1、 【题型综述题型综述】 不等式恒成立的转化策略一般有以下几种：不等式恒成立的转化策略一般有以下几种： 分离参数函数最值； 直接化为最值分类讨论； 缩小范围证明不等式； 分离函数数形结合。 通过讨论函数的单调性及最值， 直接化为最值的优点是函数结构简单，是不等式恒成立的通性通法， 高考参考答案一般都是以这种解法给出，缺点是一般需要分类讨论，解题过程较长，解题层级数较多，不 易掌握分类标准。 【典例指引】【典例指引】 例 1设 ( ) yf x=是 ( ) x g xe=在点( ) 0,1处的切线 （）求 ( ) yf x=的解析式； （）求证： ( )( ) f xg x； （）设 ( )( )
2、( ) lnh xg xfxax 轾 =+- 臌 ，其中aR若 ( ) 1h x 对 ) 0,x?恒成立，求a的取值范 围 【思路引导】 （）由导数值得切线斜率，进而得切线方程，即可求函数 f（x）的解析式； （）令 ( )( )( ) m xg xf x=-，求导证得 ( )( ) 00m xm?； （） ( ) 1 e 1 x hxa x =+- + ， 当2a时，由（）得 e1 x x?，可得 ( ) 0hx ，进而得 ( ) h x在区 间 ) 0,+?上单调递增， ( )( ) 01h xh?恒成立， 当2a时，可得 ( ) h x 在区间 ) 0,+?上单调递 增，存在 ()0 0
3、,x ?，使得 ( )0 0h x =， ( )( )0 01h xh=，此时 ( ) 1h x 不会恒成立，进而得的取值 范围 当0 x时， ( ) 0mx 时， ( ) 0mx ，故 ( ) m x单调递增 所以， ( )( ) 00m xm? (xR?） 学* 所以 ( )( ) f xg x 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2）若 ( ) 0fx 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ( )min 0f x ，若 ( ) 0fx 恒成立，可转化为 ( )( ) minmax f xg x（需在同一
4、处取得最值） 例 2函数. （）讨论的单调性； （）若且满足：对，都有，试比较与的大小， 并证明. 【思路引导】 （1）求出 ( ) fx， 讨论两种情况分别令 ( ) 0fx 可得增区间， ( ) 0fx 得增区间， ( ) 0fx ， 函数 ( ) g x单调递增且不存在最小值， 不满足题意； 当0c 0 恒成立，从而 t(x)在0,+)上单调递增, 此时 t(0)=3-a, F(0)=2-a,g(0)=0 当 a2 时，t(x)t(0)=3-a0,即 F(x)0 所以 F(x)在0,+)上单调递增 所以 F(x)F(0)=2-a0,即 g(x)0，从而 g(x)在0,+)上单调递增 所以
5、 g(x)g(0)=0 即(x+1)ex- ax2-ax-10 恒成立, 所以当 a2 时合题意； 当 2a3 时，t(x)在0,+)上单调递增,且 t(x)t(0)=3-a0 即 F(x)0 F(x)=g(x)在0,+)上单调递增,又 F(0)=g(0)=2-a0， 必存在 x1(0,+),使得 x（0,x1)时， g(x)在(0,x1)上单调递减， g(x)g(0)=0， 这与 g(x)0 在 x0 时恒成立矛盾，从而当 23 时，t(x)在0,+)上单调递增且 t(0)=3-a0， 必存在 x2(0,+),使得 x(0,x2)时，t(x)0，即 F(x)0,从而 F(x)=g(x)在0,
6、+ )上单调递减, F(x)F(0)=g(0)=2-a0， 从而 g(x)在(0,x1)上单调递减 ， g(x)3 时不合题意； 综上：a 的取值范围是(-,2 【同步训练】【同步训练】 1已知函数 ( ) 2 1,R 2 x x fxeaxx=-?. （1）当2a=，求 ( ) fx的图象在点 ( )() 0,0f处的切线方程； （2）若对任意0 x都有 ( ) 0fx 恒成立，求实数a的取值范围. 【思路引导】 （1）由于是在那点，所以求导可得（2）对 f(x)求导 ( ) x f xexa=-，再求导 ( ) x h xe1=-，当x0时 ( )( ) f xf 01 a?-，所以对a1
