高等结构动力学课件.ppt

1、振动引起的结构破坏Tacoma桥1.1 基本概念1、结构动力学固体力学静力学动力学刚体变形体结构力学材料力学弹性力学理论力学刚体变形体刚体动力学结构动力学弹性动力学2、动力自由度自由度静力自由度动力自由度刚体变形体约束质量例1：分布质量简支梁无限自由度一阶振型二阶振型三阶振型四阶振型五阶振型例2：集中质量简支梁有限自由度1、单自由度系统2、二自由度系统一阶振型一阶振型 二阶振型3、三自由度二阶振型三阶振型一阶振型3、结构动力学的两类问题（1） 正问题荷载结构响应（2） 反问题（动力学反演）响应结构荷载已知已知+荷载结构已知已知+已知或未知+1.2 研究对象1、结构弹性恢复力 fk(x)2、外力

2、时变特性 fp(t)1.3 研究内容1、结构动力特性固有频率、振型、阻尼2、结构响应位移、速度、加速度1.4 研究方法1、时域法解析法、逐步积分法 线性、非线性问题2、频域法谱分析法 线性问题 3、概率法统计方法 线性、非线性问题图图2.2 电视塔电视塔图图2.1 水塔水塔图图2.3 导管架平台导管架平台图图2.4 单层厂房单层厂房2.1 无阻尼系统模型图图2.1 典型的单自由度无阻尼系统动力学模型典型的单自由度无阻尼系统动力学模型 m kx m kx m kx m mg2.1.1 系统力学模型弹簧质量系统1、系统组成惯性元件（质量m）运动物体弹性元件（刚度k）提供恢复力2、系统特点惯性元件为

3、质点弹性元件为无质量弹簧不计次要自由度2.1.2 系统数学模型二阶常系数线性微分方程 m kxf(t)mx ( )f tkx( )mxkxf tmg m kxf(t)mx ( )f t0()k xmg0mgk( )mxkxf t2.1.3 系统动力特性0mxkx设：齐次方程sinxAt代入得：2() sin0mk Atsin0At2()0mk 解得： (rad/s)km系统固有频率 (Hz)2f20 xx12 (s)Tf系统固有周期2.1.4 固有频率计算1、直接法0mxkxml(1)简支梁固有频率计算1k 348lEI 348EIkl348EImlkm33lEI (2)悬臂梁固有频率计算33

4、EIkl弯曲变形33EIml312lEI 剪切变形312EIkl332EIml(3)摆 m mglJsinmglsin0Jmgl0Jmgl0mglJ0glgl小变形时sin则：Jsinmglsinka()sin0Jkamgl20kamglml2kamglml mg a mk1k2m(5)组合问题弹簧串联1211kk 12111kkk(4)倒摆1212k kkk13133EIkl kEI1313(3)EIkm l kEIml弹簧并联12kkk332( /2)EIkl12k348EIl334EIml2、能量法（瑞雷法）TVC2max,max12iiiTm x2max,max12iiiVk xmax

5、maxTVk1k2l2l1lm2m122,max,maxiiiiiim xk x222,maxmax2maxiiim xJm x22222,max1 1max2 2maxiiik xk lk l22221max2max13mlm l22212max13mlm l2221 12 2maxk lk l即：22222212max1 12 2max13mlm lk lk l设：0sin()tmax00cos()tmax0代入得：22222221201 12 2013mlm lk lk l 221 12 2221213eekk lk lmmlm l等效刚度等效质量2.2 有阻尼系统模型2.2.1 系统力

6、学模型mkc图图2.6 典型的单自由度有阻尼系统动力学模型典型的单自由度有阻尼系统动力学模型 m kxcx2.2.2 系统数学模型mx ( )f tkx( )mxcxkxf tf(t)mkcxcx 2.2.3 系统动力特性0mxcxkx设：ptxAe20mpcpk24cmk 21,242ccmkpm 代入得：0 1、过阻尼系统1212p tp txAeA e240cmk2、临界阻尼系统0 c22cmkm临界阻尼系数212()cmtxeAA t3、小阻尼系统0 21,242ccmkpm 2224ckcimmm 21i Di 其中：2ccccm阻尼比21D有阻尼频率代入得：12()DDitittx

7、eAeA e12(sincos)tDDeBtBtsin()tDCet222211DDTT有阻尼周期系统方程的标准形式220 xxx0 xx2.3 自由振动问题1、运动方程初速度初位移0 xx2、初始条件t=020 xx2.3.1 无阻尼系统自由振动3、解的形式sinxAtcosxBtsincosxAtBt222222(sincos)ABxABttABAB22(cossinsin cos)ABttsin()Ct4、振幅C和初相位0sinxC0cosxC22002xCx振幅00arctanxx初相位22002sin()xxxt无阻尼自由振动位移函数txx00 3-3 032T22002xx图图2.

