1、 【题型综述题型综述】 不等式恒成立的转化策略一般有以下几种:不等式恒成立的转化策略一般有以下几种: 分离参数函数最值; 直接化为最值分类讨论; 缩小范围证明不等式; 分离函数数形结合。 通过讨论函数的单调性及最值, 直接化为最值的优点是函数结构简单,是不等式恒成立的通性通法, 高考参考答案一般都是以这种解法给出,缺点是一般需要分类讨论,解题过程较长,解题层级数较多,不 易掌握分类标准。 【典例指引】【典例指引】 例 1设 ( ) yf x=是 ( ) x g xe=在点( ) 0,1处的切线 ()求 ( ) yf x=的解析式; ()求证: ( )( ) f xg x; ()设 ( )( )
2、( ) lnh xg xfxax 轾 =+- 臌 ,其中aR若 ( ) 1h x 对 ) 0,x?恒成立,求a的取值范 围 【思路引导】 ()由导数值得切线斜率,进而得切线方程,即可求函数 f(x)的解析式; ()令 ( )( )( ) m xg xf x=-,求导证得 ( )( ) 00m xm?; () ( ) 1 e 1 x hxa x =+- + , 当2a时,由()得 e1 x x?,可得 ( ) 0hx ,进而得 ( ) h x在区 间 ) 0,+?上单调递增, ( )( ) 01h xh?恒成立, 当2a时,可得 ( ) h x 在区间 ) 0,+?上单调递 增,存在 ()0 0
3、,x ?,使得 ( )0 0h x =, ( )( )0 01h xh=,此时 ( ) 1h x 不会恒成立,进而得的取值 范围 当0 x时, ( ) 0mx 时, ( ) 0mx ,故 ( ) m x单调递增 所以, ( )( ) 00m xm? (xR?) 学* 所以 ( )( ) f xg x 点睛:导数问题经常会遇见恒成立的问题: (1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题; (2)若 ( ) 0fx 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为 ( )min 0f x ,若 ( ) 0fx 恒成立,可转化为 ( )( ) minmax f xg x(需在同一
4、处取得最值) 例 2函数. ()讨论的单调性; ()若且满足:对,都有,试比较与的大小, 并证明. 【思路引导】 (1)求出 ( ) fx, 讨论两种情况分别令 ( ) 0fx 可得增区间, ( ) 0fx 得增区间, ( ) 0fx , 函数 ( ) g x单调递增且不存在最小值, 不满足题意; 当0c 0 恒成立,从而 t(x)在0,+)上单调递增, 此时 t(0)=3-a, F(0)=2-a,g(0)=0 当 a2 时,t(x)t(0)=3-a0,即 F(x)0 所以 F(x)在0,+)上单调递增 所以 F(x)F(0)=2-a0,即 g(x)0,从而 g(x)在0,+)上单调递增 所以
5、 g(x)g(0)=0 即(x+1)ex- ax2-ax-10 恒成立, 所以当 a2 时合题意; 当 2a3 时,t(x)在0,+)上单调递增,且 t(x)t(0)=3-a0 即 F(x)0 F(x)=g(x)在0,+)上单调递增,又 F(0)=g(0)=2-a0, 必存在 x1(0,+),使得 x(0,x1)时, g(x)在(0,x1)上单调递减, g(x)g(0)=0, 这与 g(x)0 在 x0 时恒成立矛盾,从而当 23 时,t(x)在0,+)上单调递增且 t(0)=3-a0, 必存在 x2(0,+),使得 x(0,x2)时,t(x)0,即 F(x)0,从而 F(x)=g(x)在0,
6、+ )上单调递减, F(x)F(0)=g(0)=2-a0, 从而 g(x)在(0,x1)上单调递减 , g(x)3 时不合题意; 综上:a 的取值范围是(-,2 【同步训练】【同步训练】 1已知函数 ( ) 2 1,R 2 x x fxeaxx=-?. (1)当2a=,求 ( ) fx的图象在点 ( )() 0,0f处的切线方程; (2)若对任意0 x都有 ( ) 0fx 恒成立,求实数a的取值范围. 【思路引导】 (1)由于是在那点,所以求导可得(2)对 f(x)求导 ( ) x f xexa=-,再求导 ( ) x h xe1=-,当x0时 ( )( ) f xf 01 a?-,所以对a1
