1、第 1 页 共 33 页 2020.82020.8 暑假中考暑假中考数学数学复习复习 (教师版教师版) 1.(2020 山东潍坊中考,12,3 分)若定义一种新运算:ab 2 62 abab abab ( ) () ,例如:31 312;545463则函数 y(x2)(x1)的图象大致是( ) A B C D 【答案】解:当 x22(x1)时,x4, 当 x4 时, (x2)(x1)(x2)(x1)x2x13, 即:y3, 当 x4 时, (x2)(x1)(x2)(x1)6x2x162x5, 即:y2x5, k20, 当 x4 时,y2x5,函数图象向上,y 随 x 的增大而增大, 综上所述,
2、A 选项符合题意 故选 A 2.(2020 湖北孝感中考,9,3 分)如图,在四边形 ABCD 中,ADBC,D90 ,AB4,BC6, BAD30 动点 P 沿路径 ABCD 从点 A 出发, 以每秒 1 个单位长度的速度向点 D 运动 过 点 P 作 PHAD,垂足为 H设点 P 运动的时间为 x(单位:s) ,APH 的面积为 y,则 y 关于 x 的函数图象大致是( ) A B 第 2 页 共 33 页 C D 【答案】解:当点 P 在 AB 上运动时, y 1 2 AH PH 1 2 AP sinA AP cosA 1 2 x2 3 4 3 8 x2,图象为二次函数; 当点 P 在
3、BC 上运动时,如下图, 由知,BHAB sinA41 2 2,同理 AH23, 则 y 1 2 AH PH 1 2 (23x4) 2234x,为一次函数; 当点 P 在 CD 上运动时, 同理可得:y 1 2 (236) (462x)(33) (12x) ,为一次函数; 故选 D 3. (2020 湖南邵阳中考,5,3 分)已知正比例函数 ykx(k0)的图象过点(2,3) ,把正比例函 数 ykx(k0)的图象平移,使它过点(1,1) ,则平移后的函数图象大致是( ) AB C D 【答案】解:把点(2,3)代入 ykx(k0)得 2k3, 解得 k= 3 2 , 正比例函数解析式为 y=
4、 3 2 x, 设正比例函数平移后函数解析式为 y= 3 2 x+b, 把点(1,1)代入 y= 3 2 x+b 得 3 2 +b=1, b= 5 2 , 平移后函数解析式为 y= 3 2 x 5 2 , 故函数图象大致为: 第 3 页 共 33 页 故选 D 32. (2020 辽宁沈阳中考,9,2 分)一次函数 ykxb(k0)的图象经过点 A(3,0),点 B(0,2), 那么该图象不经过的象限是( ) A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【答案】解: (方法一)将 A(3,0),B(0,2)代入 ykxb,得 30 2 kb b , , 解得 2 3 2 k b , , 一
5、次函数解析式为 y 2 3 x2 k 2 3 0,b20, 一次函数 y 2 3 x2 的图象经过第一、二、三象限 即该图象不经过第四象限 故选 D (方法二)依照题意,画出函数图象,如图所示 观察函数图象,可知:一次函数 ykxb(k0)的图象不经过第四象限 故选 D 35. (2020 内蒙古鄂尔多斯中考,10,3 分)鄂尔多斯动物园内的一段线路如图 1 所示,动物园内有 免费的班车,从入口处出发,沿该线路开往大象馆,途中停靠花鸟馆(上下车时间忽略不计) , 第一班车上午 9: 20 发车, 以后每隔 10 分钟有一班车从入口处发车, 且每一班车速度均相同 小 聪周末到动物园游玩,上午 9
6、 点到达入口处,因还没到班车发车时间,于是从入口处出发,沿该 线路步行 25 分钟后到达花鸟馆,离入口处的路程 y(米)与时间 x(分)的函数关系如图 2 所示,下 列结论错误的是( ) 第 4 页 共 33 页 A第一班车离入口处的距离 y(米)与时间 x(分)的解析式为 y200 x4 000(20 x38) B第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间为 10 分钟 C小聪在花鸟馆游玩 40 分钟后,想坐班车到大象馆,则小聪最早能够坐上第四班车 D小聪在花鸟馆游玩 40 分钟后,如果坐第五班车到大象馆,那么比他在花鸟馆游玩结束后立即 步行到大象馆提前了 7 分钟(假设小聪步行速度不变) 【答案