8、7 无阻尼系统自由振动位移曲线无阻尼系统自由振动位移曲线00.511.522.533.5-8-6-4-202468tx 图图2.8 无阻尼系统自由振动速度曲线无阻尼系统自由振动速度曲线图图2.9 无阻尼系统自由振动加速度曲线无阻尼系统自由振动加速度曲线0 3-3 03tx 2.3.2 有阻尼系统自由振动0 xx1、运动方程初速度初位移0 xx2、初始条件t=0220 xxxsin()tDDxCet3、解的形式0sinDxC4、振幅C和初相位D0sincosDDDxCC 22000DxxCx振幅000arctanDDxxx初相位22000sin()tDDDxxxxet有阻尼自由振动位移函数00.

9、511.522.533.5-0.015-0.01-0.00500.0050.010.01522000tDxxxxetx2DDT图图2.10 有阻尼系统自由振动位移曲线有阻尼系统自由振动位移曲线5、阻尼比itiACe()1iDtTiACe1DTiiAeA212ln1iDiATA对数衰减率221(4)222ln1ii kAkkA1ln2ii kAkA2.4 简谐荷载的强迫振动2.4.1 无阻尼系统0sinmxkxFt1、运动方程设：sinxAt20()mk AF2、解的形式xxx解得：02()FAmk0st222(1)(1)F kxAst0 xF k 系统静位移频率比其中：d211动力放大系数定义

10、：图图2.11 幅频特性幅频特性曲线曲线st2sin1xxtst2sincossin1xxAtBtt0 xBst021xxA0st21xxA则：代入边界条件得：220st022sin()(sinsin)1xxxxttt2.4.2 有阻尼系统0sinmxcxkxFt1、运动方程2、解的形式xxxsincosxAtBt设：202()sinsin()cos0AmBcAktFtBmAcBkt22022220ABAF mBAB202(1)2(1)20ABF kBA200222222(1)2, (1)(2)(1)(2)F kF kAB 200222222(1)2sincos(1)(2)(1)(2)F kF

11、 kxtt0222sin()(1)(2)F kxt22arctan1其中：( sincos)sin()tDDxeAtBtCt0222222(1)(2)(1)(2)stF kxC其中：0sinxBC0cosDxBAC 0sinBxC001sincosDAxxCC代入边界条件得：解得：代入解函数得：000( )cossinsincos sincossinsin()tDDDtDDDxxx texttCCettCtst222( )sin()(1)(2)xx ttd2221(1)(2)动力放大系数3、幅频特性dd0d由：d,max212112得：d,max122221122(1)(2)l阻尼比计算共振点

12、阻尼比计算带宽法（半功率）阻尼比计算2212221221+22 222=12211211+ 211()24、相频特性22tan122arctan1图图2.12 相频特性曲线相频特性曲线002222222/(1)(2)(2)(1) 1(1)FkFkC例例：利用激振器测量单层厂房的动力特性，采用简谐扰力激振， 两次测量的结果为：00222/cos(1)(1) 1tanFkFkC16101126202216rad/s, 500N, 0.72 10 , 1525rad/s, 500N, 1.45 10 , 55FCFC解：解：20cosFkkC202cosFkkC20cosFkmC求系统的等效质量、等

13、效刚度、固有频率、粘滞阻尼系数和阻尼比。66500cos152560.72 10500cos556251.45 10kmkm961.01 10 N/m=1.29 10 kgkm=27.9 rad/skm22arctan122tan121cossin202/cos(1)FkC代入得：0sin2FCk则：9500 sin1527.90.15620.72 1.01 10160sin2FC kccc2cccm71.12 10 N s/m阻尼系数由：得：()gk xx5、基础运动问题mkcx0singxxtmx ()gc xx()()0ggmxc xxk xxggmxcxkxcxkx00cossinmx