7、和a1分类讨论。 单 调 递 增 ， ( )( ) 01fxfa?-， 当1a时 ， ( )( ) 0,fxf x， 在 ) 0,+?单 调 递 增 ， ( )( ) 00f xf?恒成立；当1a时，存在当 ()0 0,x ?，使 ( )0 0fx=，则 ( ) fx在 )0 0,x单调递 减，在( )0, x +?单调递增，则当 )0 0,xx时， ( )( ) 00f xf三种情况分别讨论判断 ( ) 0F x 是否恒成立即可 得到结论。 （iii）若 2 ek ， ( ) 0Fx ， 则 ( ) F x在( ) 2,-+?上单调递增， 而 ()() 222 2222ee0Fkek - -
8、=-+=-+ 琪 桫 （III）设实数k使得 ( ) 3 3 x fxk x 骣 琪 + 琪 桫 对 () 0,1x恒成立，求k的最大值 【思路引导】 （I） ( ) 11 11 fx xx =+ +- ，得 ( ) 01 12f= + =，又 ( ) 00f=，可得在( ) 0,0处切线方程为2yx= （II）令 ( )( ) 3 2 3 x g xfxx 骣 琪 =-+ 琪 桫 ，求导得出 ( ) g x的增减性，然后由 ( )( ) 00g xg=得证 （ III ） 由 （ II ） 可 知 ， 当2k 时 ， ( ) 3 3 x fxk x 骣 琪 + 琪 桫 对 () 0,1x恒
9、成 立 2k 时 ， 令 ( )( ) 3 3 x Fxfxkx 骣 琪 =-+ 琪 桫 ，求导，可得 ( ) 4 2 0, k F x k 骣 - 琪 琪 桫 上 ( ) F x单调递减，当 4 2 0 k x k - 时， F( ) ( ) 00 xF时， ( ) 3 x fxk x x 骣 琪 + 琪 桫 ，对 () 0 ,1x不恒成立， 可得 k 的最大值为 2来源:Z&X&X&K （II）证明：令 ( )( ) 3 2 3 x g xfxx 骣 琪 =-+ 琪 桫 ， ( ) 2 11 22 1 1 gxx xx =+- +- 4 2 2 0(01) 1 x x x =， ( ) 3
10、 20 3 x fxx 骣 琪 -+ 琪 桫 ，学& 即在 () 0,1x时， ( ) 3 2 3 x fxx 骣 琪 + 琪 桫 （III）由（II）知，在2k 时， ( ) 3 3 x fxk x 骣 琪 + 琪 桫 对 () 0,1x恒成立， 点晴：本题主要考查函数导数与不等式，恒成立问题要证明一个不等式，我们可以先根据题意所给条件 化简这个不等式，如第二问的不等式，可以转化为 ( ) 3 20 3 x fxx 骣 琪 -+ 琪 桫 ，第三问的不等式可以转化为 ( ) 3 0 3 x fxk x 骣 琪 -+ 琪 桫 ，划归与转化之后，就可以假设相对应的函数，然后利用导数研究这个函数的单
11、调 性、极值和最值，图像与性质，进而求解得结果 4已知函数 ( ) b fxax x =+（其中, a bR）在点 ( )() 1,1f处的切线斜率为 1 （1）用a表示b； （2）设 ( )( ) lng xf xx=-，若 ( ) 1g x 对定义域内的x恒成立，求实数a的取值范围； （3）在（2）的前提下，如果 ( )( )12 g xg x=，证明： 12 2xx+? 【思路引导】 （1）由题意 ( ) 11fa b =-=即得； （2） ( )( ) 1 lnln1 a g xfxxaxx x - =-=+-?在定义域( ) 0,+?上恒成立， 即 ( )min 1g x， 由 (
12、) 1g x 恒 成立，得1a，再证当1a时， ( )( ) min 1g xg=即可； （3）由（2）知1a，且 ( ) g x在( ) 0,1单调递减；在( ) 1,+?单调递增，当 ( )( )12 g xg x=时，不妨设 12 01xx 【思路引导】 （1） 根据极值的概念得到 ( ) 10f=， 可得到参数值；（2） 转化为函数最值问题， 研究函数的单调性， 分0a= 时， 0a时， 01a时， 2 12 lnxxx - ，给 x 赋值：2，3，4，5 等，最终证得 结果。 试题解析：来源:Z&X&X&K （1） ( ) 1 2fxaxa x =-， ( ) fx在1x=处取到极值
