2020.8暑假中考数学复习（教师版）.docx

1、第 1 页 共 33 页 2020.82020.8 暑假中考暑假中考数学数学复习复习 （教师版教师版） 1.（2020 山东潍坊中考，12，3 分）若定义一种新运算：ab 2 62 abab abab ( ) () ，例如：31 312；545463则函数 y（x2）（x1）的图象大致是（ ） A B C D 【答案】解：当 x22（x1）时，x4， 当 x4 时， （x2）（x1）（x2）（x1）x2x13， 即：y3， 当 x4 时， （x2）（x1）（x2）（x1）6x2x162x5， 即：y2x5， k20， 当 x4 时，y2x5，函数图象向上，y 随 x 的增大而增大， 综上所述，

2、A 选项符合题意 故选 A 2.（2020 湖北孝感中考，9，3 分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，D90 ，AB4，BC6， BAD30 动点 P 沿路径 ABCD 从点 A 出发， 以每秒 1 个单位长度的速度向点 D 运动 过 点 P 作 PHAD，垂足为 H设点 P 运动的时间为 x（单位：s） ，APH 的面积为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B 第 2 页 共 33 页 C D 【答案】解：当点 P 在 AB 上运动时， y 1 2 AH PH 1 2 AP sinA AP cosA 1 2 x2 3 4 3 8 x2，图象为二次函数； 当点 P 在

3、BC 上运动时，如下图， 由知，BHAB sinA41 2 2，同理 AH23， 则 y 1 2 AH PH 1 2 （23x4） 2234x，为一次函数； 当点 P 在 CD 上运动时， 同理可得：y 1 2 （236） （462x）（33） （12x） ，为一次函数； 故选 D 3. （2020 湖南邵阳中考，5，3 分）已知正比例函数 ykx（k0）的图象过点（2，3） ，把正比例函 数 ykx（k0）的图象平移，使它过点（1，1） ，则平移后的函数图象大致是（ ） AB C D 【答案】解：把点（2，3）代入 ykx（k0）得 2k3， 解得 k= 3 2 ， 正比例函数解析式为 y=

4、 3 2 x， 设正比例函数平移后函数解析式为 y= 3 2 x+b， 把点（1，1）代入 y= 3 2 x+b 得 3 2 +b=1， b= 5 2 ， 平移后函数解析式为 y= 3 2 x 5 2 ， 故函数图象大致为： 第 3 页 共 33 页 故选 D 32. （2020 辽宁沈阳中考，9，2 分）一次函数 ykxb(k0)的图象经过点 A(3，0)，点 B(0，2)， 那么该图象不经过的象限是（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】解： （方法一）将 A(3，0)，B(0，2)代入 ykxb，得 30 2 kb b ， ， 解得 2 3 2 k b ， ， 一

5、次函数解析式为 y 2 3 x2 k 2 3 0，b20， 一次函数 y 2 3 x2 的图象经过第一、二、三象限 即该图象不经过第四象限 故选 D （方法二）依照题意，画出函数图象，如图所示 观察函数图象，可知：一次函数 ykxb(k0)的图象不经过第四象限 故选 D 35. （2020 内蒙古鄂尔多斯中考，10，3 分）鄂尔多斯动物园内的一段线路如图 1 所示，动物园内有 免费的班车，从入口处出发，沿该线路开往大象馆，途中停靠花鸟馆（上下车时间忽略不计） ， 第一班车上午 9： 20 发车， 以后每隔 10 分钟有一班车从入口处发车， 且每一班车速度均相同 小 聪周末到动物园游玩，上午 9

6、 点到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从入口处出发，沿该 线路步行 25 分钟后到达花鸟馆，离入口处的路程 y(米)与时间 x(分)的函数关系如图 2 所示，下 列结论错误的是（ ） 第 4 页 共 33 页 A第一班车离入口处的距离 y(米)与时间 x(分)的解析式为 y200 x4 000(20 x38) B第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间为 10 分钟 C小聪在花鸟馆游玩 40 分钟后，想坐班车到大象馆，则小聪最早能够坐上第四班车 D小聪在花鸟馆游玩 40 分钟后，如果坐第五班车到大象馆，那么比他在花鸟馆游玩结束后立即 步行到大象馆提前了 7 分钟（假设小聪步行速度不变） 【答案

