1、第 1 讲 函数的概念与性质【考点分析】1.函数的定义域、值域、解析式是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求.所以,我们应该掌握一些简单的基本方法.2.函数的单调性、奇偶性是高考命题热点，每年都会考一道选择或者填空题，分值 5 分，一般与指数，对数结合起来命题【题型目录】题型一：函数的定义域题型二：同一函数概念题型三：函数单调性的判断题型四：分段函数的单调性题型五：函数的单调性唯一性题型六：函数奇偶性的判断题型七：已知函数奇偶性，求参数题型八：已知函数奇偶性，求函数值题型九：利用奇偶性求函数解析
2、式题型十：给出函数性质，写函数解析式题型十一： f (x)= 奇函数+常数模型（ f (- x)+ f (x)= 2 常数 ）题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题， f (x)max + f (x)min = 2 f (中)，中指定义域的中间值）题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题题型十四：值域包含性问题题型十五：函数性质综合运用多选题【典型例题】题型一：函数的定义域【例 1】（2021奉新县第一中学高一月考）函数 f (x) =ln (x -1)的定义域为（）4 - xA(BC(D) 1, 2 1, 4 1, 42, 41【例 2】函数 f (x ) =的定义域为log2
3、( x -3)【例 3】(2020集宁期中)已知函数 f (2x - 3) 的定义域是-1，4 ，则函数 f (1 - 2x) 的定义域（）A-2 ，1B 1，2C -2 ，3D-1，3【例 4】若函数 y = log 2 (ax 2+ 2x +1)的定义域为 R ，则 a 的范围为_。52021f (x) = lg(ax- 2x + a)R，则实数 a 的取值范围【例】（全国高三专题练习（理）若函数2的值域为为（）A (-1, 0)B (0,1)C0,1D (1, +)【题型专练】1.（2019江苏如皋）函数 f (x)=1的定义域为（）.log 1 (x -1)2A (-, 2)B (2,
4、 +)C (1, 2)D (1, 22.（2021江苏）已知函数 y = f (2x ) 的定义域是-1,1，则函数 f (log3 x) 的定义域是-1,11,3 1,3ABCD 3,933.（2018重庆一中高二期末（理）已知函数 f (x ) 的定义域为 (0, + )，则函数 y =f (x +1)的定义-x2 - 3x + 4域是（） 1,1)1,1A()BCD(-1,1-1,1 -()-4.（2019全国）若函数 f (2x -1)的定义域为 0, 2，且函数 f-x2+ 4x -1 的定义域为 0, m，则实数 m的取值范围是_5.若函数 f (x) = mx 2 + mx +1
5、 的定义域为 R ，则实数 m 的取值范围是（ ）(A) 0 m 4(B)0 m 4(C)m 4(D)0 0 ”的是 x1 - x2A. f (x)=2B. f (x)= -3x +1C. f (x)= x2 + 4x + 3D. f (x)= x +1xx【例 2】已知函数 f (x) = x2 + 2 (a -1) x + 2 在区间 (- ,4上是减函数，则实数 a 的取值范围是A a -3B a -3C a 5D a 3【例 3】（2021新疆高一期末）函数 f (x ) = log 1 (x 2 - 4 )的单调递增区间为（）2A (0, +)B (-, 0)C (2, +)D (-
6、, -2)【例 4】已知函数 f (x)= loga (x2- ax + 2)在 (2，+ )上为增函数，则实数 a 的取值范围为_【题型专练】1.（2022全国高三专题练习（文）函数 f (x )=ln (x2 - 2x - 8) 的单调递增区间是（）A (-，- 2)B (-，-1)C (1，+ )D (4，+ )2.（2021贵州凯里一中）已知函数 f ( x) = lg( x2 - 3mx + 4) ，x1 , x2 (-,1) ，且 x1 x2 时，关于 x1 ， x2 的不等式 f( x1 ) - f ( x2 )( x1 - x2 ) 1x值范围为（）A -40)B-4-2C (
