1、专题层级快练专题层级快练(六十八六十八) 1(2020河北武邑中学期末)抛物线 y24x 的焦点为 F,过点 F 的直线交抛物线于 A,B 两 点 (1)O 为坐标原点,求证:3; OA OB (2)设点 M 在线段 AB 上运动,原点 O 关于点 M 的对称点为 C,求四边形 OACB 面积的最 小值 答案(1)略(2)4 解析(1)证明:依题意得,F(1,0),且直线 AB 的斜率不为 0,设直线 AB 的方程为 xmy 1. 联立消去 x 得 y24my40. xmy1, y24x,) 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1y24m,y1y24. x1x2(my11)(my21
2、)m2y1y2m(y1y2)11, 故x1x2y1y23. OA OB (2)由点 C 与原点 O 关于点 M 对称,得 M 是线段 OC 的中点,从而点 O 与点 C 到直线 AB 的距离相等,所以四边形 OACB 的面积等于 2SAOB. 由(1)知 2SAOB2 |OF|y1y2| 1 2 4, (y 1y2)24y1y2 1m2 所以当 m0 时,四边形 OACB 的面积最小,最小值是 4. 2.(2020江西南昌摸底考试)如图, 已知椭圆 C:1(ab0)的右焦 x2 a2 y2 b2 点为 F, 焦距为 4, 过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A, B 两点, 点 A 关于
3、 原点 O 的对称点为 C, 当 l 的斜率存在时,直线 AB 和 BC 的斜率之积为 . 1 2 (1)求椭圆 C 的标准方程 (2)求OBC 面积的最大值 答案(1)1(2)2 x2 8 y2 4 2 解析(1)由焦距为 4,可得 2c4,解得 c2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 C(x1,y1) 由 kABkBC ,得 . 1 2 y2y1 x2x1 y2y1 x2x1 y22y12 x22x12 1 2 将 A(x1,y1),B(x2,y2)的坐标分别代入1,得 x2 a2 y2 b2 x12 a2 y 12 b2 1, x22 a2 y 22 b2 1.) ,得,所以
4、 a22b2. y22y12 x22x12 b2 a2 又 a2b2c2,所以 b2c24,所以 a22b28, 所以椭圆 C 的标准方程为1. x2 8 y2 4 (2)由点 A,C 关于原点对称,可得 SOBCSOAB. 又直线 AB 的倾斜角不为 0,焦点 F(2,0), 所以可设直线 AB 的方程为 xty2. 由消去 x 并整理,得(t22)y24ty40, x2 8 y 2 4 1, xty2,) 则 y1y2,y1y2. 4t t22 4 t22 所以 SOBCSOAB |OF|y1y2|4 1 2 (y 1y2)24y1y2 ( 4t t22) 2 16 t22 2 t21 t
5、22 42, 2 1 t21 1 t21 2 当且仅当 1t21,即 t0 时取等号, 所以OBC 面积的最大值为 2. 2 3(2020福建闽侯县三中期中)已知椭圆 C:1(ab0)的离心率为,且与直线 y x2 a2 y2 b2 6 3 x2 相切 (1)求椭圆 C 的方程; (2)设点 A(2,0),动点 B 在 y 轴上,动点 P 在椭圆 C 上,且 P 在 y 轴的右侧,若|BA| |BP|,求四边形 OPAB(O 为坐标原点)面积的最小值 答案(1)y21(2)2 x2 3 解析(1)由题意知,离心率 e ,所以 ca,ba,所以 x23y2a2, 6 3 c a 6 3 3 3
6、将 yx2 代入得 4x212x12a20, 由 12244(12a2)0,得 a,b1, 3 所以椭圆 C 的方程为y21. x2 3 (2)设线段 AP 的中点为 D,因为|BA|BP|,所以 BDAP, 由题意得直线 BD 的斜率存在且不为零,设 P(x0,y0)(0x00)的准线 l1与 x 轴交于点 M,直线 l2:4x3y60 与抛物 线 C 没有公共点,动点 P 在抛物线 C 上,点 P 到 l1,l2的距离之和的最小值等于 2. (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 M 的直线与抛物线 C 交于两个不同的点 A,B,设,求|AB|的MA MB ( 1 3 0,所以 p2.
7、|4 p 26| 4232 所以抛物线 C 的方程为 y24x. (2)由(1)可得点 M 的坐标为(1,0),由题意知直线 AB 的斜率存在且不为 0,设直线 AB 的 方程为 yk(x1) 由消去 x,整理得 ky24y4k0, yk(x1), y24x) 因为直线 AB 与抛物线交于两个不同的点,所以 1616k20,所以 0k21. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1y24, y1y2 , 4 k 因为,M(1,0),所以(x11,y1)(x21,y2),所以 y1y2, MA MB 由可得 k2. 4 (1)2 所以|AB|y1y2| 1 1 k2 (1 1 k2) (
8、y 1y2)2 (1 1 k2)(y 1y2)24y1y2 , (1 1 k2) 1616k2 k2 1616k4 k4 则|AB|216161616, 1616k4 k4 16 k4 (1)4 2 ( 221)2 2( 1 2) 2 令 f() , 1,则 f()在上单调递减, 1 1 3 1 3,1) 因此可得 2 , 1 10 3 所以 016, ( 1 2) 2 112 9 所以 0b0)的离心率为, x2 a2 y2 b2 3 2 抛物线 C2:x2ay 的准线方程为 y . 1 2 (1)求椭圆 C1和抛物线 C2的方程; (2)设过定点 M(0,2)的直线 l 与椭圆 C1交于不
9、同的两点 P,Q,若 O 在以 PQ 为直径的圆的 外部,求直线 l 的斜率 k 的取值范围 答案(1)C1:y21,C2:x22y x2 4 (2)k (2, 3 2) ( 3 2 ,2) 解析(1)由题意得 ,a2,故抛物线 C2的方程为 x22y. a 4 1 2 又 e,c,b1,从而椭圆 C1的方程为y21. 3 2 3 x2 4 (2)显然直线 x0 不满足条件,故可设直线 l:ykx2,P(x1,y1),Q(x2,y2) 由得(14k2)x216kx120. x2 4 y21, ykx2,) (16k)2412(14k2)0,k, (, 3 2) ( 3 2 ,) x1x2,x1x2, 16k 14k2 12 14k2 根据题意,得 0POQ0, 2 OP OQ x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)4OP OQ 12(1k2) 14k2 2k40, 16k 14k2 164k2 14k2 2k2,综上得 k. (2, 3 2) ( 3 2 ,2)
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