7、】 解： 由题意得， 可设第一班车离入口处的距离 y(米)与时间 x(分)的解析式为： ykxb(k0)， 把(20，0)，(38，3 600)代入 ykxb，得 020 360038 kb kb ， ， 解得 200 4 000 k b ， ， 第一班车离入口处的路程 y(米)与时间 x(分)的函数表达为 y200 x4 000（20 x38） ； 故选项 A 不合题意； 把 y2 000 代入 y200 x4 000，解得 x30， 302010(分)， 第一班车从入口处到达塔林所需时间 10 分钟； 故选项 B 不合题意； 设小聪坐上了第 n 班车，则 302510(n1)40，解得 n

8、4.5， 小聪坐上了第 5 班车， 故选项 C 符合题意； 等车的时间为 5 分钟，坐班车所需时间为：1 600 2008(分)， 步行所需时间：1 600 (2 000 25)20(分)， 20(85)7(分)， 比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了 7 分钟 故选项 D 不合题意 故选 C 7. （2020 宁夏中考，13，3 分）如图，直线 y 5 2 x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，把AOB 绕 点 B 逆时针旋转 90 后得到A1O1B，则点 A1的坐标是 【答案】解：在 y= 5 2 x+4 中，令 x0 得，y4， 第 5 页 共 33 页 令 y0，得

9、 0= 5 2 x+4，解得 x 8 5 ， A（ 8 5 ，0） ，B（0，4） ， 由旋转可得AOBA1O1B，ABA190 ， ABOA1BO1，BO1A1AOB90 ，OAO1A1 8 5 ，OBO1B4， OBO190 ， O1Bx 轴， 点 A1的纵坐标为 OBOA 的长，即为 4 8 5 12 5 ； 横坐标为 O1BOB4， 故点 A1的坐标是（4，12 5 ） ， 故填（4，12 5 ） 9. （2020 江苏南京中考，13，2 分） 将一次函数 y2x+4 的图象绕原点 O 逆时针旋转 90 ，所得 到的图象对应的函数表达式是 【答案】解：在一次函数 y2x+4 中，令 x

10、0，则 y4， 直线 y2x+4 经过点（0，4） ， 将一次函数 y2x+4 的图象绕原点 O 逆时针旋转 90 ，则点（0，4）的对应点为（4，0） ， 旋转后得到的图象与原图象垂直，则对应的函数解析式为：y 1 2 x+b， 将点（4，0）代入得， 1 2 （-4）+b0， 解得 b2， 旋转后对应的函数解析式为：y 1 2 x+2， 故填 y 1 2 x+2 12. (2020 重庆中考 A 卷，17，4 分)A，B 两地相距 240km，甲货车从 A 地以 40km/h 的速度匀速前往 B 地，到达 B 地后停止在甲出发的同时，乙货车从 B 地沿同一公路匀速前往 A 地，到达 A 地

11、后停 止两车之间的路程 y(km)与甲货车出发时间 x(h)之间的函数关系如图中的折线 CDDEEF 所 示其中点 C 的坐标是(0，240)，点 D 的坐标是(2.4，0)，则点 E 的坐标是 【答案】解：根据题意可得，乙货车的速度为：240 2.44060(40km/h)， 乙货车从 B 地到 A 地所用时间为：240 604(小时)， 当乙货车到底 A 地时，甲货车行驶的路程为：40 4160(千米)， 点 E 的坐标是(4，160) 故填(4，160) 24. （2020 四川绵阳中考，16，4 分）我市认真落实国家“精准扶贫”政策，计划在对口帮扶的贫困县 种植甲、乙两种火龙果共 10

12、0 亩，根据市场调查，甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为 0.9 万元、1.1 万元，每亩的销售额分别为 2 万元、2.5 万元，如果要求种植成本不少于 98 万元，但 不超过 100 万元， 且所有火龙果能全部售出， 则该县在此项目中获得的最大利润是_ 万元 （利润销售额种植成本） 第 6 页 共 33 页 【答案】解：设甲种火龙果种植 x 亩，乙钟火龙果种植(100 x)亩，此项目获得利润 w， 甲、乙两种火龙果每亩利润为 1.1 万元，1.4 万元， 由题意，得 0.91.110098 0.91.1100100 xx xx ( )， ( )， 解得 50 x60 此项目获得利润 w1.