14、cxkxcxtkxt(1) 质量块的绝对运动220022cossinxxxxtxt 222021+(2) sin()xxxxtarctan2设：sin()cos()xAtBt2222022(2)sin()1+(2) sin()(2)cos()0ABAtxtBABt2202(1)21+(2)(1)20ABxBA22200222222(1) 1+(2)21+(2), (1)(2)(1)(2)xxAB 2202(2)1+(2)(2)0ABAxBAB代入得：2202221+(2)(1)sin()2cos()(1)(2)xxtt202221+(2)sin()(1)(2)xxt22arctan1 20st

15、d2221(2)(1)(2)xCx222201(2)(1)(2)rCTxTr(2) 质量块的相对运动()()0ggmxc xxk xx()()()ggggm xxc xxk xxmx 设：guxx20sinmucukumxt2202sinuuuxt设：sincosuAtBt222022(2)sinsin(2)cos0ABAtxtBABt2202(2)(2)0ABAxBAB代入得：或：代入得：2202(1)2(1)20ABxBA22300222222(1)2, (1)(2)(1)(2)xxAB 220222(1)sin(1)(2)xu22220(1)(2)rCTx传递系数由此可得：20222si

16、n( t)(1)(2)xu例例：汽车沿图2-12所示路面行驶。速度v=20m/s，路面凹凸幅 值为3cm。假设路面不平度按照正弦规律变化，并且路面 正弦变化的波长l=12m，汽车质量为2000kg，汽车的弹簧 刚度为39200N/m，阻尼比为0.4。计算汽车在此路面上 行驶时，底盘垂向振动幅值。219.5rad/skm0.6slTv210.5 rad/sT2.48解：22221 (2)0.4(1)(2)rT03 0.4=1.2cmrCxT 2.5 周期荷载的强迫振动2.5.1 任意周期荷载的傅里叶级数表达式01122( )cossin2nnnnannF tatbtTTT( )F tTTt002

17、( )dTaF ttT022( )cosdTnnaF tt tTT022( )sindTnnbF tt tTT(n=1,2,)(n=1,2,)2.5.2 无阻尼系统响应设：02T02nnT则：02/( )cos(1)nncnakxtnt02/( )sin(1)nnsnbkxtnt其中：0nn而：002axk0002111( )(cossin)21nnnnax tantbntk2.5.3 有阻尼系统响应0222( )sin()(1)(2)nnsnnnbkxtnt其中：22arctan1nnn设：00sincosncxAntBnt22000()sin0AmnBcnAknt220000()cosco

18、snBmnAcnBkntant2220022200202nAnBnABnAnBam 22(1)20(1)2nnnnnABBAak2222(1)(2)nnnnakA200222( )(1)cos2sin(1)(2)nncnnnnakxtntnt2222(1)(1)(2)nnnnakB0222cos()(1)(2)nnnnaknt002221011( )cos()2(1)(2) sin()nnnnnnnax tantkkbnt例例：设单自由度系统受锯齿波荷载（如图）作用，系统的固有 周期与荷载的周期比为2:1，阻尼比为0.05，分别计算无阻 尼和有阻尼时的稳态振动响应。解：解：2PTT0202nn

19、n图示荷载函数可表示为：0( )PPP ttT00002cosd0PTnPPPPatnt tTTn=0n=1,2,00002sindPTnPPPPbtnt tTTn n=1,2,001111( )sin2nP tPntn无阻尼响应0021111( )sin2(14)nPx tntknn002221111( )sin()2(14)(0.2 )nnPx tntknnn有阻尼响应2.6 任意荷载的强迫振动2.6.1 系统对冲击荷载的响应1、强迫振动阶段(0tt1)02/( )(sinsin)1Pkx ttt2、自由振动阶段(t1t)0101( )( )xx txx t22111222112( )(

20、)( )sin()( ) ( )sin()x tx tx tttx tx tt02d ( )(coscos)0d(1)Px ttttkl荷载频率低于结构固有频率（1）02( )22cossin()(1)Px ttk012( )1cos(1)Px tk 022cossin()(1)2Ptk2.6.2 系统对任意荷载的响应F(t)td( )d( )Fxm( )dd ( )sin()Fx ttm1、无阻尼系统22002( )sin()xx txt由动量定理得：由得：001( )d ( )( )sin()dttx tx tFtm例例：单自由度系统受三角形冲击荷载F(t)=F0(1-t/t1)作用， t