7、】 解: 由题意得, 可设第一班车离入口处的距离 y(米)与时间 x(分)的解析式为: ykxb(k0), 把(20,0),(38,3 600)代入 ykxb,得 020 360038 kb kb , , 解得 200 4 000 k b , , 第一班车离入口处的路程 y(米)与时间 x(分)的函数表达为 y200 x4 000(20 x38) ; 故选项 A 不合题意; 把 y2 000 代入 y200 x4 000,解得 x30, 302010(分), 第一班车从入口处到达塔林所需时间 10 分钟; 故选项 B 不合题意; 设小聪坐上了第 n 班车,则 302510(n1)40,解得 n
8、4.5, 小聪坐上了第 5 班车, 故选项 C 符合题意; 等车的时间为 5 分钟,坐班车所需时间为:1 600 2008(分), 步行所需时间:1 600 (2 000 25)20(分), 20(85)7(分), 比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了 7 分钟 故选项 D 不合题意 故选 C 7. (2020 宁夏中考,13,3 分)如图,直线 y 5 2 x+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点,把AOB 绕 点 B 逆时针旋转 90 后得到A1O1B,则点 A1的坐标是 【答案】解:在 y= 5 2 x+4 中,令 x0 得,y4, 第 5 页 共 33 页 令 y0,得
9、 0= 5 2 x+4,解得 x 8 5 , A( 8 5 ,0) ,B(0,4) , 由旋转可得AOBA1O1B,ABA190 , ABOA1BO1,BO1A1AOB90 ,OAO1A1 8 5 ,OBO1B4, OBO190 , O1Bx 轴, 点 A1的纵坐标为 OBOA 的长,即为 4 8 5 12 5 ; 横坐标为 O1BOB4, 故点 A1的坐标是(4,12 5 ) , 故填(4,12 5 ) 9. (2020 江苏南京中考,13,2 分) 将一次函数 y2x+4 的图象绕原点 O 逆时针旋转 90 ,所得 到的图象对应的函数表达式是 【答案】解:在一次函数 y2x+4 中,令 x
10、0,则 y4, 直线 y2x+4 经过点(0,4) , 将一次函数 y2x+4 的图象绕原点 O 逆时针旋转 90 ,则点(0,4)的对应点为(4,0) , 旋转后得到的图象与原图象垂直,则对应的函数解析式为:y 1 2 x+b, 将点(4,0)代入得, 1 2 (-4)+b0, 解得 b2, 旋转后对应的函数解析式为:y 1 2 x+2, 故填 y 1 2 x+2 12. (2020 重庆中考 A 卷,17,4 分)A,B 两地相距 240km,甲货车从 A 地以 40km/h 的速度匀速前往 B 地,到达 B 地后停止在甲出发的同时,乙货车从 B 地沿同一公路匀速前往 A 地,到达 A 地
11、后停 止两车之间的路程 y(km)与甲货车出发时间 x(h)之间的函数关系如图中的折线 CDDEEF 所 示其中点 C 的坐标是(0,240),点 D 的坐标是(2.4,0),则点 E 的坐标是 【答案】解:根据题意可得,乙货车的速度为:240 2.44060(40km/h), 乙货车从 B 地到 A 地所用时间为:240 604(小时), 当乙货车到底 A 地时,甲货车行驶的路程为:40 4160(千米), 点 E 的坐标是(4,160) 故填(4,160) 24. (2020 四川绵阳中考,16,4 分)我市认真落实国家“精准扶贫”政策,计划在对口帮扶的贫困县 种植甲、乙两种火龙果共 10
12、0 亩,根据市场调查,甲、乙两种火龙果每亩的种植成本分别为 0.9 万元、1.1 万元,每亩的销售额分别为 2 万元、2.5 万元,如果要求种植成本不少于 98 万元,但 不超过 100 万元, 且所有火龙果能全部售出, 则该县在此项目中获得的最大利润是_ 万元 (利润销售额种植成本) 第 6 页 共 33 页 【答案】解:设甲种火龙果种植 x 亩,乙钟火龙果种植(100 x)亩,此项目获得利润 w, 甲、乙两种火龙果每亩利润为 1.1 万元,1.4 万元, 由题意,得 0.91.110098 0.91.1100100 xx xx ( ), ( ), 解得 50 x60 此项目获得利润 w1.