13、1x1.4(100 x)1400.3x， 当 x50 时，w 的最大值为 14015125 万元 6. （2020 黑龙江哈尔滨中考，27，10 分）已知：在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，直线 AB 与 x 轴的正半轴交于点 A，与 y 轴的负半轴交于点 B，OAOB，过点 A 作 x 轴的垂线与过点 O 的 直线相交于点 C，直线 OC 的解析式为 y 3 4 x，过点 C 作 CMy 轴，垂足为 M，OM9 （1）如图 1，求直线 AB 的解析式； （2）如图 2，点 N 在线段 MC 上，连接 ON，点 P 在线段 ON 上，过点 P 作 PDx 轴，垂足为 D， 交 OC 于点

14、 E，若 NCOM，求 PE OD 的值； （3）如图 3，在（2）的条件下，点 F 为线段 AB 上一点，连接 OF，过点 F 作 OF 的垂线交线段 AC 于点 Q，连接 BQ，过点 F 作 x 轴的平行线交 BQ 于点 G，连接 PF 交 x 轴于点 H，连接 EH，若DHE DPH，GQFG2AF，求点 P 的坐标 【答案】解： （1）CMy 轴，OM9， y9 时，9 3 4 x，解得 x12， C（12，9） ， ACx 轴， A（12，0） ， OAOB， B（0，12） ， 设直线 AB 的解析式为 ykx+b，则有 12 120 b kb ， 解得 1 12 k b ， 直线

15、 AB 的解析式为 yx12 （2）如图 2 中， 第 7 页 共 33 页 CMOMOAOAC90 ， 四边形 OACM 是矩形， AOCM12， NCOM9， MNCMNC1293， N（3，9） ， 直线 ON 的解析式为 y3x，设点 E 的横坐标为 4a，则 D（4a，0） ， OD4a， 把 x4a，代入 y 3 4 x 中，得到 y3a， E（4a，3a） ， DE3a， 把 x4a 代入，y3x 中，得到 y12a， P（4a，12a） ， PD12a， PEPDDE12a3a9a， PE OD 9 4 （3）如图 3 中，设直线 FG 交 CA 的延长线于 R，交 y 轴于

16、S，过点 F 作 FTOA 于 T GFx 轴， OSRMOA90 ，CAOR90 ，BOABSG90 ，OABAFR， OFRRAOSBSG90 ， 四边形 OSRA 是矩形， OSAR， 第 8 页 共 33 页 AROA12， OAOB， OBAOAB45 ， FAR90 45 45 ， FARAFR， FRAROS， OFFQ， OSRROFQ90 ， OFS+QFR90 ， QFR+FQR90 ， OFSFQR， OFSFQR（AAS） ， SFQR， SFBAFR45 ， SBFSFB45 ， SFSBQR， SGBQGR，BSGR， BSGQRG（AAS） ， SGGR6， 设

17、FRm，则 ARm，AF2m，QRSF12m， GQFG2AF， GQ22m+6mm+6， GQ2GR2+QR2， （m+6）262+（12m）2， 解得 m4， FS8，AR4， OABFAR，FTOA，FRAR， FTFRAR4，OTF90 ， 四边形 OSFT 是矩形， OTSF8， DHEDPH， tanDHEtanDPH， DE DH DH PD ， 由（2）可知 DE3a，PD12a， 3a DH 12 DH a ， DH6a， tanPHD PD HD 12 6 a a 2， PHDFHT， tanFHT TF HT 2， HT2， OTOD+DH+HT， 4a+6a+28， a

18、 3 5 ， OD 12 5 ，PD123 5 36 5 ， 第 9 页 共 33 页 P（12 5 ， 36 5 ） 3. （2020 广东深圳中考，12，3 分）如图，矩形纸片 ABCD 中，AB6，BC12将纸片折叠，使 点 B 落在边 AD 的延长线上的点 G 处，折痕为 EF，点 E、F 分别在边 AD 和边 BC 上连接 BG， 交 CD 于点 K，FG 交 CD 于点 H给出以下结论： EFBG； GEGF； GDK 和GKH 的面积相等； 当点 F 与点 C 重合时，DEF75 ， 其中正确的结论共有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】解：如图，连接 BE，

