1、九年级上册九年级上册 数学 华师版 专题课堂(三)一元二次方程根的 判别式及根与系数关系的应用 一、根的判别式的应用 类型:(1)通过求b24ac的值,判断一元二次方程的根的情况; (2)根据方程根的情况求出字母系数的取值范围 【例1】已知a,b,c是ABC的三边长,并且关于x的一元二次 方程(ac)x2bx 1 4 (ac)0有两个相等的实数根,试判断ABC的 形状,并说明理由 分析:由0得到a,b,c的关系,从而判断形状 解:由b24 1 4 (ac)(ac)0,即a2b2c2,ABC 为直角三角形 对应练习 1如果关于x的一元二次方程kx22k1 x10有两个不相等的实 数根,那么k的取
2、值范围是( ) Ak1 2 Bk 1 2且k0 C1 2k 1 2 D 1 2k 1 2且k0 D 2已知关于x的方程x2(2m1)xm(m1)0. (1)求证:方程总有两个不相等的实数根; (2)已知方程的一个根为x0,求代数式(2m1)2(3m)(3m)7m5 的值(要求先化简再求值) 解:(1)证明:b24ac(2m1)24m(m1)1,b24ac0,方 程总有两个不相等的实数根 (2)原式5 过程略 二、一元二次方程的根与系数的关系的综合应用 类型:(1)不解方程,求与方程的根有关的代数式的值;(2)已知方程一根, 求方程的另一根;(3)与根的判别式综合应用 【例2】已知关于x的一元二
3、次方程x22(1m)xm2的两个实数根为x1, x2. (1)求m的取值范围: (2)设yx1x2,当y取得最小值时,求相应m的值,并求出最小值 分析:(1)由根的情况确定关于m的不等式,解关于m的不等式,求出m的取值 范围; (2)x1x22(m1),代入yx1x2中,根据一次函数的增减性求m的值 解:(1)将原方程整理为x22(m1)xm20,原方程有两个实数 根,2(m1)24m28m40,解集m 1 2 (2)x1,x2为x2 2(m1)xm20有两个实数根,yx1x22m2,且m 1 2 ,y随 m的增大而减小,当m1 2时,y取得最小值1 对应练习 3已知x1,x2是一元二次方程3x262x的两根,则x1x1x2x2的 值是_ 4若两个不等实数m,n满足条件:m22m10,n22n1 0,则m2n2的值是_ 4 3 6 5关于x的方程kx2(k2)xk 40有两个不相等的实数根 (1)求k的取值范围; (2)是否存在实数k,使方程的两个实数根的倒数和等于0,若存在,求 出k的值;若不存在,请说明理由 解:(1)由题意可得(k2)24k k 4 0,4k40,k 1且k0 (2) 1 x1 1 x20, x1x2 x1x2 0,x1x20,k2 k 0, k2,又k1且k0,不存在实数k使两个实数根的倒数和 等于0