两个相等的实数根，试判断ABC的 形状，并说明理由 分析：由0得到a，b，c的关系，从而判断形状 解：由b24 1 4 (ac)(ac)0，即a2b2c2，ABC 为直角三角形 对应练习 1如果关于x的一元二次方程kx22k1 x10有两个不相等的实 数根，那么k的取
2、值范围是( ) Ak1 2 Bk 1 2且k0 C1 2k 1 2 D 1 2k 1 2且k0 D 2已知关于x的方程x2(2m1)xm(m1)0. (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)已知方程的一个根为x0，求代数式(2m1)2(3m)(3m)7m5 的值(要求先化简再求值) 解：(1)证明：b24ac(2m1)24m(m1)1，b24ac0，方 程总有两个不相等的实数根 (2)原式5 过程略 二、一元二次方程的根与系数的关系的综合应用 类型：(1)不解方程，求与方程的根有关的代数式的值；(2)已知方程一根， 求方程的另一根；(3)与根的判别式综合应用 【例2】已知关于x的一元二
3、次方程x22(1m)xm2的两个实数根为x1， x2. (1)求m的取值范围： (2)设yx1x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值 分析：(1)由根的情况确定关于m的不等式，解关于m的不等式，求出m的取值 范围； (2)x1x22(m1)，代入yx1x2中，根据一次函数的增减性求m的值 解：(1)将原方程整理为x22(m1)xm20，原方程有两个实数 根，2(m1)24m28m40，解集m 1 2 (2)x1，x2为x2 2(m1)xm20有两个实数根，yx1x22m2，且m 1 2 ，y随 m的增大而减小，当m1 2时，y取得最小值1 对应练习 3已知x1，x2是一元二次方程3x262x的两根，则x1x1x2x2的 值是_ 4若两个不等实数m，n满足条件：m22m10，n22n1 0，则m2n2的值是_ 4 3 6 5关于x的方程kx2(k2)xk 40有两个不相等的实数根 (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0，若存在，求 出k的值；若不存在，请说明理由 解：(1)由题意可得(k2)24k k 4 0，4k40，k 1且k0 (2) 1 x1 1 x20， x1x2 x1x2 0，x1x20，k2 k 0， k2，又k1且k0，不存在实数k使两个实数根的倒数和 等于0