19、设 EF 与 BG 交于点 O， 将纸片折叠，使点 B 落在边 AD 的延长线上的点 G 处， EF 垂直平分 BG， EFBG，BOGO，BEEG，BFFG，故正确， ADBC， EGOFBO， 又EOGBOF， BOFGOE（ASA） ， BFEG， BFEGGF，故正确， BEEGBFFG， 四边形 BEGF 是菱形， BEFGEF， 当点 F 与点 C 重合时，则 BFBCBE12， sinAEB AB BE 6 12 1 2 ， AEB30 ， DEF75 ，故正确， 由题意无法证明GDK 和GKH 的面积相等，故错误； 故选 C 1. （2020 贵州安顺中考，25，12 分）如图

20、，四边形 ABCD 是正方形，点 O 为对角线 AC 的中点 （1）问题解决：如图，连接 BO，分别取 CB，BO 的中点 P，Q，连接 PQ，则 PQ 与 BO 的数量关 系是 ，位置关系是 ； （2）问题探究：如图，AOE 是将图中的AOB 绕点 A 按顺时针方向旋转 45 得到的三角形， 连接 CE，点 P，Q 分别为 CE，BO的中点，连接 PQ，PB判断PQB 的形状，并证明你的结论； （3）拓展延伸：如图，AOE 是将图中的AOB 绕点 A 按逆时针方向旋转 45 得到的三角形， 连接 BO，点 P，Q 分别为 CE，BO的中点，连接 PQ，PB若正方形 ABCD 的边长为 1，求

21、PQB 第 10 页 共 33 页 的面积 【答案】解： （1）点 O 为对角线 AC 的中点， BOAC，BOCO， P 为 BC 的中点，Q 为 BO 的中点， PQOC，PQ 1 2 OC， PQBO，PQ 1 2 BO； 故填 PQ 1 2 BO，PQBO （2）PQB 的形状是等腰直角三角形理由如下： 连接 OP 并延长交 BC 于点 F， 四边形 ABCD 是正方形， ABBC，ABC90 ， 将AOB 绕点 A 按顺时针方向旋转 45 得到AOE， AOE 是等腰直角三角形，OEBC，OEOA， OEPFCP，POEPFC， 又点 P 是 CE 的中点， CPEP， OPEFPC

22、（AAS） ， OEFCOA，OPFP， ABOACBFC， BOBF， OBF 为等腰直角三角形 BPOF，OPBP， BPO也为等腰直角三角形 又点 Q 为 OB 的中点， PQOB，且 PQBQ， PQB 的形状是等腰直角三角形； （3）延长 OE 交 BC 边于点 G，连接 PG，OP 第 11 页 共 33 页 四边形 ABCD 是正方形，AC 是对角线， ECG45 ， 由旋转得，四边形 OABG 是矩形， OGABBC，EGC90 ， EGC 为等腰直角三角形 点 P 是 CE 的中点， PCPGPE，CPG90 ，EGP45 ， OGPBCP（SAS） ， OPGBPC，OPB

23、P， OPGGPBBPCGPB90 ， OPB90 ， OPB 为等腰直角三角形， 点 Q 是 OB 的中点， PQ 1 2 OBBQ，PQOB， AB1， OA 2 2 ， OB 22 ABAO 22 1) 2 2 ( 2 6 ， BQ 4 6 S PQB 1 2 BQPQ 1 2 4 6 4 6 16 3 2. （2020 浙江丽水中考，22，10 分）如图，在ABC 中，AB42，B45 ，C60 （1）求 BC 边上的高线长 （2）点 E 为线段 AB 的中点，点 F 在边 AC 上，连结 EF，沿 EF 将AEF 折叠得到PEF 如图 2，当点 P 落在 BC 上时，求AEP 的度数

24、 如图 3，连结 AP，当 PFAC 时，求 AP 的长 【答案】解： （1）如图 1 中，过点 A 作 ADBC 于 D 第 12 页 共 33 页 在 RtABD 中，ADABsin4542 2 2 4 （2）如图 2 中， AEFPEF， AEEP， AEEB， BEEP， EPBB45 ， PEB90 ， AEP180 90 90 如图 3 中，由（1）可知：AC sin60 AD 8 3 3 ， PFAC， PFA90 ， AEFPEF， AFEPFE45 ， AFEB， EAFCAB， AEFACB， AF AB AE AC ，即 4 2 AF 2 2 8 3 3 ， AF23，

