高中数学人教A版（课件）必修四 第二章 平面向量 2.4.1 .ppt

1、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1平面向量的数量积(重点) 2平面向量的数量积的几何意义(难点) 3向量的数量积与实数的乘法的区别(易混点) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 基础 初探 教材整理 1 向量数量积的定义及性质 阅读教材 P103P104“例 1”以上内容，完成下列问题 1向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b，它们的夹角为 ，我们把数量_叫 做 a

2、与 b 的_(或_)，记作_，即_ 规定零向量与任一向量的数量积为_ |a|b|cos 数量积 内积 a b a b|a|b|cos 0 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2向量的数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量， 为 a 与 b 的夹角 (1)ab_ (2)当 a 与 b 同向时，a b_； 当 a 与 b 反向时，a b_ (3)a a_或|a| a a a2. (4)cos a b |a|b|. (5)|a b|a|b|. a b0 |a|b| |a|b| |a|2 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 判断(正确的打“”，错误的打“”) (1)向量的夹角和直线的倾

3、斜角的范围相同( ) (2)两个向量的数量积是向量( ) (3)设向量 a 与 b 的夹角为 ，则：cos 0a b0.( ) 【解析】 (1).因向量的夹角包括 180，直线的倾斜角不包括 180. (2).因两个向量的数量积没有方向，不是向量 (3).由数量积的定义可知 【答案】 (1) (2) (3) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 教材整理 2 向量的数量积的几何意义及运算律 阅读教材 P104例 1 以下至 P105例 2 以上内容，完成下列问题 1向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念 如图 241 所示：OA a，OB b，过 B 作 BB1垂直于直线 OA，垂足为

4、B1，则 OB1_ _叫做向量 b 在 a 方向上的投影，_叫做向量 a 在 b 方向上的投影 图 241 |b|cos |b|cos |a|cos 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (2)数量积的几何意义： a b 的几何意义是数量积 a b 等于_与 b 在 a 的方向上的投影 _的乘积 2向量数量积的运算律 (1)a b_(交换律) (2)(a) b_(结合律) (3)(ab) c_(分配律) a的长度|a| |b|cos b a (a b) a (b) a cb c 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 已知|a|3，向量 a 与 b 的夹角为 3 ，则 a 在 b 方向上

5、的投影为_ 【解析】 向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos 3cos 3 3 2. 【答案】 3 2 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 质疑 手记 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： 解惑： 疑问 2： 解惑： 疑问 3： 解惑： 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 小组合作型 与向量数量积有关的概念 (1)以下四种说法中正确的是_ 如果 a b0，则 a0 或 b0； 如果向量 a 与 b 满足 a b0，因此错； |b|cos 表示向量 b 在向量 a 方向上的投影的数量， 而非投影长， 故错 综 上可知正确 【答案】 上一页上一页返

6、回首页返回首页下一页下一页 数量积的基本运算 已知|a|4，|b|5，当(1)ab；(2)ab；(3)a 与 b 的夹角为 135 时，分别求 a 与 b 的数量积. 【导学号：00680054】 【精彩点拨】 (1)当 ab 时，a 与 b 夹角可能为 0或 180.(2)当 ab 时，a 与 b 夹角为 90.(3)若 a 与 b 夹角及模已知时可利用 a b|a| |b| cos ( 为 a，b 夹角)求值 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 设向量 a 与 b 的夹角为 ， (1)ab 时，有两种情况： 若 a 和 b 同向，则 0，a b|a|b|20； 若 a

7、与 b 反向，则 180，a b|a|b|20. (2)当 ab 时，90， a b0. (3)当 a 与 b 夹角为 135时， a b|a|b|cos 13510 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1求平面向量数量积的步骤是：求 a 与 b 的夹角 ，0，；分 别求|a|和|b|；求数量积，即 a b|a|b|cos . 2非零向量 a 与 b 共线的条件是 a b |a|b|. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 2已知正三角形 ABC 的边长为 1，求： (1)AB AC ；(2)AB BC ； (3)BC AC . 图 242 【解】 (1)AB 与AC

8、 的夹角为 60， AB AC |AB |AC |cos 60 111 2 1 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (2)AB 与BC 的夹角为 120， AB BC |AB |BC |cos 120 11 1 2 1 2. (3)BC 与AC 的夹角为 60， BC AC |BC |AC |cos 60111 2 1 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 与向量模有关的问题 已知向量 a 与 b 的夹角为 120，且|a|4，|b|2，求：(1)|ab|； (2)|(ab) (a2b)|. 【精彩点拨】 利用 a aa2或|a| a2求解 上一页上一页返回首页返回首页下