7、和a1分类讨论。 单 调 递 增 , ( )( ) 01fxfa?-, 当1a时 , ( )( ) 0,fxf x, 在 ) 0,+?单 调 递 增 , ( )( ) 00f xf?恒成立;当1a时,存在当 ()0 0,x ?,使 ( )0 0fx=,则 ( ) fx在 )0 0,x单调递 减,在( )0, x +?单调递增,则当 )0 0,xx时, ( )( ) 00f xf三种情况分别讨论判断 ( ) 0F x 是否恒成立即可 得到结论。 (iii)若 2 ek , ( ) 0Fx , 则 ( ) F x在( ) 2,-+?上单调递增, 而 ()() 222 2222ee0Fkek - -
8、=-+=-+ 琪 桫 (III)设实数k使得 ( ) 3 3 x fxk x 骣 琪 + 琪 桫 对 () 0,1x恒成立,求k的最大值 【思路引导】 (I) ( ) 11 11 fx xx =+ +- ,得 ( ) 01 12f= + =,又 ( ) 00f=,可得在( ) 0,0处切线方程为2yx= (II)令 ( )( ) 3 2 3 x g xfxx 骣 琪 =-+ 琪 桫 ,求导得出 ( ) g x的增减性,然后由 ( )( ) 00g xg=得证 ( III ) 由 ( II ) 可 知 , 当2k 时 , ( ) 3 3 x fxk x 骣 琪 + 琪 桫 对 () 0,1x恒
9、成 立 2k 时 , 令 ( )( ) 3 3 x Fxfxkx 骣 琪 =-+ 琪 桫 ,求导,可得 ( ) 4 2 0, k F x k 骣 - 琪 琪 桫 上 ( ) F x单调递减,当 4 2 0 k x k - 时, F( ) ( ) 00 xF时, ( ) 3 x fxk x x 骣 琪 + 琪 桫 ,对 () 0 ,1x不恒成立, 可得 k 的最大值为 2来源:Z&X&X&K (II)证明:令 ( )( ) 3 2 3 x g xfxx 骣 琪 =-+ 琪 桫 , ( ) 2 11 22 1 1 gxx xx =+- +- 4 2 2 0(01) 1 x x x =, ( ) 3
10、 20 3 x fxx 骣 琪 -+ 琪 桫 ,学& 即在 () 0,1x时, ( ) 3 2 3 x fxx 骣 琪 + 琪 桫 (III)由(II)知,在2k 时, ( ) 3 3 x fxk x 骣 琪 + 琪 桫 对 () 0,1x恒成立, 点晴:本题主要考查函数导数与不等式,恒成立问题要证明一个不等式,我们可以先根据题意所给条件 化简这个不等式,如第二问的不等式,可以转化为 ( ) 3 20 3 x fxx 骣 琪 -+ 琪 桫 ,第三问的不等式可以转化为 ( ) 3 0 3 x fxk x 骣 琪 -+ 琪 桫 ,划归与转化之后,就可以假设相对应的函数,然后利用导数研究这个函数的单
11、调 性、极值和最值,图像与性质,进而求解得结果 4已知函数 ( ) b fxax x =+(其中, a bR)在点 ( )() 1,1f处的切线斜率为 1 (1)用a表示b; (2)设 ( )( ) lng xf xx=-,若 ( ) 1g x 对定义域内的x恒成立,求实数a的取值范围; (3)在(2)的前提下,如果 ( )( )12 g xg x=,证明: 12 2xx+? 【思路引导】 (1)由题意 ( ) 11fa b =-=即得; (2) ( )( ) 1 lnln1 a g xfxxaxx x - =-=+-?在定义域( ) 0,+?上恒成立, 即 ( )min 1g x, 由 (
12、) 1g x 恒 成立,得1a,再证当1a时, ( )( ) min 1g xg=即可; (3)由(2)知1a,且 ( ) g x在( ) 0,1单调递减;在( ) 1,+?单调递增,当 ( )( )12 g xg x=时,不妨设 12 01xx 【思路引导】 (1) 根据极值的概念得到 ( ) 10f=, 可得到参数值;(2) 转化为函数最值问题, 研究函数的单调性, 分0a= 时, 0a时, 01a时, 2 12 lnxxx - ,给 x 赋值:2,3,4,5 等,最终证得 结果。 试题解析:来源:Z&X&X&K (1) ( ) 1 2fxaxa x =-, ( ) fx在1x=处取到极值