21、1为荷载持续时间。求最大位移和放大系数。 解解：当t t 1时，由杜哈梅积分得：0011( )(1)sin()dtx tFtmt(tt1)0111( )1cossinFtx tttktt011d ( )11sincos0dFx ttttktt(tt1)m12arctantt杜哈梅积分0mmaxmmm1120mmmm111()1cossin2 2sinsincos222Ftxx tttkttFttttktt0max11211arctanFxtktmaxd1st112 1arctanxtxt当t t1时0011111( )sincosFxx tttkt001111111( )sincosFxx t

22、ttktt011211221(1cos)sin()FCttkttd11211221(1cos)sin()tttt2、有阻尼系统()( )d ( )esin()tDDFdx ttm()01( )( )esin()dttDDx tFtm2.6.3 杜哈梅积分的数值解法1、无阻尼系统01( )( )sin()dtx tFtm001( )sin( )cosdcos( )sindttx ttFtFm ( )( )sin( )cosx tA ttB tt其中：001( )( )cosd1( )( )sindttA tFmB tFm 2、有阻尼系统()01( )( )esin()dttDDx tFtm( )

23、e( ( )sin( )cos)tDDx tA ttB tt001( )( )ecosd1( )( )esindtDDtDDA tFmB tFm 2.6.4 逐步积分法1、增量方程iiiimxcxkxf1111iiiimxcxkxf1( )()iiiixx txx tiiiim xc xk xf 系统增量方程1111iiiiiiiiiiiixxxxxxxxxfff其中：1( )()iiiiff tff t两式相减得：其中：( )()iiixx txtt2、Wilson-法将加速度在ti点展开式中：t 积分上式2( )()()2iiiiixx txx tttt22( )()()()26iiiii

24、iixxx txx tttttt12iiixxx221126iiiixxxx令：itt2663iiiixxxx332iiiixxxx2636332iiiiiimckxmxxcxxf 上式可写成：iiK xF 263Kmck式中：6332iiiiiiFmxxcxxf , 1.37iixx2663iiiixxxxtt332iiiitxxxxt1()iiiixfc xk xm 111iiiiiiiiixxxxxxxxx 或则：3、Newmark法iiixxxt 2212iiiixxtxtxt 11, 26线性加速度法11, 24平均加速度法20.5, 0.25(0.5)无条件稳定本章小结1、系统数学

25、模型( )mxkxf t(1)无阻尼系统2( )xxf tm或( )mxcxkxf t rad/skm其中：(2)有阻尼系统22( )xxxf tm或2、系统动力特性(1)系统特征方程0mxkx设：sinxAt代入得：2sin0mk Atsin0t20mk特征方程2k m特征值(2)系统特征值由系统特征方程解得m质量，系统惯性性质k刚度，系统恢复力性质c阻尼，系统耗能性质(1)物理参数固有频率3、系统动力学参数(2)模态参数或122kfm12 sTf固有周期22ccmkmc阻尼比21 rad/sD有阻尼频率4、系统动力响应(1)自由振动初始扰动无阻尼系统( )sin()x tAt其中：2200

26、2xAx00arctanxx初相位振幅有阻尼系统000arctanDDxxx初相位( )sin()tDDx tCet200202DxxCx振幅其中：22ln21iDi kAkkTkA对数衰减率(2)简谐荷载强迫振动无阻尼系统0( )sinF tFt02( )sin1F kx tt式中：有阻尼系统式中：0222( )sin()(1)(2)F kx tt22arctan1相位差基础运动隔振问题0singxxt220022cossinxxxxtxt0( )sin()rx tx Tt基础位移其中：22221(2)(1)(2)rT传递系数22arctan2arctan1 相位差相对基础运动惯性传感器0s

27、ingxxt2202sinuuuxt基础位移0( )sin()rx tx Tt其中：2222(1)(2)rT传递系数22arctan1相位差(3)周期荷载强迫振动0122( )cossin2nnnannF tatbtTT其中：002( )dTaF ttT022( )cosdTnnaF tt tTT022( )sindTnnbF tt tTT(n=1,2,)(n=1,2,)无阻尼系统0002111( )(cossin)21nnnnax tantbntk有阻尼系统002221011( )cos()2(1)(2) sin()nnnnnnnax tantkkbnt(4)任意荷载强迫振动冲击荷载1( )