7、-, -2D (-, 0，(2a -1) x,( x 1)【例 2】（2021广东深圳市第二高级中学）已知函数 f (x) = 1,(0 0 ，x2 0 ，且 x1 x2logax -3f (x1 ) - f ( x2 )时，1 满足对任意 x x，都有f (x1 ) - f ( x2 ) 0 成立，那1. 2021a x , x 112x - x12么实数 a 的取值范围是（）223 33A ,1B,C ,1D ,13344 4a（重庆巴蜀）若函数 f (x) =(2 - a)x -, (x 1) 在 (-, +)上单调递增，则实数的取值范围是（）2.2aloga x, (x 1)4, 24
8、 A（1，2）BC 1,D（0，1）33 题型五：函数的单调性唯一性【例 1】已知定义在 R 上的函数 f (x) 单调递增，且对任意 x (0,+)，恒有 f ( f (x) - log2 x) =1，则 f (2)的值为_【例 2】（2019 年重庆巴蜀）若 f (x)是定义域为 (0, +)上的单调递减函数，且对任意实数 x (0, +)都有 f f (x ) - e1x = 1e +1( 无理数 e = 2.71828) ，则 f (ln2) = ( A3B3C e +1D122【题型专练】1.（2019 年重庆南开）已知定义在 R 上函数 f (x ) 为单调函数,且对任意的实数 x
9、,都有21f f (x)+=,则 f(log2 3) = ()2x+13A.0B.1C.2D. 123题型六：函数奇偶性的判断【例 1】（2014新课标全国卷）设函数 f(x)，g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数 B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数【例 2】下列对函数的）奇偶性判断正确的是（2+ x, x 0是奇函数C.f (x) =1 - x2既不是奇函数也不是偶函数 D.f (x) = x 2-1 + 1 - x 2 既是奇函数又是偶函数x + 2-
10、2【题型专练】1.(2020全国)设函数 f (x) = x3 -1，则 f (x) （）x3A是奇函数，且在 (0 ，+ ) 单调递增B是奇函数，且在 (0 ，+ ) 单调递减C是偶函数，且在 (0 ，+ ) 单调递增D是偶函数，且在 (0 ，+ ) 单调递减2.(2020 重庆巴川中学高一月考多选)已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是A. y = f (-x)B. y = f (x) + x3C. y =f (x)D. y =x3f (x)x题型七：已知函数奇偶性，求参数【例 1】已知 f (x) = a -1为奇函数，则 a =_。2x +1【例 2
11、】设函数 f (x ) = x (e x+ ae -x )(x R )是偶函数，则实数 a 的值为_【题型专练】1.已知 f (x) =x2 +1为偶函数，则 a = _。(3x + 2)(x - a)2.（2021 新高考 1 卷）已知函数 f (x) = x3 (a 2 x - 2-x ) 是偶函数，则 a = _题型八：已知函数奇偶性，求函数值【例 1】已知 f (x)为奇函数，且当 x 0 时， f (x)= x2 + x ，则 f (-1)=【例 2】已知函数 y = f (x)+ x 是偶函数，且 f (2)=1, 则 f (- 2)=g(x)21【例3】已知函数 f ( x) 与
12、分别是定义域上的奇函数与偶函数，且f (x) + g (x) = x- 2，则x +1f (2) = （）A-2B7C-3D11333【题型专练】1.(2021武侯模拟)设函数 f (x)xx 0.A -1B -4C1D 4442. 2021f (x )对任意实数 x ，满足f (x)+f(x)=0x 0f (x)=2x -m（四川绵阳（文）已知函数-，当时，（ m 为常数），则 f (1 - log2 3) = （）A1B -1C1D -12233题型九：利用奇偶性求函数解析式【例 1】已知函数 y = f (x) 在 R 是奇函数，且当 x 0 时， f (x) = x 2- 2x ，则