13、1x1.4(100 x)1400.3x, 当 x50 时,w 的最大值为 14015125 万元 6. (2020 黑龙江哈尔滨中考,27,10 分)已知:在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,直线 AB 与 x 轴的正半轴交于点 A,与 y 轴的负半轴交于点 B,OAOB,过点 A 作 x 轴的垂线与过点 O 的 直线相交于点 C,直线 OC 的解析式为 y 3 4 x,过点 C 作 CMy 轴,垂足为 M,OM9 (1)如图 1,求直线 AB 的解析式; (2)如图 2,点 N 在线段 MC 上,连接 ON,点 P 在线段 ON 上,过点 P 作 PDx 轴,垂足为 D, 交 OC 于点
14、 E,若 NCOM,求 PE OD 的值; (3)如图 3,在(2)的条件下,点 F 为线段 AB 上一点,连接 OF,过点 F 作 OF 的垂线交线段 AC 于点 Q,连接 BQ,过点 F 作 x 轴的平行线交 BQ 于点 G,连接 PF 交 x 轴于点 H,连接 EH,若DHE DPH,GQFG2AF,求点 P 的坐标 【答案】解: (1)CMy 轴,OM9, y9 时,9 3 4 x,解得 x12, C(12,9) , ACx 轴, A(12,0) , OAOB, B(0,12) , 设直线 AB 的解析式为 ykx+b,则有 12 120 b kb , 解得 1 12 k b , 直线
15、 AB 的解析式为 yx12 (2)如图 2 中, 第 7 页 共 33 页 CMOMOAOAC90 , 四边形 OACM 是矩形, AOCM12, NCOM9, MNCMNC1293, N(3,9) , 直线 ON 的解析式为 y3x,设点 E 的横坐标为 4a,则 D(4a,0) , OD4a, 把 x4a,代入 y 3 4 x 中,得到 y3a, E(4a,3a) , DE3a, 把 x4a 代入,y3x 中,得到 y12a, P(4a,12a) , PD12a, PEPDDE12a3a9a, PE OD 9 4 (3)如图 3 中,设直线 FG 交 CA 的延长线于 R,交 y 轴于
16、S,过点 F 作 FTOA 于 T GFx 轴, OSRMOA90 ,CAOR90 ,BOABSG90 ,OABAFR, OFRRAOSBSG90 , 四边形 OSRA 是矩形, OSAR, 第 8 页 共 33 页 AROA12, OAOB, OBAOAB45 , FAR90 45 45 , FARAFR, FRAROS, OFFQ, OSRROFQ90 , OFS+QFR90 , QFR+FQR90 , OFSFQR, OFSFQR(AAS) , SFQR, SFBAFR45 , SBFSFB45 , SFSBQR, SGBQGR,BSGR, BSGQRG(AAS) , SGGR6, 设
17、FRm,则 ARm,AF2m,QRSF12m, GQFG2AF, GQ22m+6mm+6, GQ2GR2+QR2, (m+6)262+(12m)2, 解得 m4, FS8,AR4, OABFAR,FTOA,FRAR, FTFRAR4,OTF90 , 四边形 OSFT 是矩形, OTSF8, DHEDPH, tanDHEtanDPH, DE DH DH PD , 由(2)可知 DE3a,PD12a, 3a DH 12 DH a , DH6a, tanPHD PD HD 12 6 a a 2, PHDFHT, tanFHT TF HT 2, HT2, OTOD+DH+HT, 4a+6a+28, a
18、 3 5 , OD 12 5 ,PD123 5 36 5 , 第 9 页 共 33 页 P(12 5 , 36 5 ) 3. (2020 广东深圳中考,12,3 分)如图,矩形纸片 ABCD 中,AB6,BC12将纸片折叠,使 点 B 落在边 AD 的延长线上的点 G 处,折痕为 EF,点 E、F 分别在边 AD 和边 BC 上连接 BG, 交 CD 于点 K,FG 交 CD 于点 H给出以下结论: EFBG; GEGF; GDK 和GKH 的面积相等; 当点 F 与点 C 重合时,DEF75 , 其中正确的结论共有( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】解:如图,连接 BE,