28、sin() ()stdx txttt强迫振动1( )sin() ()tDDx tCettt自由振动22111( )( )( )Dx tx tCxt其中：振幅111( )arctan( )( )DDx tx tx t相位角脉冲荷载0( )( )f tFt0( )sintDDFtx tetm自由振动任意荷载()01( )( )sin()dttDDx tFetm杜哈梅积分逐步积分法iiiim xc xk xf 2663iiiixxxxiiK xF 332iiiixxxx111iiiiiiiiixxxxxxxxx 3.1 系统模型3.1.1 力学模型k1k2k3m1m2m3m1m2m3k2c2k3c3

29、k1c1x1x2x3f1(t)f2(t)f3(t)3.1.2 数学模型1 11( )m xf t1 1k x212()kxx1 1c x212()c xx1 11 12121 12121()()( )m xc xc xxk xkxxf t1 112122121221()()( )m xcc xc xkkxk xf t222( )m xft221()kxx323()kxx221()cxx323()c xx222213232213232()()()()( )m xcxxc xxkxxkxxf t22212323321232332()()( )m xc xcc xc xk xkkxk xf t333

30、323323()()( )m xc xxk xxf t33323332333( )m xc xc xk xk xf t1 112122121221()()( )m xccxc xkkxk xf t22212323321232332()()( )m xc xcc xc xk xkk xk xf t33323332333( )m xc xc xk xk xf t( ) tMCKxxxf12222333300cccccccccC123000000mmmM12222333300kkkkkkkkkK其中：123xxxx123xxxx123xxxx123( )( )( )f tf tf tf3.2 特征值

31、问题MK0 xx3.2.1 系统特征方程设：123sintx2()MK0 有非零解的条件： 20MK212122223232333000kkmkkkkmkkkm或特征方程1、特征方程的根：2 1,2,3ii3.2.2 系统特征对,1,2,3= 1 2 3iiiii, , 2、特征向量（振型）：3、系统特征对：2,i,1,2,3= 1 2 3iiiii, , 0i3.2.3 特征对的性质1、特征根的性质12n2、特征向量的性质TTTT0, 0, , , ijijijiijiijMKijMKMK证明：2TTijijiMK2TTjijijMK2TTjjijiMK22T()0ijjiM22 , iji

32、jT 0jiMT0jiK3、规格化特征向量TT21, iiiiiMK3.2.4 特征值的计算1、迭代法 iiiMTT, MMIKKn最高阶特征值计算2()MK0 2KM12M K设：1M KS21nnS例例：100020003M320253033 K迭代矩阵110001 20001 3M110032001 20253001 3033320 12.51.5011 SM K设：(0)1= 11 (0)2(1)3201112.51.51001110 S2(1)(1)11, 00 (1)3201112.51.5030.301100 S 2(2)(2)13, 0.30 (2)3201112.51.50.

33、33.60.501100.1 S 2(3)(3)13.6, 0.50.1 (3)3201112.51.50.540.60110.10.15 S 2(4)(4)14, 0.60.15 (4)3201112.51.50.64.20.6490110.150.180 S ( )3201112.51.50.69304.3860.69300110.20470.20467k S 2( )314.386, 0.69300.20467k 证明：(0)1 12 23 3aaa(0)112233aaaSSSS222(1)(1)111222333aaa(1)222312112233(1)(1)(1)aaa( )1 1

34、2 23 3k2111(1)(2)( )2222(1)(2)( )2333(1)(2)( )kkkkkkaaa 其中：222123( )3k1230, 0, 1n一阶特征值计算2KM121 K MT121, TK M( )(1)nnT 其中：111113 23 213 211 6K111110012313 23 2020134.513 211 6003135.5TK M例例：100020003M320253033 K(0)123161134.518.56 1.4135.519.51.6 T 2(1)(1)16, 1.41.6 (1)12311134.51.48.6 1.442135.51.61

35、.628T (2)12311134.51.4428.768 1.443135.51.6281.629T 2(2)(2)18.6, 1.4421.628 211110.11, 1.4438.7681.629 2(3)(3)18.768, 1.4431.629 证明：(0)1 12 23 3aaa(0)112233aaaTTTT(1)11 121 231 3aaa (1)3121 12 23 3(1)(1)(1)aaa( )1k123( )1 12 23 3k111(1)(2)( )222(1)(2)( )333(1)(2)( )kkkkkkaaa 其中：1231, 0, 0(0)(0)1 1a