25、在 RtAFP，AFFP， 第 13 页 共 33 页 AP2AF26 3. （2020 浙江舟山中考，23，10 分）在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片 ABC 和 DEF 拼在一起， 使点 A 与点 F 重合， 点 C 与点 D 重合(如图 1)， 其中ACBDFE90 ， BCEF3 cm， ACDF4 cm，并进行如下研究活动 活动一：将图 1 中的纸片DEF 沿AC 方向平移，连结AE，BD(如图2)，当点F 与点C 重合时停止平 移 【思考】图 2 中的四边形 ABDE 是平行四边形吗？请说明理由 【发现】当纸片 DEF 平移到某一位置时，小兵发现四边形 ABD

26、E 为矩形(如图 3)求 AF 的长 活动二：在图 3 中，取 AD 的中点 O，再将纸片 DEF 绕点 O 顺时针方向旋转 度(090)，连 结 OB，OE(如图 4) 【探究】当 EF 平分AEO 时，探究 OF 与 BD 的数量关系，并说明理由 【答案】解： 【思考】四边形 ABDE 是平行四边形 证明：如图，ABCDEF， ABDE，BACEDF， ABDE， 四边形 ABDE 是平行四边形； 【发现】如图 1，连接 BE 交 AD 于点 O， 四边形 ABDE 为矩形， OAODOBOE， 设 AFx(cm)，则 OAOE 1 2 (x4)， OFOAAF2 1 2 x， 在 RtO

27、FE 中，OF2EF2OE2， 2 1 2 2 x 32 1 4 (x4)2， 解得：x 9 4 ， AF 9 4 cm 第 14 页 共 33 页 【探究】BD2OF， 证明：如图 2，延长 OF 交 AE 于点 H， 四边形 ABDE 为矩形， OABOBAODEOED，OAOBOEOD， OBDODB，OAEOEA， ABDBDEDEAEAB360 ， ABDBAE180 ， AEBD， OHEODB， EF 平分OEH， OEFHEF， EFOEFH90 ，EFEF， EFOEFH(ASA)， EOEH，FOFH， EHOEOHOBDODB， EOHOBD(AAS)， BDOH2OF

28、4. （2020 湖南常德中考， 26， 10 分） 已知 D 是 RtABC 斜边 AB 的中点， ACB90 ， ABC30 ， 过点 D 作 RtDEF 使DEF90 ，DFE30 ，连接 CE 并延长 CE 到 P，使 EPCE，连接 BE， FP，BP，设 BC 与 DE 交于 M，PB 与 EF 交于 N （1）如图 1，当 D，B，F 共线时，求证： EBEP； EFP30 ； （2）如图 2，当 D，B，F 不共线时，连接 BF，求证：BFDEFP30 【答案】证明（1）ACB90 ，ABC30 ， A90 30 60 ， 同理EDF60 ， AEDF60 ， ACDE， DM

29、BACB90 ， D 是 RtABC 斜边 AB 的中点，ACDM， BM BC BD BC 1 2 ， 即 M 是 BC 的中点， EPCE，即 E 是 PC 的中点， 第 15 页 共 33 页 EDBP， CBPDMB90 ， CBP 是直角三角形， BE 1 2 PCEP； ABCDFE30 ， BCEF， 由知：CBP90 ， BPEF， EBEP， EF 是线段 BP 的垂直平分线， PFBF， PFEBFE30 ； （2）如图 2，延长 DE 到 Q，使 EQDE，连接 CD，PQ，FQ， ECEP，DECQEP， QEPDEC(SAS)， 则 PQDCDB， QEDE，DEF9

30、0 EF 是 DQ 的垂直平分线， QFDF， CDAD， CDAA60 ， CDB120 ， FDB120 FDC120 (60 EDC)60 EDC60 EQPFQP， FQPFDB(SAS)， QFPBFD， EF 是 DQ 的垂直平分线， QFEEFD30 ， QFPEFP30 ， BFDEFP30 4. （2020 天津中考， 24， 10 分） 将一个直角三角形纸片 OAB 放置在平面直角坐标系中， 点 O （0， 0） ， 点 A（2，0） ，点 B 在第一象限，OAB90 ，B30 ，点 P 在边 OB 上（点 P 不与点 O，B 重 合） （）如图，当 OP1 时，求点 P