19、设 EF 与 BG 交于点 O, 将纸片折叠,使点 B 落在边 AD 的延长线上的点 G 处, EF 垂直平分 BG, EFBG,BOGO,BEEG,BFFG,故正确, ADBC, EGOFBO, 又EOGBOF, BOFGOE(ASA) , BFEG, BFEGGF,故正确, BEEGBFFG, 四边形 BEGF 是菱形, BEFGEF, 当点 F 与点 C 重合时,则 BFBCBE12, sinAEB AB BE 6 12 1 2 , AEB30 , DEF75 ,故正确, 由题意无法证明GDK 和GKH 的面积相等,故错误; 故选 C 1. (2020 贵州安顺中考,25,12 分)如图
20、,四边形 ABCD 是正方形,点 O 为对角线 AC 的中点 (1)问题解决:如图,连接 BO,分别取 CB,BO 的中点 P,Q,连接 PQ,则 PQ 与 BO 的数量关 系是 ,位置关系是 ; (2)问题探究:如图,AOE 是将图中的AOB 绕点 A 按顺时针方向旋转 45 得到的三角形, 连接 CE,点 P,Q 分别为 CE,BO的中点,连接 PQ,PB判断PQB 的形状,并证明你的结论; (3)拓展延伸:如图,AOE 是将图中的AOB 绕点 A 按逆时针方向旋转 45 得到的三角形, 连接 BO,点 P,Q 分别为 CE,BO的中点,连接 PQ,PB若正方形 ABCD 的边长为 1,求
21、PQB 第 10 页 共 33 页 的面积 【答案】解: (1)点 O 为对角线 AC 的中点, BOAC,BOCO, P 为 BC 的中点,Q 为 BO 的中点, PQOC,PQ 1 2 OC, PQBO,PQ 1 2 BO; 故填 PQ 1 2 BO,PQBO (2)PQB 的形状是等腰直角三角形理由如下: 连接 OP 并延长交 BC 于点 F, 四边形 ABCD 是正方形, ABBC,ABC90 , 将AOB 绕点 A 按顺时针方向旋转 45 得到AOE, AOE 是等腰直角三角形,OEBC,OEOA, OEPFCP,POEPFC, 又点 P 是 CE 的中点, CPEP, OPEFPC
22、(AAS) , OEFCOA,OPFP, ABOACBFC, BOBF, OBF 为等腰直角三角形 BPOF,OPBP, BPO也为等腰直角三角形 又点 Q 为 OB 的中点, PQOB,且 PQBQ, PQB 的形状是等腰直角三角形; (3)延长 OE 交 BC 边于点 G,连接 PG,OP 第 11 页 共 33 页 四边形 ABCD 是正方形,AC 是对角线, ECG45 , 由旋转得,四边形 OABG 是矩形, OGABBC,EGC90 , EGC 为等腰直角三角形 点 P 是 CE 的中点, PCPGPE,CPG90 ,EGP45 , OGPBCP(SAS) , OPGBPC,OPB
23、P, OPGGPBBPCGPB90 , OPB90 , OPB 为等腰直角三角形, 点 Q 是 OB 的中点, PQ 1 2 OBBQ,PQOB, AB1, OA 2 2 , OB 22 ABAO 22 1) 2 2 ( 2 6 , BQ 4 6 S PQB 1 2 BQPQ 1 2 4 6 4 6 16 3 2. (2020 浙江丽水中考,22,10 分)如图,在ABC 中,AB42,B45 ,C60 (1)求 BC 边上的高线长 (2)点 E 为线段 AB 的中点,点 F 在边 AC 上,连结 EF,沿 EF 将AEF 折叠得到PEF 如图 2,当点 P 落在 BC 上时,求AEP 的度数
24、 如图 3,连结 AP,当 PFAC 时,求 AP 的长 【答案】解: (1)如图 1 中,过点 A 作 ADBC 于 D 第 12 页 共 33 页 在 RtABD 中,ADABsin4542 2 2 4 (2)如图 2 中, AEFPEF, AEEP, AEEB, BEEP, EPBB45 , PEB90 , AEP180 90 90 如图 3 中,由(1)可知:AC sin60 AD 8 3 3 , PFAC, PFA90 , AEFPEF, AFEPFE45 , AFEB, EAFCAB, AEFACB, AF AB AE AC ,即 4 2 AF 2 2 8 3 3 , AF23,