36、2、逐阶滤频法Gram Schmidt法(0)(0)111 11a(0)10(0)1111a n计算二阶特征值例：例：100123020 , 134.5003135.5MT110011 1.443 1.629020100310.668410011 1.443 1.6290201.4430031.629a (0)11110.6684 1.4430.33160.107111.6290.2678 一次滤频(0)12310.41081134.50.10710.11620.41080.2829135.50.26780.15160.3690 T (1)12310.45881134.50.28290.188

37、20.45880.4102135.50.36900.18080.3941 T (2)12310.63811134.50.41020.45710.6381 0.7163135.50.39410.06300.0987 T 110011 1.443 1.6290200.71630030.09870.270410011 1.443 1.6290201.4430031.629a(0)1110.71630.2704 1.4430.72960.44700.09871.6290.4685 二次滤频(0)12310.48851134.50.44700.23280.48850.4776135.50.46850.2

38、3570.4825 T n计算三阶特征值(0)(0)1 12 2aa(0)1111a (0)2222a 其中：3、Jacobi（雅可比）法2KM条件：K和M是实对称矩阵，且K是正定的TKL LT2L LMT2121TTLL ML ML LTL令：1TL MLPP则：其中：21TD P D 正交矩阵对角阵T1iiiiD P DP11cossin11sincos11iD mnnm(1)( )2( )( )2(1)( )2( )( )2(1)(1)( )( )( )22cos2sincossinsin2sincoscos()sincos(cossin)iiiimmmmmnnniiiinnmmmnnn

39、iiiiimnnmmmnnmnppppppppppppp(1)( )( )(1)( )( )(1)( )cossin (, )sincos (, ) ( , )iiimlmlnliiinlmlnliiklklppplm nppplm nppk lm n( )( )( )21arctan2imniiinnmmppp12nDDDD例：例：11 1 11 1 11 1 1PP设：11111cossin0sincos0001 D112arctan21 1411212012120001 DT2111000022021PD PD222221000cossin0sincosD212 2arctan21222

40、sin13, cos2 3 210002 3130132 3DT3222000030000PD P D121213161213160132 3 DD D3.3 方程的解耦3.3.1 广义坐标 xq设：其中：123xxxx112131123122232132333123qqqq3.3.2 广义坐标方程( ) tMCK qqqfTTTT( ) tMCKqqqf( ) tMCKFqqq其中：123000000MMMM模态质量矩阵iM第i阶模态质量123000000KKKK模态刚度矩阵iK第i阶模态刚度T1T2T3( )( )ttF f1 11 11 1122222223333333( )( )( )

41、M qC qK qF tM qC qK qF tM qC qK qF t2111 111112222222222333333332( )/2( )/2( )/qqqF tMqqqF tMqqqF tM 123000000CCCC模态阻尼矩阵iC第i阶模态阻尼系数模态力向量则系统解耦方程为：或2 (1,2,3)iiiKiM2 (1,2,3)iiiiCMi 31( )( ) (1,2,3)iijjjF tf ti固有频率模态阻尼模态力3.4 阻尼问题3.4.1 瑞雷阻尼01aaCMKTTT01aaCMK 01aaCMK01iiiCa Ma K201()iiaaM2iiiM 2012iiiaa 20

42、12jjjaa 1222()iijjija 0222()()jiijijija xxCxaK xaKxxx3.4.2 常阻尼模型稳态运动条件下：1xxCMKaKCxxaxxCK2iiiiiiaCKM 2ia2CK3.5 强迫振动3.5.1 广义坐标解22( )/iiiiiiiiqqqF tM 1( )( )niijjjF tf t1( )( )( )miijjjq tHF t2221( )(1)(2)ijijiijH jiji其中：3.5.2 时程分析法MCKxxxfiiii MCKxxxf()( )()( )()( )()( )iiiiiiiiiiiittttttttxxxxxxxxxfff

43、( )()iiitttxxx2( )()()2iiiiitttttxxxx231( )()()()26iiiiiiitttttttxxxxx2iiixxx22126iiiixxxx2663iiiixxxx332iiiixxxx2636332iiiiii MCKMCxfxxxxii KF x263KMCK6332iiiiii FMC fxxxxnWilson-法, 1.37t iixx332iiiittxxxx2663iiiittxxxx1()iiiiMCKxfxx111iiiiiiiii xxxxxxxxx或nNewmark-法iiitt xxx2212iiiittt xxxx11, 26线性

