1、专题层级快练专题层级快练(六十八六十八) 1(2020河北武邑中学期末)抛物线 y24x 的焦点为 F，过点 F 的直线交抛物线于 A，B 两 点 (1)O 为坐标原点，求证：3； OA OB (2)设点 M 在线段 AB 上运动，原点 O 关于点 M 的对称点为 C，求四边形 OACB 面积的最 小值 答案(1)略(2)4 解析(1)证明：依题意得，F(1，0)，且直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为 xmy 1. 联立消去 x 得 y24my40. xmy1， y24x，) 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24m，y1y24. x1x2(my11)(my21
2、)m2y1y2m(y1y2)11， 故x1x2y1y23. OA OB (2)由点 C 与原点 O 关于点 M 对称，得 M 是线段 OC 的中点，从而点 O 与点 C 到直线 AB 的距离相等，所以四边形 OACB 的面积等于 2SAOB. 由(1)知 2SAOB2 |OF|y1y2| 1 2 4， （y 1y2）24y1y2 1m2 所以当 m0 时，四边形 OACB 的面积最小，最小值是 4. 2.(2020江西南昌摸底考试)如图， 已知椭圆 C：1(ab0)的右焦 x2 a2 y2 b2 点为 F， 焦距为 4， 过点 F 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A， B 两点， 点 A 关于
3、 原点 O 的对称点为 C， 当 l 的斜率存在时，直线 AB 和 BC 的斜率之积为 . 1 2 (1)求椭圆 C 的标准方程 (2)求OBC 面积的最大值 答案(1)1(2)2 x2 8 y2 4 2 解析(1)由焦距为 4，可得 2c4，解得 c2. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 C(x1，y1) 由 kABkBC ，得 . 1 2 y2y1 x2x1 y2y1 x2x1 y22y12 x22x12 1 2 将 A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标分别代入1，得 x2 a2 y2 b2 x12 a2 y 12 b2 1， x22 a2 y 22 b2 1.) ，得，所以
4、 a22b2. y22y12 x22x12 b2 a2 又 a2b2c2，所以 b2c24，所以 a22b28， 所以椭圆 C 的标准方程为1. x2 8 y2 4 (2)由点 A，C 关于原点对称，可得 SOBCSOAB. 又直线 AB 的倾斜角不为 0，焦点 F(2，0)， 所以可设直线 AB 的方程为 xty2. 由消去 x 并整理，得(t22)y24ty40， x2 8 y 2 4 1， xty2，) 则 y1y2，y1y2. 4t t22 4 t22 所以 SOBCSOAB |OF|y1y2|4 1 2 （y 1y2）24y1y2 ( 4t t22) 2 16 t22 2 t21 t
5、22 42， 2 1 t21 1 t21 2 当且仅当 1t21，即 t0 时取等号， 所以OBC 面积的最大值为 2. 2 3(2020福建闽侯县三中期中)已知椭圆 C：1(ab0)的离心率为，且与直线 y x2 a2 y2 b2 6 3 x2 相切 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设点 A(2，0)，动点 B 在 y 轴上，动点 P 在椭圆 C 上，且 P 在 y 轴的右侧，若|BA| |BP|，求四边形 OPAB(O 为坐标原点)面积的最小值 答案(1)y21(2)2 x2 3 解析(1)由题意知，离心率 e ，所以 ca，ba，所以 x23y2a2， 6 3 c a 6 3 3 3
6、将 yx2 代入得 4x212x12a20， 由 12244(12a2)0，得 a，b1， 3 所以椭圆 C 的方程为y21. x2 3 (2)设线段 AP 的中点为 D，因为|BA|BP|，所以 BDAP， 由题意得直线 BD 的斜率存在且不为零，设 P(x0，y0)(0x00)的准线 l1与 x 轴交于点 M，直线 l2：4x3y60 与抛物 线 C 没有公共点，动点 P 在抛物线 C 上，点 P 到 l1，l2的距离之和的最小值等于 2. (1)求抛物线 C 的方程； (2)过点 M 的直线与抛物线 C 交于两个不同的点 A，B，设，求|AB|的MA MB ( 1 3 0，所以 p2.
7、|4 p 26| 4232 所以抛物线 C 的方程为 y24x. (2)由(1)可得点 M 的坐标为(1，0)，由题意知直线 AB 的斜率存在且不为 0，设直线 AB 的 方程为 yk(x1) 由消去 x，整理得 ky24y4k0， yk（x1）， y24x) 因为直线 AB 与抛物线交于两个不同的点，所以 1616k20，所以 0k21. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y24， y1y2 ， 4 k 因为，M(1，0)，所以(x11，y1)(x21，y2)，所以 y1y2， MA MB 由可得 k2. 4 （1）2 所以|AB|y1y2| 1 1 k2 (1 1 k2) （
8、y 1y2）2 (1 1 k2)（y 1y2）24y1y2 ， (1 1 k2) 1616k2 k2 1616k4 k4 则|AB|216161616， 1616k4 k4 16 k4 （1）4 2 （ 221）2 2( 1 2) 2 令 f() ， 1，则 f()在上单调递减， 1 1 3 1 3，1) 因此可得 2 ， 1 10 3 所以 016， ( 1 2) 2 112 9 所以 0b0)的离心率为， x2 a2 y2 b2 3 2 抛物线 C2：x2ay 的准线方程为 y . 1 2 (1)求椭圆 C1和抛物线 C2的方程； (2)设过定点 M(0，2)的直线 l 与椭圆 C1交于不
9、同的两点 P，Q，若 O 在以 PQ 为直径的圆的 外部，求直线 l 的斜率 k 的取值范围 答案(1)C1：y21，C2：x22y x2 4 (2)k (2， 3 2) ( 3 2 ，2) 解析(1)由题意得 ，a2，故抛物线 C2的方程为 x22y. a 4 1 2 又 e，c，b1，从而椭圆 C1的方程为y21. 3 2 3 x2 4 (2)显然直线 x0 不满足条件，故可设直线 l：ykx2，P(x1，y1)，Q(x2，y2) 由得(14k2)x216kx120. x2 4 y21， ykx2，) (16k)2412(14k2)0，k， (， 3 2) ( 3 2 ，) x1x2，x1x2， 16k 14k2 12 14k2 根据题意，得 0POQ0， 2 OP OQ x1x2y1y2x1x2(kx12)(kx22)(1k2)x1x22k(x1x2)4OP OQ 12（1k2） 14k2 2k40， 16k 14k2 164k2 14k2 2k2，综上得 k. (2， 3 2) ( 3 2 ，2)