25、在 RtAFP,AFFP, 第 13 页 共 33 页 AP2AF26 3. (2020 浙江舟山中考,23,10 分)在一次数学研究性学习中,小兵将两个全等的直角三角形纸片 ABC 和 DEF 拼在一起, 使点 A 与点 F 重合, 点 C 与点 D 重合(如图 1), 其中ACBDFE90 , BCEF3 cm, ACDF4 cm,并进行如下研究活动 活动一:将图 1 中的纸片DEF 沿AC 方向平移,连结AE,BD(如图2),当点F 与点C 重合时停止平 移 【思考】图 2 中的四边形 ABDE 是平行四边形吗?请说明理由 【发现】当纸片 DEF 平移到某一位置时,小兵发现四边形 ABD
26、E 为矩形(如图 3)求 AF 的长 活动二:在图 3 中,取 AD 的中点 O,再将纸片 DEF 绕点 O 顺时针方向旋转 度(090),连 结 OB,OE(如图 4) 【探究】当 EF 平分AEO 时,探究 OF 与 BD 的数量关系,并说明理由 【答案】解: 【思考】四边形 ABDE 是平行四边形 证明:如图,ABCDEF, ABDE,BACEDF, ABDE, 四边形 ABDE 是平行四边形; 【发现】如图 1,连接 BE 交 AD 于点 O, 四边形 ABDE 为矩形, OAODOBOE, 设 AFx(cm),则 OAOE 1 2 (x4), OFOAAF2 1 2 x, 在 RtO
27、FE 中,OF2EF2OE2, 2 1 2 2 x 32 1 4 (x4)2, 解得:x 9 4 , AF 9 4 cm 第 14 页 共 33 页 【探究】BD2OF, 证明:如图 2,延长 OF 交 AE 于点 H, 四边形 ABDE 为矩形, OABOBAODEOED,OAOBOEOD, OBDODB,OAEOEA, ABDBDEDEAEAB360 , ABDBAE180 , AEBD, OHEODB, EF 平分OEH, OEFHEF, EFOEFH90 ,EFEF, EFOEFH(ASA), EOEH,FOFH, EHOEOHOBDODB, EOHOBD(AAS), BDOH2OF
28、4. (2020 湖南常德中考, 26, 10 分) 已知 D 是 RtABC 斜边 AB 的中点, ACB90 , ABC30 , 过点 D 作 RtDEF 使DEF90 ,DFE30 ,连接 CE 并延长 CE 到 P,使 EPCE,连接 BE, FP,BP,设 BC 与 DE 交于 M,PB 与 EF 交于 N (1)如图 1,当 D,B,F 共线时,求证: EBEP; EFP30 ; (2)如图 2,当 D,B,F 不共线时,连接 BF,求证:BFDEFP30 【答案】证明(1)ACB90 ,ABC30 , A90 30 60 , 同理EDF60 , AEDF60 , ACDE, DM
29、BACB90 , D 是 RtABC 斜边 AB 的中点,ACDM, BM BC BD BC 1 2 , 即 M 是 BC 的中点, EPCE,即 E 是 PC 的中点, 第 15 页 共 33 页 EDBP, CBPDMB90 , CBP 是直角三角形, BE 1 2 PCEP; ABCDFE30 , BCEF, 由知:CBP90 , BPEF, EBEP, EF 是线段 BP 的垂直平分线, PFBF, PFEBFE30 ; (2)如图 2,延长 DE 到 Q,使 EQDE,连接 CD,PQ,FQ, ECEP,DECQEP, QEPDEC(SAS), 则 PQDCDB, QEDE,DEF9
30、0 EF 是 DQ 的垂直平分线, QFDF, CDAD, CDAA60 , CDB120 , FDB120 FDC120 (60 EDC)60 EDC60 EQPFQP, FQPFDB(SAS), QFPBFD, EF 是 DQ 的垂直平分线, QFEEFD30 , QFPEFP30 , BFDEFP30 4. (2020 天津中考, 24, 10 分) 将一个直角三角形纸片 OAB 放置在平面直角坐标系中, 点 O (0, 0) , 点 A(2,0) ,点 B 在第一象限,OAB90 ,B30 ,点 P 在边 OB 上(点 P 不与点 O,B 重 合) ()如图,当 OP1 时,求点 P