13、x 0 时， f (x) 的解析式为_【例 2】已知 f (x) 为偶函数，当0 x 1时, f ( x) = 1 - x,当 -1 x 0时 ，求 f (x) 解析式？【例 3】（2022 韶关期中）若函数 f (x) ，g (x) 分别是 R 上的奇函数、偶函数，且满足 f (x) - g(x) = 2x ，则有 ()A f (2) f (3) g (0)Bg (0)f (3) f(2 )C f (2) g (0) f (3)Dg (0)f (2 ) 0 时，f (x) = x2 - x +1，则 f (-1) = _， f (x)在 x 0 上的解析式为 f (x) = _.题型十：给出
14、函数性质，写函数解析式【例 1】（2021北京）已知函数 f (x ) 同时满足下列条件： f (x ) 定义域为 (-, +)； f (x ) 是偶函数； f (x ) 在 (0, + )上是减函数，则 f (x ) 的一个解析式是_.【例 2】（2021河南温县第一高级中学（理）请写出一个同时满足以下三个条件的函数 f ( x) : （1） f (x) 是偶函数；（2） f (x) 在 (0, +) 上单调递减；（3） f (x) 的值域是 (1, +) .则 f ( x) = _.【题型专练】1.（2022 重庆巴蜀高三第一次月考）请写出一个同时满足下列三个条件的函数 f (x):（1）
15、 f (x)是偶函数；（2） f (x)在 (0,+)上单调递减；（3） f (x)的值域是 (0,+)则 f (x)= _2.请写出一个最小正周期为1的偶函数 f (x)，则 f (x)= _题型十一： f (x)= 奇函数+常数模型（ f (- x)+ f (x)= 2 常数 ）【例 1】已知 f (x) = x5+ ax3 + bx - 8且 f (-2) = 10 ，求 f (2) 的值_【例 2】已知函数 f (x )= ax2019 +b+ c 3+ 2 (a, b, c R ) ，且 f(2) = 3 ，则 f (-2) =x_x【例 3】（2019山西高三月考（理）函数 f (
16、x) = ln( x 2 +1 - x) + 2 ，则 f (log23= （3) + f log 1）2A0B 2 log2 3C4D1【题型专练】1.已知函数 f ( x) = x + ln 11 +- xx + 12 ，则 f (lg 5) + f (lg 2 -1) = _；2.已知函数 f (x) = ln(- x) +x +1，则 f ln1 + f10lg x1+ x2=（）xx( )eA. -1B. 0C. 1D. 23.已知函数 f (x) =ax -1+ ln2019 + x-1，若定义在 R 上的奇函数 g (x) ，有 g (1) = f (log225) + f (l
17、og1) ，2019 - x25则 g (-1) = ()ax +1A2B0C -1D -24.已知函数 f (x) =2+1满足条件 f (log(+1) = 1 ，其中 a 1，21+ 2x1+ 4xa则 f (log a (-1) = （2）A1B 2C 3D 4题型十二：中值定理（求函数最大值最小值和问题， f (x)max + f (x)min = 2 f (中)，中指定义域的中间值）【例 1】已知 f (x) = 5x5 - 3x3 - x +1 (x - 12 , 12 ) 的最大值 M ,最小值为 m ,求 M + m 的值【例 2】（2015 全国卷 2 理科）设函数 f (
18、x)= (x +1)2 + sin x 的最大值为 M，最小值为 m，则 M+m=_x2 +1【题型专练】1.（2019 年重庆二外高一上期末）若关于 x 的函数 f (x ) =tx2+ 2x + t 2 + x2 sin x(t 0) 的最大值为 M ，x2 + t最小值为 N ，且 M + N = 4 ，则实数 t 的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4题型十三：.单调性和奇偶性综合求不等式范围问题【例 1】（2021 年重庆 18 中高一月考）已知定义在 R 上的奇函数 f (x)，且为减函数，又知f (1 - a ) + f (1 - a2 ) 0 ，则 a 的取值范围为A.(-2,1)B.(0, 2)C.(0,1)D.(-, -