31、的坐标； （）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点 P，并与 x 轴的正半轴相交于点 Q，且 OQOP，点 O 的对应点为 O，设 OPt 如图，若折叠后OPQ 与OAB 重叠部分为四边形，OP，OQ 分别与边 AB 相交于点 C，D，试 用含有 t 的式子表示 OD 的长，并直接写出 t 的取值范围； 若折叠后OPQ 与OAB 重叠部分的面积为 S， 当 113 时， 求 S 的取值范围 （直接写出结果即可） 第 16 页 共 33 页 【答案】解： （）如图中，过点 P 作 PHOA 于 H OAB90 ，B30 ， BOA90 30 60 ， OPH90 60 30 ， OP1， OH 1

32、 2 OP 1 2 ，PHOPcos30 3 2 ， P（ 1 2 ， 3 2 ） （）如图中， 由折叠可知，OPQOPQ， OPOP，OQOQ， OPOQt， OPOQOPOQ， 四边形 OPOQ 是菱形， QOOB， ADQB30 ， A（2，0） ， OA2，QA2t， 在 RtAQD 中，DQ2QA42t， ODOQQD3t4， 4 3 t2 当点 O落在 AB 上时，重叠部分是PQO，此时 t 2 3 ，S 3 4 （ 2 3 ）2 3 9 ， 当 2 3 t2 时，重叠部分是四边形 PQDC，S 3 4 t2 3 8 （3t4）2 7 3 8 t2+33t23， 第 17 页 共

33、33 页 当 x 3 3 7 3 2() 8 12 7 时，S 有最大值，最大值 4 3 4 ， 当 t1 时，S 3 4 ，当 t3 时，S 1 2 1 2 3 2 3 8 ， 综上所述， 3 8 S 4 3 7 6. （2020 内蒙古鄂尔多斯中考，23，10 分） （1） 【操作发现】 如图 1，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的三个顶点均在格点上 请按要求画图：将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 90 ，点 B 的对应点为点 B，点 C 的对应点为 点 C连接 BB； 在中所画图形中，ABB_ （2） 【问题解决】 如图 2，在 RtABC 中，BC1，C90

34、，延长 CA 到 D，使 CD1，将斜边 AB 绕点 A 顺时针旋 转 90 到 AE，连接 DE，求ADE 的度数 （3） 【拓展延伸】 如图 3，在四边形 ABCD 中，AEBC，垂足为 E，BAEADC，BECE1，CD3， ADkAB（k 为常数） ，求 BD 的长（用含 k 的式子表示） 【答案】解： （1）如图，ABC即为所求 由作图可知，ABB是等腰直角三角形， ABB45 ， 故填 45 （2）如图 2 中，过点 E 作 EHCD 交 CD 的延长线于点 H CBAEH90 ， BCAB90 ，CABEAH90 BEAH ABAE， ABCEAH(AAS) BCAH，EHAC

35、BCCD， 第 18 页 共 33 页 CDAH DHACEH EDH45 ADE135 （3）如图中，AEBC，BEEC， ABAC，将ABD 绕点 A 逆时针旋转得到ACG，连接 DG则 BDCG， BADCAG， BACDAG ABAC，ADAG， ABCACBADGAGD ABCADG ADkAB， DGkBC2k BAEABC90 ，BAEADC， ADGADC90 GDC90 CG 22 DGCD 2 49k BDCG 2 49k 2（2020 贵州安顺中考，25，12 分）如图，四边形 ABCD 是正方形，点 O 为对角线 AC 的中点 （1）问题解决：如图，连接 BO，分别取

36、CB，BO 的中点 P，Q，连接 PQ，则 PQ 与 BO 的数量关 系是 ，位置关系是 ； （2）问题探究：如图，AOE 是将图中的AOB 绕点 A 按顺时针方向旋转 45 得到的三角形， 连接 CE，点 P，Q 分别为 CE，BO的中点，连接 PQ，PB判断PQB 的形状，并证明你的结论； （3）拓展延伸：如图，AOE 是将图中的AOB 绕点 A 按逆时针方向旋转 45 得到的三角形， 连接 BO，点 P，Q 分别为 CE，BO的中点，连接 PQ，PB若正方形 ABCD 的边长为 1，求PQB 的面积 【答案】解： （1）点 O 为对角线 AC 的中点， BOAC，BOCO， P 为 BC

