1、1 21.2.121.2.1 直接开平方法直接开平方法 教学内容教学内容 运用直接开平方法,即根据平方根的意义把一个一元二次方程“降次” ,转化为两个一 元一次方程 教学目标教学目标 理解一元二次方程“降次”转化的数学思想,并能应用它解决一些具体问题 提出问题,列出缺一次项的一元二次方程 ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程, 然后知识迁移到解 a(ex+f)2+c=0 型的一元二次方程 重难点关键重难点关键 1重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n0)的方程;领会降次转化的数学 思想 2难点与关键:通过根据平方根的意义解形如 x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解 形如(x+m
2、)2=n(n0)的方程 教学过程教学过程 一、复习引入一、复习引入 学生活动:请同学们完成下列各题 问题 1填空 (1) x2-8x+_=(x-_) 2; (2) 9x2+12x+_=(3x+_)2; (3) x2+px+_= (x+_)2 问题 2如图,在ABC 中,B=90,点 P 从点 B 开始,沿 AB 边向点 B 以 1cm/s的 速度移动,点 Q 从点 B 开始,沿 BC 边向点 C 以 2cm/s 的速度移动,如果 AB=6cm, BC=12cm,P、Q 都从 B 点同时出发,几秒后PBQ 的面积等于 8cm2? B C A Q P 老师点评: 问题 1:根据完全平方公式可得:(
3、1)16 4;(2)4 2;(3) ( 2 p )2 2 p 问题 2:设 x 秒后PBQ 的面积等于 8cm2 则 PB=x,BQ=2x 依题意,得: 1 2 x2x=8 x2=8 根据平方根的意义,得 x=22 即 x1=22,x2=-22 2 可以验证,22和-22都是方程 1 2 x2x=8 的两根,但是移动时间不能是负值 所以 22秒后PBQ 的面积等于 8cm2 二、探索新知二、探索新知 上面我们已经讲了x2=8, 根据平方根的意义, 直接开平方得x=22, 如果x换元为2t+1, 即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢? (学生分组讨论) 老师点评:回答是肯定的,把
4、 2t+1 变为上面的 x,那么 2t+1=22 即 2t+1=22,2t+1=-22 方程的两根为 t1=2- 1 2 ,t2=-2- 1 2 例例 1:解方程:x2+4x+4=1 分析:很清楚,x2+4x+4 是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1 解:由已知,得:(x+2)2=1 直接开平方,得:x+2=1 即 x+2=1,x+2=-1 所以,方程的两根 x1=-1,x2=-3 例例 2市政府计划 2 年内将人均住房面积由现在的 10m2提高到 14.4m,求每年人均住 房面积增长率 分析:设每年人均住房面积增长率为 x一年后人均住房面积就应该是 10+10 x=10 (
5、1+x) ;二年后人均住房面积就应该是 10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2 解:设每年人均住房面积增长率为 x, 则:10(1+x)2=14.4 (1+x)2=1.44 直接开平方,得 1+x=1.2 即 1+x=1.2,1+x=-1.2 所以,方程的两根是 x1=0.2=20%,x2=-2.2 因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2 应舍去 所以,每年人均住房面积增长率应为 20% (学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么? 共同特点 : 把一个一元二次方程“降次” ,转化为两个一元一次方程我们把这种思想 称为“降次转化思想” 三、巩
6、固练习三、巩固练习 教材练习 四、应用拓展四、应用拓展 例例 3某公司一月份营业额为 1 万元,第一季度总营业额为 3.31 万元,求该公司二、三 月份营业额平均增长率是多少? 分析 : 设该公司二、 三月份营业额平均增长率为 x, 那么二月份的营业额就应该是 (1+x) , 三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的,应是(1+x)2 解:设该公司二、三月份营业额平均增长率为 x 3 那么 1+(1+x)+(1+x)2=3.31 把(1+x)当成一个数,配方得: (1+x+ 1 2 )2=2.56,即(x+ 3 2 )2=256 x+ 3 2 =1.6,即 x+ 3 2 =1.6,x+ 3 2
7、 =-1.6 方程的根为 x1=10%,x2=-3.1 因为增长率为正数, 所以该公司二、三月份营业额平均增长率为 10% 五、归纳小结五、归纳小结 本节课应掌握: 由应用直接开平方法解形如 x2=p(p0) , 那么 x=p转化为应用直接开平方法解形 如(mx+n)2=p(p0) ,那么 mx+n=p,达到降次转化之目的 六、布置作业六、布置作业 1教材复习巩固 1、2 2选用作业设计: 一、选择题一、选择题 1若 x2-4x+p=(x+q)2,那么 p、q 的值分别是( ) Ap=4,q=2 Bp=4,q=-2 Cp=-4,q=2 Dp=-4,q=-2 2方程 3x2+9=0 的根为( )
8、 A3 B-3 C3 D无实数根 3用配方法解方程 x2- 2 3 x+1=0 正确的解法是( ) A (x- 1 3 )2= 8 9 ,x= 1 3 2 2 3 B (x- 1 3 )2=- 8 9 ,原方程无解 C (x- 2 3 )2= 5 9 ,x1= 2 3 + 5 3 ,x2= 25 3 D (x- 2 3 )2=1,x1= 5 3 ,x2=- 1 3 二、填空题二、填空题 1若 8x2-16=0,则 x 的值是_ 2如果方程 2(x-3)2=72,那么,这个一元二次方程的两根是_ 3如果 a、b 为实数,满足34a+b2-12b+36=0,那么 ab 的值是_ 三、综合提高题三、
9、综合提高题 1解关于 x 的方程(x+m)2=n 4 2某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长 25m) ,另三边用木栏围 成,木栏长 40m (1)鸡场的面积能达到 180m2吗?能达到 200m 吗? (2)鸡场的面积能达到 210m2吗? 3在一次手工制作中,某同学准备了一根长 4 米的铁丝,由于需要,现在要制成一个 矩形方框, 并且要使面积尽可能大, 你能帮助这名同学制成方框, 并说明你制作的理由吗? 答案答案: 一、1B 2D 3B 二、12 29 或-3 3-8 三、1当 n0 时,x+m=n,x1=n-m,x2=-n-m当 n0 时,无解 2 (1)都能达到设宽为 x,则长为 40-2x, 依题意,得:x(40-2x)=180 整理,得:x2-20 x+90=0,x1=10+10,x2=10-10; 同理 x(40-2x)=200,x1=x2=10,长为 40-20=20 (2)不能达到同理 x(40-2x)=210,x2-20 x+105=0, b2-4ac=400-410=-100,无解,即不能达到 3因要制矩形方框,面积尽可能大, 所以,应是正方形,即每边长为 1 米的正方形