31、的坐标; ()折叠该纸片,使折痕所在的直线经过点 P,并与 x 轴的正半轴相交于点 Q,且 OQOP,点 O 的对应点为 O,设 OPt 如图,若折叠后OPQ 与OAB 重叠部分为四边形,OP,OQ 分别与边 AB 相交于点 C,D,试 用含有 t 的式子表示 OD 的长,并直接写出 t 的取值范围; 若折叠后OPQ 与OAB 重叠部分的面积为 S, 当 113 时, 求 S 的取值范围 (直接写出结果即可) 第 16 页 共 33 页 【答案】解: ()如图中,过点 P 作 PHOA 于 H OAB90 ,B30 , BOA90 30 60 , OPH90 60 30 , OP1, OH 1
32、 2 OP 1 2 ,PHOPcos30 3 2 , P( 1 2 , 3 2 ) ()如图中, 由折叠可知,OPQOPQ, OPOP,OQOQ, OPOQt, OPOQOPOQ, 四边形 OPOQ 是菱形, QOOB, ADQB30 , A(2,0) , OA2,QA2t, 在 RtAQD 中,DQ2QA42t, ODOQQD3t4, 4 3 t2 当点 O落在 AB 上时,重叠部分是PQO,此时 t 2 3 ,S 3 4 ( 2 3 )2 3 9 , 当 2 3 t2 时,重叠部分是四边形 PQDC,S 3 4 t2 3 8 (3t4)2 7 3 8 t2+33t23, 第 17 页 共
33、33 页 当 x 3 3 7 3 2() 8 12 7 时,S 有最大值,最大值 4 3 4 , 当 t1 时,S 3 4 ,当 t3 时,S 1 2 1 2 3 2 3 8 , 综上所述, 3 8 S 4 3 7 6. (2020 内蒙古鄂尔多斯中考,23,10 分) (1) 【操作发现】 如图 1,在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中,ABC 的三个顶点均在格点上 请按要求画图:将ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 90 ,点 B 的对应点为点 B,点 C 的对应点为 点 C连接 BB; 在中所画图形中,ABB_ (2) 【问题解决】 如图 2,在 RtABC 中,BC1,C90
34、,延长 CA 到 D,使 CD1,将斜边 AB 绕点 A 顺时针旋 转 90 到 AE,连接 DE,求ADE 的度数 (3) 【拓展延伸】 如图 3,在四边形 ABCD 中,AEBC,垂足为 E,BAEADC,BECE1,CD3, ADkAB(k 为常数) ,求 BD 的长(用含 k 的式子表示) 【答案】解: (1)如图,ABC即为所求 由作图可知,ABB是等腰直角三角形, ABB45 , 故填 45 (2)如图 2 中,过点 E 作 EHCD 交 CD 的延长线于点 H CBAEH90 , BCAB90 ,CABEAH90 BEAH ABAE, ABCEAH(AAS) BCAH,EHAC
35、BCCD, 第 18 页 共 33 页 CDAH DHACEH EDH45 ADE135 (3)如图中,AEBC,BEEC, ABAC,将ABD 绕点 A 逆时针旋转得到ACG,连接 DG则 BDCG, BADCAG, BACDAG ABAC,ADAG, ABCACBADGAGD ABCADG ADkAB, DGkBC2k BAEABC90 ,BAEADC, ADGADC90 GDC90 CG 22 DGCD 2 49k BDCG 2 49k 2(2020 贵州安顺中考,25,12 分)如图,四边形 ABCD 是正方形,点 O 为对角线 AC 的中点 (1)问题解决:如图,连接 BO,分别取
36、CB,BO 的中点 P,Q,连接 PQ,则 PQ 与 BO 的数量关 系是 ,位置关系是 ; (2)问题探究:如图,AOE 是将图中的AOB 绕点 A 按顺时针方向旋转 45 得到的三角形, 连接 CE,点 P,Q 分别为 CE,BO的中点,连接 PQ,PB判断PQB 的形状,并证明你的结论; (3)拓展延伸:如图,AOE 是将图中的AOB 绕点 A 按逆时针方向旋转 45 得到的三角形, 连接 BO,点 P,Q 分别为 CE,BO的中点,连接 PQ,PB若正方形 ABCD 的边长为 1,求PQB 的面积 【答案】解: (1)点 O 为对角线 AC 的中点, BOAC,BOCO, P 为 BC