13、， ( ) 10f=，即10a-=，1a=， 经检验， 1a=时， ( ) fx在1x=处取到极小值 （3）证明：由（1）知令1a=，当 ) 1,x?时， ( ) 2 ln0 xxx-?（当且仅当1x=时取“=”） ， 当2x时， 2 12 lnxxx - 即当x=2， 3， 4， ， n， 有 222 111111 l n 2 l n 3l n22 3 3nnn + ?+ ? - () 1111 1 22 33 41nn =+? 创? 1111111 1 223341nn 骣骣骣骣 琪琪琪琪=-+-+-+?- 琪琪琪琪 - 桫桫桫桫 11 1 n nn - = -= 点睛：这个题目考查了导数
14、在研究函数极值和单调性，最值中的应用，最终还用到了赋值的思想，证明不 等式。其中有典型的恒成立求参的问题。一般是转化成函数最值问题，或者先变量分离，将 参数和变量分 离到不等号的两侧，再转化为最值问题。 6已知函数 ( ) 2 ln1 2 a fxxxx=-+ +， ( ) 21 x a g xaeaxa x =+-，其中0a （1）若1a=，求函数 ( ) g x在 1 3，上的值域； （2）若 () 0 x?， ( )( ) g xfx 恒成立，求实数a的取值范围 【思路引导】 （1）代入1a=， ( ) 1 3 x g xex x =+ -，从而求导 ( ) 2 1 1 x gxe x
15、=-+ ，从而由导数的正负确定函数的单 调性，从而求最值； （2）令 ( )( )( ) h xg xfx=- ，化简求导得到 ( ) () 2 2 1 x ae xa hx x -+ =，再令 ( )() 2 1 x p xae xa=-+并求导得 ( )() 20 x pxae x x =+，从而解得 ()0 0 x$?，使得 ( )0 0p x=， 使 ( ) h x在( )0 0 x，上单调递减，在( )0 x+?，上单调递增，从而可得 ( )()() 0 0 min 0 1 21 x a h xh xaea x + =+-+，且 () 0 2 0 10 x aexa-+=，从而化简求
16、出实数a的取值范围 点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2）若 ( ) 0fx 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ( )min 0f x，若 ( ) 0fx 恒成立，转化为 ( )max 0f x恒成立，可转化为 ()( )min max f xg x 7已知函数 ( ) 2 1 ln1 2 a fxa xx + =+ （1）当 1 2 a = -时，求 ( ) fx在区间 1 ,e e 轾 犏 犏 臌 上的最值； （2）讨论函数 ( ) fx的单调性； （3）当10a- +-恒成立，求a的取值范围 【思
17、路引导】 （1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导数在区间上符号变化规律，确定函数最值（2）先求导数， 根据导函数符号是否变化进行分类讨论： 1a?时， ( ) 0fx ， 10a- +- 琪 + 桫 ，整理化简得 () ln11a+-，解得a的取值范围 （） ( ) () 2 1axa fx x + = + ， () 0 x?， 当10a+ ?，即1a?时， ( ) 0fx ， ( ) fx在( ) 0 +?，上单调递增； 当10a- 得 2 1 a x a - + ， 1 a x a - + 或 1 a x a - - + （舍去） ( ) fx在 1 a a 骣 - 琪 +? 琪 +
18、桫 ，单调递增，在0 1 a a 骣 - 琪 琪 + 桫 ，上单调递减； 综上，当0a， ( ) fx在( ) 0 +?，上单调递增； 当10a- 时， ( ) fx在 1 a a 骣 - 琪 +? 琪 + 桫 ，单调递增， 在0 1 a a 骣 - 琪 琪 + 桫 ，上单调递减； 当1a?时， ( ) fx在 () 0 +?，上单调递减； （）由（）知，当10a- +- 琪 + 桫 即 () 1 ln1 1ln 1212 aaaa aa aa -+- +-+ +- + 整理得 () ln11a+- 1 1a e -，又10a- ，a的取值范围为 1 1 0 e 骣 琪 - 琪 桫 ， 点睛：