9、一页下一页 【自主解答】 由已知 a b|a|b|cos 42cos 1204，a2|a|2 16，b2|b|24. (1)|ab|2(ab)2a22a bb2162(4)412，|ab| 2 3. (2)(ab) (a2b)a2a b2b216(4)2412，|(ab) (a 2b)|12. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1此类求模问题一般转化为求模平方，与数量积联系 2 利用 a aa2|a|2或|a| a2， 可以实现实数运算与向量运算的相互转化 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 3题干条件不变，求|ab|. 【解】 因为|a|4，|b|2，且 a 与 b

10、的夹角 120. 所以|ab| （ab）2 a22a bb2 42242cos 120222 7， 所以|ab|2 7. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究共研型 平面向量数量积的性质 探究 1 设 a 与 b 都是非零向量， 若 ab， 则 a b 等于多少？反之成立吗？ 【提示】 aba b0. 探究 2 当 a 与 b 同向时， a b 等于什么？当 a 与 b 反向时， a b 等于什么？ 特别地，a a 等于什么？ 【提示】 当 a 与 b 同向时， a b|a|b|； 当 a 与 b 反向时， a b|a|b|； a a a2|a|2或|a| a a. 上一页上一页返回

11、首页返回首页下一页下一页 探究 3 |a b|与|a|b|的大小关系如何？为什么？对于向量 a，b，如何求它们 的夹角 ？ 【提示】 |a b|a|b|，设 a 与 b 的夹角为 ，则 a b|a|b|cos . 两边取绝对值得： |a b|a|b|cos |a|b|. 当且仅当|cos |1， 即 cos 1，0 或时，取“”， 所以|a b|a|b|. cos a b |a|b|. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 已知|a|3，|b|2，向量 a，b 的夹角为 60，c3a5b，dma 3b，求当 m 为何值时，c 与 d 垂直？ 【精彩点拨】 由条件计算 a b，当 cd 时，

12、cd0 列方程求解 m. 【自主解答】 由已知得 a b32cos 603. 由 cd，知 c d0， 即 c d(3a5b) (ma3b)3ma2(5m9)a b15b2 27m3(5m9)6042m870， m29 14，即 m 29 14时，c 与 d 垂直 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1已知非零向量 a，b，若 ab，则 a b0，反之也成立 2设 a 与 b 夹角为 ，利用公式 cos a b |a|b|可求夹角 ，求解时注意向 量夹角 的取值范围 0， 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 4若非零向量 a，b 满足|a|3|b|a2b|，则 a 与 b

13、 夹角的余弦值为 _ 【解】 设 a 与 b 夹角为 ，因为|a|3|b|， 所以|a|29|b|2， 又|a|a2b|，所以|a|2|a|24|b|24a b |a|24|b|24|a| |b| cos 13|b|212|b|2cos ， 即 9|b|213|b|212|b|2cos ，故有 cos 1 3. 【答案】 1 3 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 构建 体系 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1在ABC 中，BC5，AC8，C60，则BC CA ( ) A20 B20 C20 3 D20 3 【解析】 BC CA |BC |CA |cos 12058 1 2 2

14、0. 【答案】 B 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2设 e1，e2是两个平行的单位向量则下面的结果正确的是( ) Ae1e21 Be1e21 C|e1e2|1 D|e1e2|1 【解析】 e1e2|e1|e2|cos 1. 【答案】 C 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 3在ABC 中，AB a，BC b，且 b a0，则ABC 是( ) A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D无法确定 【解析】 在ABC 中， 因为 b a0， 所以 ba， 故ABC 为直角三角形 【答案】 C 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 4已知|a|4，e 为单位向量，a 在 e 方

15、向上的投影为2，则 a 与 e 的夹 角为_. 【导学号：00680055】 【解析】 因为 a 在 e 方向上的投影为2， 即|a|cos2， 所以 cos2 |a| 1 2，120. 【答案】 120 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 5已知 a b20，|a|5，求 b 在 a 方向上的投影的大小 【解】 设 a，b 的夹角为 ， 则 b 在 a 方向上的投影就是|b|cos ， 因为|a|b|cos a b20， 所以|b|cos 20 |a| 20 5 4， 即 b 在 a 方向上的投影是 4. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 学业分层测评学业分层测评 点击图标进入点击图标进入