13、, ( ) 10f=,即10a-=,1a=, 经检验, 1a=时, ( ) fx在1x=处取到极小值 (3)证明:由(1)知令1a=,当 ) 1,x?时, ( ) 2 ln0 xxx-?(当且仅当1x=时取“=”) , 当2x时, 2 12 lnxxx - 即当x=2, 3, 4, , n, 有 222 111111 l n 2 l n 3l n22 3 3nnn + ?+ ? - () 1111 1 22 33 41nn =+? 创? 1111111 1 223341nn 骣骣骣骣 琪琪琪琪=-+-+-+?- 琪琪琪琪 - 桫桫桫桫 11 1 n nn - = -= 点睛:这个题目考查了导数
14、在研究函数极值和单调性,最值中的应用,最终还用到了赋值的思想,证明不 等式。其中有典型的恒成立求参的问题。一般是转化成函数最值问题,或者先变量分离,将 参数和变量分 离到不等号的两侧,再转化为最值问题。 6已知函数 ( ) 2 ln1 2 a fxxxx=-+ +, ( ) 21 x a g xaeaxa x =+-,其中0a (1)若1a=,求函数 ( ) g x在 1 3,上的值域; (2)若 () 0 x?, ( )( ) g xfx 恒成立,求实数a的取值范围 【思路引导】 (1)代入1a=, ( ) 1 3 x g xex x =+ -,从而求导 ( ) 2 1 1 x gxe x
15、=-+ ,从而由导数的正负确定函数的单 调性,从而求最值; (2)令 ( )( )( ) h xg xfx=- ,化简求导得到 ( ) () 2 2 1 x ae xa hx x -+ =,再令 ( )() 2 1 x p xae xa=-+并求导得 ( )() 20 x pxae x x =+,从而解得 ()0 0 x$?,使得 ( )0 0p x=, 使 ( ) h x在( )0 0 x,上单调递减,在( )0 x+?,上单调递增,从而可得 ( )()() 0 0 min 0 1 21 x a h xh xaea x + =+-+,且 () 0 2 0 10 x aexa-+=,从而化简求
16、出实数a的取值范围 点睛:导数问题经常会遇见恒成立的问题: (1)根据参变分离,转化为不含参数的函数的最值问题; (2)若 ( ) 0fx 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值,最终转化为 ( )min 0f x,若 ( ) 0fx 恒成立,转化为 ( )max 0f x恒成立,可转化为 ()( )min max f xg x 7已知函数 ( ) 2 1 ln1 2 a fxa xx + =+ (1)当 1 2 a = -时,求 ( ) fx在区间 1 ,e e 轾 犏 犏 臌 上的最值; (2)讨论函数 ( ) fx的单调性; (3)当10a- +-恒成立,求a的取值范围 【思
17、路引导】 (1)先求导数,再求导函数零点,列表分析导数在区间上符号变化规律,确定函数最值(2)先求导数, 根据导函数符号是否变化进行分类讨论: 1a?时, ( ) 0fx , 10a- +- 琪 + 桫 ,整理化简得 () ln11a+-,解得a的取值范围 () ( ) () 2 1axa fx x + = + , () 0 x?, 当10a+ ?,即1a?时, ( ) 0fx , ( ) fx在( ) 0 +?,上单调递增; 当10a- 得 2 1 a x a - + , 1 a x a - + 或 1 a x a - - + (舍去) ( ) fx在 1 a a 骣 - 琪 +? 琪 +
18、桫 ,单调递增,在0 1 a a 骣 - 琪 琪 + 桫 ,上单调递减; 综上,当0a, ( ) fx在( ) 0 +?,上单调递增; 当10a- 时, ( ) fx在 1 a a 骣 - 琪 +? 琪 + 桫 ,单调递增, 在0 1 a a 骣 - 琪 琪 + 桫 ,上单调递减; 当1a?时, ( ) fx在 () 0 +?,上单调递减; ()由()知,当10a- +- 琪 + 桫 即 () 1 ln1 1ln 1212 aaaa aa aa -+- +-+ +- + 整理得 () ln11a+- 1 1a e -,又10a- ,a的取值范围为 1 1 0 e 骣 琪 - 琪 桫 , 点睛:
19、利用导数研究不等式恒成立或存在型问题,首先要构造函数,利用导数研究函数的单调性,求出最 值,进而得出相应的含参不等式,从而求出参数的取值范围;也可分离变量,构造函数,直接把问题转化 为函数的最值问题 8已知 ( )() 2 ln x f xex a=+ (1)当1a=时,求 ( ) fx在( ) 0,1处的切线方程; (2)若存在 )0 0,x ?,使得 ( )() 2 000 2lnf xxax+成立,求实数a的取值范围 【思路引导】 (1)求出 f(x)的导数,可得切线的斜率,由斜截式方程即可得到所求切线的方程; (2)由题意可得存在 x 00,+) ,使得 () 0 22 00 ln0
20、x exax-+-,设 ( )() 22 ln x u xex ax=-+-,两次 求导,判断单调性,对 a 讨论,分 1 2 a 和 1 2 a - 222 11 22 x xxexx 骣骣 琪琪+-+- 琪琪 桫桫 设 ( )() 22 1 0 2 x g xexxx 骣 琪=-+? 琪 桫 , ( ) 2 221 x gxex =-, 令 ( ) 2 221 x xexj=-, ( ) 2 424 20 x xej=-? 所以 ( ) 2 221 x xexj=-在 ) 0,+?上单调递增, 所以 ( )( ) 01 0gxg = ? 所以 ( ) g x在( ) 0,+?单调递增, (
21、 )( ) 00g xg, 所以 ( )( ) 00g xg,所以 ( )()( ) 22 ln0 x u xex axg x=-+- 所以,当 1 2 a +恒成立,不合题意 综上,实数a的取值范围为 1 2 a 9已知函数 ( ) 2ax fxx e=(0a) (1)若1a =-,求曲线 ( ) yf x=在 ( )() 1,1f处的切线方程; (2)若对任意 12 ,0,2x x , ( ) 2 1 2 2 1 1 x fx x -? + 恒成立,求实数a的取值范围 【思路引导】 ( ) 1由导函数研究切线的斜率可得切线方程为 1 yx e =来源: ( ) 2令 ( ) 2 x1 x
22、g x = + ,结合函数的性质分类讨论10a- ?和1a -两种情况可得实数a的取值范围。 ()当 2 02 a -,即1a -时, 在 2 0, a 轹 - 滕 上 ( ) 0fx ,在 2 ,2 a 纟 - 棼 上 ( ) 0fx , 所以函数 ( ) fx在 2 0, a 轹 - 滕 上单调递增,在 2 ,2 a 纟 - 棼 上单调递减,所以 ( ) 22 max 24 fxf aa e 骣 轾 琪=-= 琪臌 桫 ,由 22 4 1 a e 得, 2 a e ?,所以1a - 综上所述,a的取值范围是( , ln2-? 点睛:本 题考查了导数的几何意义以及利用导数判断函数单调性的知识
23、,在处理任意性的时候要转化为最 值问题,解决好最大值与最小值之间的关系,在解答过程中需要注意分类讨论 10已知函数 ( ) x f xe=,直线l的方程为 () ,ykx b kR bR=+挝 (1)若直线l是曲线 ( ) yf x=的切线,求证: ( ) f xkx b?对任意xR成立; (2)若 ( ) f xkx b?对任意 ) 0,x?恒成立,求实数是, k b应满足的条件 【思路引导】 (1)根据切线的方程,写出斜率和截距,构造新函数,对新函数求导,得到在 x(-,t)上单调递减, 在 x(t,+)为单调递增,即得到函数的最小值,根据函数思想得到不等式成立 (2)构造新函数,对新函数求导,判断函数的单调性,针对于 k 的不同值,函数的单调性不同,需要进行 讨论,求出函数的最小值,得到要写的条件 (2)令 ( )( ) ,0, x H xf xkx bekx b x=-=-? ( ) ,0, x Hxek x =-? 当1k 时, ( ) 0Hx ,则 ( ) H x在 ) 0,+?单调递增, 来源:ZXXK