19、利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最 值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化 为函数的最值问题 8已知 ( )() 2 ln x f xex a=+ （1）当1a=时，求 ( ) fx在( ) 0,1处的切线方程； （2）若存在 )0 0,x ?，使得 ( )() 2 000 2lnf xxax+成立，求实数a的取值范围 【思路引导】 （1）求出 f（x）的导数，可得切线的斜率，由斜截式方程即可得到所求切线的方程； （2）由题意可得存在 x 00，+） ，使得 () 0 22 00 ln0
20、x exax-+-，设 ( )() 22 ln x u xex ax=-+-，两次 求导，判断单调性，对 a 讨论，分 1 2 a 和 1 2 a - 222 11 22 x xxexx 骣骣 琪琪+-+- 琪琪 桫桫 设 ( )() 22 1 0 2 x g xexxx 骣 琪=-+? 琪 桫 ， ( ) 2 221 x gxex =-， 令 ( ) 2 221 x xexj=-， ( ) 2 424 20 x xej=-? 所以 ( ) 2 221 x xexj=-在 ) 0,+?上单调递增， 所以 ( )( ) 01 0gxg = ? 所以 ( ) g x在( ) 0,+?单调递增， (
21、 )( ) 00g xg， 所以 ( )( ) 00g xg，所以 ( )()( ) 22 ln0 x u xex axg x=-+- 所以，当 1 2 a +恒成立，不合题意 综上，实数a的取值范围为 1 2 a 9已知函数 ( ) 2ax fxx e=（0a） （1）若1a =-，求曲线 ( ) yf x=在 ( )() 1,1f处的切线方程； （2）若对任意 12 ,0,2x x ， ( ) 2 1 2 2 1 1 x fx x -? + 恒成立，求实数a的取值范围 【思路引导】 ( ) 1由导函数研究切线的斜率可得切线方程为 1 yx e =来源: ( ) 2令 ( ) 2 x1 x
22、g x = + ，结合函数的性质分类讨论10a- ?和1a -两种情况可得实数a的取值范围。 （）当 2 02 a -，即1a -时， 在 2 0, a 轹 - 滕 上 ( ) 0fx ，在 2 ,2 a 纟 - 棼 上 ( ) 0fx ， 所以函数 ( ) fx在 2 0, a 轹 - 滕 上单调递增，在 2 ,2 a 纟 - 棼 上单调递减，所以 ( ) 22 max 24 fxf aa e 骣 轾 琪=-= 琪臌 桫 ，由 22 4 1 a e 得， 2 a e ?，所以1a - 综上所述，a的取值范围是( , ln2-? 点睛：本 题考查了导数的几何意义以及利用导数判断函数单调性的知识
23、，在处理任意性的时候要转化为最 值问题，解决好最大值与最小值之间的关系，在解答过程中需要注意分类讨论 10已知函数 ( ) x f xe=，直线l的方程为 () ,ykx b kR bR=+挝 （1）若直线l是曲线 ( ) yf x=的切线，求证： ( ) f xkx b?对任意xR成立； （2）若 ( ) f xkx b?对任意 ) 0,x?恒成立，求实数是, k b应满足的条件 【思路引导】 （1）根据切线的方程，写出斜率和截距，构造新函数，对新函数求导，得到在 x（-，t）上单调递减， 在 x（t，+）为单调递增，即得到函数的最小值，根据函数思想得到不等式成立 （2）构造新函数，对新函数求导，判断函数的单调性，针对于 k 的不同值，函数的单调性不同，需要进行 讨论，求出函数的最小值，得到要写的条件 （2）令 ( )( ) ,0, x H xf xkx bekx b x=-=-? ( ) ,0, x Hxek x =-? 当1k 时， ( ) 0Hx ，则 ( ) H x在 ) 0,+?单调递增， 来源:ZXXK
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