37、 的中点，Q 为 BO 的中点， 第 19 页 共 33 页 PQOC，PQ 1 2 OC， PQBO，PQ 1 2 BO； 故填 PQ 1 2 BO，PQBO （2）PQB 的形状是等腰直角三角形理由如下： 连接 OP 并延长交 BC 于点 F， 四边形 ABCD 是正方形， ABBC，ABC90 ， 将AOB 绕点 A 按顺时针方向旋转 45 得到AOE， AOE 是等腰直角三角形，OEBC，OEOA， OEPFCP，POEPFC， 又点 P 是 CE 的中点， CPEP， OPEFPC（AAS） ， OEFCOA，OPFP， ABOACBFC， BOBF， OBF 为等腰直角三角形 BP

38、OF，OPBP， BPO也为等腰直角三角形 又点 Q 为 OB 的中点， PQOB，且 PQBQ， PQB 的形状是等腰直角三角形； （3）延长 OE 交 BC 边于点 G，连接 PG，OP 四边形 ABCD 是正方形，AC 是对角线， ECG45 ， 由旋转得，四边形 OABG 是矩形， OGABBC，EGC90 ， 第 20 页 共 33 页 EGC 为等腰直角三角形 点 P 是 CE 的中点， PCPGPE，CPG90 ，EGP45 ， OGPBCP（SAS） ， OPGBPC，OPBP， OPGGPBBPCGPB90 ， OPB90 ， OPB 为等腰直角三角形， 点 Q 是 OB 的

39、中点， PQ 1 2 OBBQ，PQOB， AB1， OA 2 2 ， OB 22 ABAO 22 1) 2 2 ( 2 6 ， BQ 4 6 S PQB 1 2 BQPQ 1 2 4 6 4 6 16 3 3（2020 黑龙江龙东中考，26，8 分）以 RtABC 的两边 AB、AC 为边，向外作正方形 ABDE 和正 方形 ACFG，连接 EG，过点 A 作 AMBC 于 M，延长 MA 交 EG 于点 N （1）如图，若BAC90 ，ABAC，易证：ENGN； （2）如图，BAC90 ；如图，BAC90， （1）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形 进行证明；若不成立，写出你的结论，并

40、说明理由 【答案】解： （1）证明：BAC90 ，ABAC， ACB45 ， AMBC， MAC45 ， EANMAC45 ， 同理NAG45 ， EANNAG， 四边形 ABDE 和四边形 ACFG 为正方形， AEABACAG， ENGN （2）如图 1，BAC90 时， （1）中结论成立 第 21 页 共 33 页 理由：过点 E 作 EPAN 交 AN 的延长线于 P，过点 G 作 GQAM 于 Q， 四边形 ABDE 是正方形， ABAE，BAE90 ， EAPBAM180 90 90 ， AMBC， ABMBAM90 ， ABMEAP， 在ABM 和EAP 中， , ,90 , A

41、EAB PAMB EAPABM ABMEAP（AAS） ， EPAM， 同理可得：GQAM， EPGQ， 在EPN 和GQN 中， , , , GQEP GNQENP NQGP EPNGQN（AAS） ， ENNG 如图 2，BAC90时， （1）中结论成立 理由：过点 E 作 EPAN 交 AN 的延长线于 P，过点 G 作 GQAM 于 Q， 四边形 ABDE 是正方形， ABAE，BAE90 ， EAPBAM180 90 90 ， AMBC， ABMBAM90 ， ABMEAP， 在ABM 和EAP 中， , ,90 , AEAB PAMB EAPABM 第 22 页 共 33 页 AB

42、MEAP（AAS） ， EPAM， 同理可得：GQAM， EPGQ， 在EPN 和GQN 中， , , , GQEP GNQENP NQGP EPNGQN（AAS） ， ENNG 1. （2020 山东临沂中考，26，13 分）如图，菱形 ABCD 的边长为 1，ABC60 ，点 E 是边 AB 上 任意一点（端点除外） ，线段 CE 的垂直平分线交 BD，CE 分别于点 F，G，AE，EF 的中点分别为 M，N （1）求证：AFEF； （2）求 MN+NG 的最小值； （3）当点 E 在 AB 上运动时，CEF 的大小是否变化？为什么？ 【答案】解： （1）连接 CF， FG 垂直平分 CE

