人教版九年级数学上册教案：21.2.1 直接开平方法.pdf

1、1 21.2.121.2.1 直接开平方法直接开平方法 教学内容教学内容 运用直接开平方法，即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次” ，转化为两个一 元一次方程 教学目标教学目标 理解一元二次方程“降次”转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题 提出问题，列出缺一次项的一元二次方程 ax2+c=0，根据平方根的意义解出这个方程， 然后知识迁移到解 a（ex+f）2+c=0 型的一元二次方程 重难点关键重难点关键 1重点：运用开平方法解形如（x+m）2=n（n0）的方程；领会降次转化的数学 思想 2难点与关键：通过根据平方根的意义解形如 x2=n，知识迁移到根据平方根的意义解 形如（x+m

2、）2=n（n0）的方程 教学过程教学过程 一、复习引入一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题 问题 1填空 （1） x2-8x+_=（x-_） 2； （2） 9x2+12x+_=（3x+_）2； （3） x2+px+_= （x+_）2 问题 2如图，在ABC 中，B=90，点 P 从点 B 开始，沿 AB 边向点 B 以 1cm/s的 速度移动，点 Q 从点 B 开始，沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动，如果 AB=6cm， BC=12cm，P、Q 都从 B 点同时出发，几秒后PBQ 的面积等于 8cm2？ B C A Q P 老师点评： 问题 1：根据完全平方公式可得：（

3、1）16 4；（2）4 2；（3） （ 2 p ）2 2 p 问题 2：设 x 秒后PBQ 的面积等于 8cm2 则 PB=x，BQ=2x 依题意，得： 1 2 x2x=8 x2=8 根据平方根的意义，得 x=22 即 x1=22，x2=-22 2 可以验证，22和-22都是方程 1 2 x2x=8 的两根，但是移动时间不能是负值 所以 22秒后PBQ 的面积等于 8cm2 二、探索新知二、探索新知 上面我们已经讲了x2=8， 根据平方根的意义， 直接开平方得x=22， 如果x换元为2t+1， 即（2t+1）2=8，能否也用直接开平方的方法求解呢？ （学生分组讨论） 老师点评：回答是肯定的，把

4、 2t+1 变为上面的 x，那么 2t+1=22 即 2t+1=22，2t+1=-22 方程的两根为 t1=2- 1 2 ，t2=-2- 1 2 例例 1：解方程：x2+4x+4=1 分析：很清楚，x2+4x+4 是一个完全平方公式，那么原方程就转化为（x+2）2=1 解：由已知，得：（x+2）2=1 直接开平方，得：x+2=1 即 x+2=1，x+2=-1 所以，方程的两根 x1=-1，x2=-3 例例 2市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m2提高到 14.4m，求每年人均住 房面积增长率 分析：设每年人均住房面积增长率为 x一年后人均住房面积就应该是 10+10 x=10 （

5、1+x） ；二年后人均住房面积就应该是 10（1+x）+10（1+x）x=10（1+x）2 解：设每年人均住房面积增长率为 x， 则：10（1+x）2=14.4 （1+x）2=1.44 直接开平方，得 1+x=1.2 即 1+x=1.2，1+x=-1.2 所以，方程的两根是 x1=0.2=20%，x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的，因此，x2=-2.2 应舍去 所以，每年人均住房面积增长率应为 20% （学生小结）老师引导提问：解一元二次方程，它们的共同特点是什么？ 共同特点 ： 把一个一元二次方程“降次” ，转化为两个一元一次方程我们把这种思想 称为“降次转化思想” 三、巩

6、固练习三、巩固练习 教材练习 四、应用拓展四、应用拓展 例例 3某公司一月份营业额为 1 万元，第一季度总营业额为 3.31 万元，求该公司二、三 月份营业额平均增长率是多少？ 分析 ： 设该公司二、 三月份营业额平均增长率为 x， 那么二月份的营业额就应该是 （1+x） ， 三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的，应是（1+x）2 解：设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x 3 那么 1+（1+x）+（1+x）2=3.31 把（1+x）当成一个数，配方得： （1+x+ 1 2 ）2=2.56，即（x+ 3 2 ）2=256 x+ 3 2 =1.6，即 x+ 3 2 =1.6，x+ 3 2

7、 =-1.6 方程的根为 x1=10%，x2=-3.1 因为增长率为正数， 所以该公司二、三月份营业额平均增长率为 10% 五、归纳小结五、归纳小结 本节课应掌握： 由应用直接开平方法解形如 x2=p（p0） ， 那么 x=p转化为应用直接开平方法解形 如（mx+n）2=p（p0） ，那么 mx+n=p，达到降次转化之目的 六、布置作业六、布置作业 1教材复习巩固 1、2 2选用作业设计: 一、选择题一、选择题 1若 x2-4x+p=（x+q）2，那么 p、q 的值分别是（ ） Ap=4，q=2 Bp=4，q=-2 Cp=-4，q=2 Dp=-4，q=-2 2方程 3x2+9=0 的根为（ ）

8、 A3 B-3 C3 D无实数根 3用配方法解方程 x2- 2 3 x+1=0 正确的解法是（ ） A （x- 1 3 ）2= 8 9 ，x= 1 3 2 2 3 B （x- 1 3 ）2=- 8 9 ，原方程无解 C （x- 2 3 ）2= 5 9 ，x1= 2 3 + 5 3 ，x2= 25 3 D （x- 2 3 ）2=1，x1= 5 3 ，x2=- 1 3 二、填空题二、填空题 1若 8x2-16=0，则 x 的值是_ 2如果方程 2（x-3）2=72，那么，这个一元二次方程的两根是_ 3如果 a、b 为实数，满足34a+b2-12b+36=0，那么 ab 的值是_ 三、综合提高题三、

9、综合提高题 1解关于 x 的方程（x+m）2=n 4 2某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长 25m） ，另三边用木栏围 成，木栏长 40m （1）鸡场的面积能达到 180m2吗？能达到 200m 吗？ （2）鸡场的面积能达到 210m2吗？ 3在一次手工制作中，某同学准备了一根长 4 米的铁丝，由于需要，现在要制成一个 矩形方框， 并且要使面积尽可能大， 你能帮助这名同学制成方框， 并说明你制作的理由吗？ 答案答案: 一、1B 2D 3B 二、12 29 或-3 3-8 三、1当 n0 时，x+m=n，x1=n-m，x2=-n-m当 n0 时，无解 2 （1）都能达到设宽为 x，则长为 40-2x， 依题意，得：x（40-2x）=180 整理，得：x2-20 x+90=0，x1=10+10，x2=10-10； 同理 x（40-2x）=200，x1=x2=10，长为 40-20=20 （2）不能达到同理 x（40-2x）=210，x2-20 x+105=0， b2-4ac=400-410=-100，无解，即不能达到 3因要制矩形方框，面积尽可能大， 所以，应是正方形，即每边长为 1 米的正方形