44、加速度法11, 24平均加速度法20.5, 0.25(0.5)2111122iiiiiitttt MCKMCxfxxxxii KFx21112iiiittxxxx12iiiittxxxx111iiiiiiiii xxxxxxxxx3.6 耦合振动的应用振动控制问题1 1121221()( )m xkkxk xf t22221()0m xkxx1x2x1m2m1k2k2121222220kkmkkkm3.6.1 主、从系统的动力特性1、系统固有频率2221,2011(1)1(1)42aa1011km设：2022km其中：21mam202201质量比频率错开系数2、系统耦合特性210 amm,11

45、01202, n质量比的影响n频率错开系数的影响主从系统强烈耦合0 或主从系统不耦合3.6.2 主、从系统的减振问题111122102222220sin00mxxkkkxccFtmxxkkxcc1x2x2k1k2m1m22221222222221,4()4(1)(1)()stAxaa 0212221,(1)()stAxa1221,11stAxa 本章小结： MxCxKxf1、运动方程2、系统动力特性(1)物理参数121000000000000nnmmMmm质量矩阵 122223100000000nnnnnkkkkkkKkkkkk刚度矩阵 122223100000000nnnnnccccccCc

46、cccc阻尼矩阵(1)特征值问题 20MKn特征方程n固有频率与振型, 1,2,iiiKinM第i阶固有频率12n ,1,2, 1,2,iii nin第i阶振型TTTT0, 0, , , ijijijiijiijMKijMKMKn标准化振型iiiMTT, MIK其中：21222000000n3、系统阻尼问题(1)瑞雷阻尼 CMK其中：(2)常阻尼模型 2CK4、广义坐标方程、广义坐标方程 MqCqKqF模态质量矩阵模态刚度矩阵12000000nMMMM 12000000nKKKK 其中： TiiiMM第i阶模态质量 TiiiKK第i阶模态刚度模态阻尼矩阵12000000nCCCC 式中： Ti

47、iiCC第i阶模态阻尼5、强迫振动问题、强迫振动问题广义坐标解解析解22 1,2,iiiiiiiqqqF Min 1niiixqq时程分析法数值解 iiiiMxCxKxf ( )()iiixx txtt 2663iiiixxxx 332iiiixxxxnWilson-法, 1.37t 263KMCK iiKxF 其中： 6332iiiiiiFfMxxCxx 1xx 2663iiiixxxxtt 332iiiitxxxxt 111iiiiiiiiixxxxxxxxx nNewmark-法t iiKxF 21112 12iiiiiiMCKxfMxxtttCxxt 21112iiiixxxxtt 1

48、2iiiixxxxttiiKxf 11122iiiiiiFfMxxCxxtt 其中： 21KMCKtt m1 m2 kx1x2例例1：写出图示系统以相对坐标表示的运动方程，并求系统固有频率。1 1122221()0()0m xk xxm xk xx令：12uxx1212()0m m umm ku1212mmkm mekm或：其中：1212em mmmm12mmm2emm 例例2：求图示二层框架的固有频率和振型。21100lb/ftm 2250lb/ftm 30ft15ft10ft220lb/ftm 220lb/ftm 2122136lb s /in66lb s /inmm1230700lb/i

49、n44300lb/inkk312EIkL11122122kkkkK12222kkkkk2121222220kkmkkkm11122122mmmmM1200mm421212212120m mkkmm kk k 2122121221212 1221,21242kkmm kkkmm km m k km m 2212140, 10821211.83rad/s, 32.89rad/s112155960443000aa21111.263aa 11.0001.263 22121.629aa 21.0001.629 例例3：求例2二层框架的强迫振动。 已知：2( )10000sin20F tt1 112122

50、222122()010000sin20m xkkxk xm xk xk xt设：1122sin20 , sin20 xXtxXt代入得：2121122221222()2002010000kkmXk Xk XkmX解得：120.28in, 0.13inXX 稳态响应为：120.28sin20 in, 0.13sin20 inxtxt 例例4：求图示结构的固有频率和振型。解：解：1111122122112222ppXXXX 1111111222222111122222yfm yfm yyfm yfm y1 1112122111 112212112222221 1222mymyyffmymyyff1