初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第27讲 动态几何问题透视.pdf

1、1 第二十七讲第二十七讲 动态几何问题透视动态几何问题透视 春去秋来，花开花落，物转星移，世间万物每时每刻都处于运动变化、相互联系、相互 转化中，事物的本质特征只有在运动中方能凸现出来 动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的 形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等，解这类问题的基本策略是： 1动中觅静 这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中 的不变性 2动静互化 “静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间， 使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系 3以动制

2、动 以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观 点来研究变动元素的关系 注 ： 几何动态既是一类问题，也是一种观点与思维方法，运用几何动态的观点，可以把表面 看来不同的定理统一起来， 可以找到探求几何中的最值、 定值等问题的方法 ； 更一般情况是， 对于一个数学问题，努力去发掘更多结论，不同解法，通过弱化或强化条件来探讨结论的状 况等，这就是常说的“动态思维” 【例题求解】【例题求解】 【例 1】 如图，把直角三角形 ABC 的斜边 AB 放在定直线上，按顺时针方向在l上转动两 次，使它转到 ABC的位置，设 BC=1，AC=3，则顶点 A 运动到点 A的位置时

3、，点 A 经过的路线与直线l所围成的面积是 思路点拨思路点拨 解题的关键是将转动的图形准确分割RtABC 的两次转动，顶点 A 所经过 的路线是两段圆弧，其中圆心角分别为 120和 90，半径分别为 2 和3，但该路线与直 线l所围成的面积不只是两个扇形面积之和 【例 2】如图，在O 中，P 是直径 AB 上一动点，在 AB 同侧作 AAAB，BBAB，且 AA=AP，BB=BP，连结 AB，当点 P 从点 A 移到点 B 时，AB的中点的位置( ) A在平分 AB 的某直线上移动 B在垂直 AB 的某直线上移动 C在 AmB 上移动 D保持固定不移动 2 思路点拨思路点拨 画图、操作、实验，

4、从中发现规律 【例 3】 如图，菱形 OABC 的长为 4 厘米，AOC60，动点 P 从 O 出发，以每秒 1 厘 米的速度沿 OAB 路线运动，点 P 出发 2 秒后，动点 Q 从 O 出发，在 OA 上以每秒 1 厘米的速度，在 AB 上以每秒 2 厘米的速度沿 OAB 路线运动，过 P、Q 两点分别作对 角线 AC 的平行线设 P 点运动的时间为x秒，这两条平行线在菱形上截出的图形(图中的 阴影部分)的周长为y厘米，请你回答下列问题： (1)当x=3 时，y的值是多少? (2)就下列各种情形： 0 x2；2x4；4x6；6x8求y与x之间的函数关系式 (3)在给出的直角坐标系中，用图象

5、表示(2)中的各种情形下y与x的关系 思路点拨思路点拨 本例是一个动态几何问题，又是一个“分段函数”问题，需运用动态的观点，将 各段分别讨论、画图、计算 注：动与静是对立的，又是统：一的，无论图形运动变化的哪一类问题，都真实地反映了现 3 实世界中数与形的变与不变两个方面，从辩证的角度去观察、探索、研究此类问题，是一种 重要的解题策略 建立运动函数关系就更一般地、整体-地把握了问题，许多相关问题就转化为求函数值 或自变量的值 【例 4】 如图，正方形 ABCD 中，有一直径为 BC 的半圆，BC=2cm，现有两点 E、F，分 别从点 B、点 A 同时出发，点 E 沿线段 BA 以 1m秒的速度

6、向点 A 运动，点 F 沿折线 ADC 以 2cm秒的速度向点 C 运动，设点 E 离开点 B 的时间为 2 (秒) (1)当t为何值时，线段 EF 与 BC 平行? (2)设 1t2，当t为何值时，EF 与半圆相切? (3)当 1t0 时， 求关于 r 的函数解析式，并写出自变量 r 的取值范围 5 6已知：如图，O 韵直径为 10，弦 AC=8，点 B 在圆周上运动(与 A、C 两点不重合)， 连结 BC、BA，过点 C 作 CDAB 于 D设 CB 的长为x，CD 的长为y (1)求y关于x的函数关系式；当以 BC 为直径的圆与 AC 相切时，求y的值； (2)在点 B 运动的过程中，

7、以 CD 为直径的圆与O 有几种位置关系， 并求出不同位置时y 的取值范围； (3)在点 B 运动的过程中，如果过 B 作 BEAC 于 E，那么以 BE 为直径的圆与O 能内 切吗?若不能，说明理由；若能，求出 BE 的长 7如图，已知 A 为POQ 的边 OQ 上一点，以 A 为顶点的MAN 的两边分别交射线 OP 于 M、N 两点，且MAN=POQ=(为锐角)当MAN 以点 A 为旋转中心，AM 边从 与 AO 重合的位置开始，按逆时针方向旋转(MAN 保持不变)时，M、N 两点在射线 OP 上 同时以不同的速度向右平移移动设 OM=x，ON= (yx0)，AOM 的面积为 S，若 co

8、s 、OA 是方程0252 2 zz的两个根 (1)当MAN 旋转 30(即OAM=30)时，求点 N 移动的距离； (2)求证：AN2=ONMN； (3)求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围； (4)试写出 S 随x变化的函数关系式，并确定 S 的取值范围 8已知：如图，梯形 ABCD 中，ADBC，AB=CD=3cm，C60，BDCD (1)求 BC、AD 的长度； (2)若点 P 从点 B 开始沿 BC 边向点 C 以 2cms 的速度运动，点 Q 从点 C 开始沿 CD 边向点 D 以 1cms 的速度运动，当 P、Q 分别从 B、C 同时出发时，写出五边形 ABPQD 的面积

9、 S 与运动时间t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围(不包含点 P 在 B、C 两点的情况)； (3)在(2)的前提下， 是否存在某一时刻t， 使线段 PQ 把梯形 ABCD 分成两部分的面积比为 6 1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由 9已知：如图，E、F、G、H 按照 AE=CG，BF=DH，BFnAE(n 是正整数)的关系，分 别在两邻边长a、na的矩形 ABCD 各边上运动 设 AE=x，四边形 EFGH 的面积为 S (1)当 n=l、2 时，如图、，观察运动情况，写出四边形 EFGH 各顶点运动到何位置， 使? (2)当 n=3 时，如图，求 S 与x之间的函

10、数关系式(写出自变量x的取值范围)，探索 S 随x增大而变化的规律；猜想四边形 EFGH 各顶点运动到何位置，使 ABCD SS 矩形 2 1 ； (3)当 n=k (k1)时，你所得到的规律和猜想是否成立?请说明理由 10 如图 1， 在直角坐标系中， 点 E 从 O 点出发， 以 1 个单位秒的速度沿x轴正方向运动， 点 F 从 O 点出发， 以 2 个单位秒的速度沿y轴正方向运动， B(4， 2)， 以 BE 为直径作O1 (1)若点 E、F 同时出发，设线段 EF 与线段 OB 交于点 G，试判断点 G 与O1的位置关 系，并证明你的结论； (2)在(1)的条件下，连结 FB，几秒时 FB 与O1相切? (3)如图 2，若 E 点提前 2 秒出发，点 F 再出发，当点 F 出发后，E 点在 A 点左侧时， 设 BAx轴于 A 点，连结 AF 交O1于点 P，试问 PAFA 的值是否会发生变化?若不变， 请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化范围 7 8 参考答案参考答案 9