37、 的中点,Q 为 BO 的中点, 第 19 页 共 33 页 PQOC,PQ 1 2 OC, PQBO,PQ 1 2 BO; 故填 PQ 1 2 BO,PQBO (2)PQB 的形状是等腰直角三角形理由如下: 连接 OP 并延长交 BC 于点 F, 四边形 ABCD 是正方形, ABBC,ABC90 , 将AOB 绕点 A 按顺时针方向旋转 45 得到AOE, AOE 是等腰直角三角形,OEBC,OEOA, OEPFCP,POEPFC, 又点 P 是 CE 的中点, CPEP, OPEFPC(AAS) , OEFCOA,OPFP, ABOACBFC, BOBF, OBF 为等腰直角三角形 BP
38、OF,OPBP, BPO也为等腰直角三角形 又点 Q 为 OB 的中点, PQOB,且 PQBQ, PQB 的形状是等腰直角三角形; (3)延长 OE 交 BC 边于点 G,连接 PG,OP 四边形 ABCD 是正方形,AC 是对角线, ECG45 , 由旋转得,四边形 OABG 是矩形, OGABBC,EGC90 , 第 20 页 共 33 页 EGC 为等腰直角三角形 点 P 是 CE 的中点, PCPGPE,CPG90 ,EGP45 , OGPBCP(SAS) , OPGBPC,OPBP, OPGGPBBPCGPB90 , OPB90 , OPB 为等腰直角三角形, 点 Q 是 OB 的
39、中点, PQ 1 2 OBBQ,PQOB, AB1, OA 2 2 , OB 22 ABAO 22 1) 2 2 ( 2 6 , BQ 4 6 S PQB 1 2 BQPQ 1 2 4 6 4 6 16 3 3(2020 黑龙江龙东中考,26,8 分)以 RtABC 的两边 AB、AC 为边,向外作正方形 ABDE 和正 方形 ACFG,连接 EG,过点 A 作 AMBC 于 M,延长 MA 交 EG 于点 N (1)如图,若BAC90 ,ABAC,易证:ENGN; (2)如图,BAC90 ;如图,BAC90, (1)中结论,是否成立,若成立,选择一个图形 进行证明;若不成立,写出你的结论,并
40、说明理由 【答案】解: (1)证明:BAC90 ,ABAC, ACB45 , AMBC, MAC45 , EANMAC45 , 同理NAG45 , EANNAG, 四边形 ABDE 和四边形 ACFG 为正方形, AEABACAG, ENGN (2)如图 1,BAC90 时, (1)中结论成立 第 21 页 共 33 页 理由:过点 E 作 EPAN 交 AN 的延长线于 P,过点 G 作 GQAM 于 Q, 四边形 ABDE 是正方形, ABAE,BAE90 , EAPBAM180 90 90 , AMBC, ABMBAM90 , ABMEAP, 在ABM 和EAP 中, , ,90 , A
41、EAB PAMB EAPABM ABMEAP(AAS) , EPAM, 同理可得:GQAM, EPGQ, 在EPN 和GQN 中, , , , GQEP GNQENP NQGP EPNGQN(AAS) , ENNG 如图 2,BAC90时, (1)中结论成立 理由:过点 E 作 EPAN 交 AN 的延长线于 P,过点 G 作 GQAM 于 Q, 四边形 ABDE 是正方形, ABAE,BAE90 , EAPBAM180 90 90 , AMBC, ABMBAM90 , ABMEAP, 在ABM 和EAP 中, , ,90 , AEAB PAMB EAPABM 第 22 页 共 33 页 AB
42、MEAP(AAS) , EPAM, 同理可得:GQAM, EPGQ, 在EPN 和GQN 中, , , , GQEP GNQENP NQGP EPNGQN(AAS) , ENNG 1. (2020 山东临沂中考,26,13 分)如图,菱形 ABCD 的边长为 1,ABC60 ,点 E 是边 AB 上 任意一点(端点除外) ,线段 CE 的垂直平分线交 BD,CE 分别于点 F,G,AE,EF 的中点分别为 M,N (1)求证:AFEF; (2)求 MN+NG 的最小值; (3)当点 E 在 AB 上运动时,CEF 的大小是否变化?为什么? 【答案】解: (1)连接 CF, FG 垂直平分 CE