43、， CFEF， 四边形 ABCD 为菱形， A 和 C 关于对角线 BD 对称， CFAF， AFEF； （2）连接 AC， M 和 N 分别是 AE 和 EF 的中点，点 G 为 CE 中点， MN 1 2 AF，NG 1 2 CF，即 MN+NG 1 2 （AF+CF） ， 当点 F 与菱形 ABCD 对角线交点 O 重合时， AF+CF 最小，即此时 MN+NG 最小， 菱形 ABCD 边长为 1，ABC60 ， ABC 为等边三角形，ACAB1， 即 MN+NG 的最小值为 1 2 ； 第 23 页 共 33 页 （3）不变，理由是： 延长 EF，交 DC 于 H， CFHFCE+FE

44、C，AFHFAE+FEA， AFCFCE+FEC+FAE+FEA， 点 F 在菱形 ABCD 对角线 BD 上，根据菱形的对称性可得： AFDCFD 1 2 AFC， AFCFEF， AEFEAF，FECFCE， AFDFAE+ABFFAE+CEF， ABFCEF， ABC60 ， ABFCEF30 ，为定值 2. （2020 吉林，25，10 分）如图，ABC 是等边三角形，AB4cm，动点 P 从点 A 出发，以 2cm/s 的速度沿 AB 向点 B 匀速运动，过点 P 作 PQAB，交折线 ACCB 于点 Q，以 PQ 为边作等边三 角形 PQD，使点 A，D 在 PQ 异侧设点 P 的

45、运动时间为 x（s） （0 x2） ，PQD 与ABC 重叠 部分图形的面积为 y（cm2） （1）AP 的长为 cm（用含 x 的代数式表示） （2）当点 D 落在边 BC 上时，求 x 的值 （3）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围 【答案】解： （1）动点 P 从点 A 出发，以 2cm/s 的速度沿 AB 向点 B 匀速运动， AP 的长为 2xcm； 故填 2x； （2）当点 D 落在 BC 上时，如图 1， BPABAP42x， PQAB， QPA90 ， PQD 等边三角形，ABC 是等边三角形， ABDPQ60 ， 第 24 页 共 33 页 BPD3

46、0 ， PDB90 ， PDBC， APQBDP（AAS） ， BDAP2x， BP2BD， 42x4x， 解得 x 2 3 ； （3）如图 2，当 0 x 2 3 时， 在 RtAPQ 中，AP2x，A60 ， PQAPtan6023x， PQD 等边三角形， SPQD 1 2 23x3x33x2cm2， 所以 y33x2； 如图 3，当点 Q 运动到与点 C 重合时， 此时 CPAB， 所以 AP 1 2 AB，即 2x2， 解得 x1， 所以当 2 3 x1 时，如图 4，设 PD、QD 与 BC 分别相交于点 G、H， AP2x， BP42x，AQ2AP4x， BG 1 2 BP2x

47、第 25 页 共 33 页 PG3BG3（2x） ， S PBG 1 2 BGPG 3 2 （2x）2， AQ2AP4x， CQACAQ44x， QH3CQ3（44x） ， SQCH 1 2 CQQH 3 2 （44x）2， S ABC 1 2 4 2343， S四边形PGHQS ABC S PBG SQCH 43 3 2 （2x）2 3 2 （44x）2 17 3 2 x2+183x63， 所以 y17 3 2 x2+183x63； 如图 5，当 1x2 时，点 Q 运动到 BC 边上， 设 PD 与 BC 相交于点 G， 此时 PGBPsin60（42x） 3 2 3（2x） ， PB42

48、x， BQ2BP2（42x）4（2x） ， BG 1 2 BP2x， QGBQBG3（2x） ， 重叠部分的面积为： SPQG 1 2 PGQG 1 2 3（2x）3（2x） 3 3 2 （2x）2 所以 y 3 3 2 （2x）2 综上所述：y 关于 x 的函数解析式为： 当 0 x 2 3 时，y33x2； 当 2 3 x1 时，y17 3 2 x2+183x63； 当 1x2 时，y 3 3 2 （2x）2 4.（2020 辽宁营口中考，25，14 分）如图，在矩形 ABCD 中，ADkAB（k0） ，点 E 是线段 CB 延 长线上的一个动点，连接 AE，过点 A 作 AFAE 交射线 DC 于点 F （1）如图 1，若 k1，