43、, CFEF, 四边形 ABCD 为菱形, A 和 C 关于对角线 BD 对称, CFAF, AFEF; (2)连接 AC, M 和 N 分别是 AE 和 EF 的中点,点 G 为 CE 中点, MN 1 2 AF,NG 1 2 CF,即 MN+NG 1 2 (AF+CF) , 当点 F 与菱形 ABCD 对角线交点 O 重合时, AF+CF 最小,即此时 MN+NG 最小, 菱形 ABCD 边长为 1,ABC60 , ABC 为等边三角形,ACAB1, 即 MN+NG 的最小值为 1 2 ; 第 23 页 共 33 页 (3)不变,理由是: 延长 EF,交 DC 于 H, CFHFCE+FE
44、C,AFHFAE+FEA, AFCFCE+FEC+FAE+FEA, 点 F 在菱形 ABCD 对角线 BD 上,根据菱形的对称性可得: AFDCFD 1 2 AFC, AFCFEF, AEFEAF,FECFCE, AFDFAE+ABFFAE+CEF, ABFCEF, ABC60 , ABFCEF30 ,为定值 2. (2020 吉林,25,10 分)如图,ABC 是等边三角形,AB4cm,动点 P 从点 A 出发,以 2cm/s 的速度沿 AB 向点 B 匀速运动,过点 P 作 PQAB,交折线 ACCB 于点 Q,以 PQ 为边作等边三 角形 PQD,使点 A,D 在 PQ 异侧设点 P 的
45、运动时间为 x(s) (0 x2) ,PQD 与ABC 重叠 部分图形的面积为 y(cm2) (1)AP 的长为 cm(用含 x 的代数式表示) (2)当点 D 落在边 BC 上时,求 x 的值 (3)求 y 关于 x 的函数解析式,并写出自变量 x 的取值范围 【答案】解: (1)动点 P 从点 A 出发,以 2cm/s 的速度沿 AB 向点 B 匀速运动, AP 的长为 2xcm; 故填 2x; (2)当点 D 落在 BC 上时,如图 1, BPABAP42x, PQAB, QPA90 , PQD 等边三角形,ABC 是等边三角形, ABDPQ60 , 第 24 页 共 33 页 BPD3
46、0 , PDB90 , PDBC, APQBDP(AAS) , BDAP2x, BP2BD, 42x4x, 解得 x 2 3 ; (3)如图 2,当 0 x 2 3 时, 在 RtAPQ 中,AP2x,A60 , PQAPtan6023x, PQD 等边三角形, SPQD 1 2 23x3x33x2cm2, 所以 y33x2; 如图 3,当点 Q 运动到与点 C 重合时, 此时 CPAB, 所以 AP 1 2 AB,即 2x2, 解得 x1, 所以当 2 3 x1 时,如图 4,设 PD、QD 与 BC 分别相交于点 G、H, AP2x, BP42x,AQ2AP4x, BG 1 2 BP2x
47、第 25 页 共 33 页 PG3BG3(2x) , S PBG 1 2 BGPG 3 2 (2x)2, AQ2AP4x, CQACAQ44x, QH3CQ3(44x) , SQCH 1 2 CQQH 3 2 (44x)2, S ABC 1 2 4 2343, S四边形PGHQS ABC S PBG SQCH 43 3 2 (2x)2 3 2 (44x)2 17 3 2 x2+183x63, 所以 y17 3 2 x2+183x63; 如图 5,当 1x2 时,点 Q 运动到 BC 边上, 设 PD 与 BC 相交于点 G, 此时 PGBPsin60(42x) 3 2 3(2x) , PB42
48、x, BQ2BP2(42x)4(2x) , BG 1 2 BP2x, QGBQBG3(2x) , 重叠部分的面积为: SPQG 1 2 PGQG 1 2 3(2x)3(2x) 3 3 2 (2x)2 所以 y 3 3 2 (2x)2 综上所述:y 关于 x 的函数解析式为: 当 0 x 2 3 时,y33x2; 当 2 3 x1 时,y17 3 2 x2+183x63; 当 1x2 时,y 3 3 2 (2x)2 4.(2020 辽宁营口中考,25,14 分)如图,在矩形 ABCD 中,ADkAB(k0) ,点 E 是线段 CB 延 长线上的一个动点,连接 AE,过点 A 作 AFAE 交射线 DC 于点 F (1)如图 1,若 k1,