高中数学人教A版(课件)必修四 第二章 平面向量 2.4.1 .ppt

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1、上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 阶阶 段段 一一 阶阶 段段 二二 阶阶 段段 三三 学学 业业 分分 层层 测测 评评 2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1平面向量的数量积(重点) 2平面向量的数量积的几何意义(难点) 3向量的数量积与实数的乘法的区别(易混点) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 基础 初探 教材整理 1 向量数量积的定义及性质 阅读教材 P103P104“例 1”以上内容,完成下列问题 1向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 ,我们把数量_叫 做 a

2、与 b 的_(或_),记作_,即_ 规定零向量与任一向量的数量积为_ |a|b|cos 数量积 内积 a b a b|a|b|cos 0 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2向量的数量积的性质 设 a 与 b 都是非零向量, 为 a 与 b 的夹角 (1)ab_ (2)当 a 与 b 同向时,a b_; 当 a 与 b 反向时,a b_ (3)a a_或|a| a a a2. (4)cos a b |a|b|. (5)|a b|a|b|. a b0 |a|b| |a|b| |a|2 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 判断(正确的打“”,错误的打“”) (1)向量的夹角和直线的倾

3、斜角的范围相同( ) (2)两个向量的数量积是向量( ) (3)设向量 a 与 b 的夹角为 ,则:cos 0a b0.( ) 【解析】 (1).因向量的夹角包括 180,直线的倾斜角不包括 180. (2).因两个向量的数量积没有方向,不是向量 (3).由数量积的定义可知 【答案】 (1) (2) (3) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 教材整理 2 向量的数量积的几何意义及运算律 阅读教材 P104例 1 以下至 P105例 2 以上内容,完成下列问题 1向量的数量积的几何意义 (1)投影的概念 如图 241 所示:OA a,OB b,过 B 作 BB1垂直于直线 OA,垂足为

4、B1,则 OB1_ _叫做向量 b 在 a 方向上的投影,_叫做向量 a 在 b 方向上的投影 图 241 |b|cos |b|cos |a|cos 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (2)数量积的几何意义: a b 的几何意义是数量积 a b 等于_与 b 在 a 的方向上的投影 _的乘积 2向量数量积的运算律 (1)a b_(交换律) (2)(a) b_(结合律) (3)(ab) c_(分配律) a的长度|a| |b|cos b a (a b) a (b) a cb c 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 已知|a|3,向量 a 与 b 的夹角为 3 ,则 a 在 b 方向上

5、的投影为_ 【解析】 向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos 3cos 3 3 2. 【答案】 3 2 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 质疑 手记 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑: 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 小组合作型 与向量数量积有关的概念 (1)以下四种说法中正确的是_ 如果 a b0,则 a0 或 b0; 如果向量 a 与 b 满足 a b0,因此错; |b|cos 表示向量 b 在向量 a 方向上的投影的数量, 而非投影长, 故错 综 上可知正确 【答案】 上一页上一页返

6、回首页返回首页下一页下一页 数量积的基本运算 已知|a|4,|b|5,当(1)ab;(2)ab;(3)a 与 b 的夹角为 135 时,分别求 a 与 b 的数量积. 【导学号:00680054】 【精彩点拨】 (1)当 ab 时,a 与 b 夹角可能为 0或 180.(2)当 ab 时,a 与 b 夹角为 90.(3)若 a 与 b 夹角及模已知时可利用 a b|a| |b| cos ( 为 a,b 夹角)求值 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 【自主解答】 设向量 a 与 b 的夹角为 , (1)ab 时,有两种情况: 若 a 和 b 同向,则 0,a b|a|b|20; 若 a

7、与 b 反向,则 180,a b|a|b|20. (2)当 ab 时,90, a b0. (3)当 a 与 b 夹角为 135时, a b|a|b|cos 13510 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1求平面向量数量积的步骤是:求 a 与 b 的夹角 ,0,;分 别求|a|和|b|;求数量积,即 a b|a|b|cos . 2非零向量 a 与 b 共线的条件是 a b |a|b|. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 2已知正三角形 ABC 的边长为 1,求: (1)AB AC ;(2)AB BC ; (3)BC AC . 图 242 【解】 (1)AB 与AC

8、 的夹角为 60, AB AC |AB |AC |cos 60 111 2 1 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 (2)AB 与BC 的夹角为 120, AB BC |AB |BC |cos 120 11 1 2 1 2. (3)BC 与AC 的夹角为 60, BC AC |BC |AC |cos 60111 2 1 2. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 与向量模有关的问题 已知向量 a 与 b 的夹角为 120,且|a|4,|b|2,求:(1)|ab|; (2)|(ab) (a2b)|. 【精彩点拨】 利用 a aa2或|a| a2求解 上一页上一页返回首页返回首页下

9、一页下一页 【自主解答】 由已知 a b|a|b|cos 42cos 1204,a2|a|2 16,b2|b|24. (1)|ab|2(ab)2a22a bb2162(4)412,|ab| 2 3. (2)(ab) (a2b)a2a b2b216(4)2412,|(ab) (a 2b)|12. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1此类求模问题一般转化为求模平方,与数量积联系 2 利用 a aa2|a|2或|a| a2, 可以实现实数运算与向量运算的相互转化 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 3题干条件不变,求|ab|. 【解】 因为|a|4,|b|2,且 a 与 b

10、的夹角 120. 所以|ab| (ab)2 a22a bb2 42242cos 120222 7, 所以|ab|2 7. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 探究共研型 平面向量数量积的性质 探究 1 设 a 与 b 都是非零向量, 若 ab, 则 a b 等于多少?反之成立吗? 【提示】 aba b0. 探究 2 当 a 与 b 同向时, a b 等于什么?当 a 与 b 反向时, a b 等于什么? 特别地,a a 等于什么? 【提示】 当 a 与 b 同向时, a b|a|b|; 当 a 与 b 反向时, a b|a|b|; a a a2|a|2或|a| a a. 上一页上一页返回

11、首页返回首页下一页下一页 探究 3 |a b|与|a|b|的大小关系如何?为什么?对于向量 a,b,如何求它们 的夹角 ? 【提示】 |a b|a|b|,设 a 与 b 的夹角为 ,则 a b|a|b|cos . 两边取绝对值得: |a b|a|b|cos |a|b|. 当且仅当|cos |1, 即 cos 1,0 或时,取“”, 所以|a b|a|b|. cos a b |a|b|. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 已知|a|3,|b|2,向量 a,b 的夹角为 60,c3a5b,dma 3b,求当 m 为何值时,c 与 d 垂直? 【精彩点拨】 由条件计算 a b,当 cd 时,

12、cd0 列方程求解 m. 【自主解答】 由已知得 a b32cos 603. 由 cd,知 c d0, 即 c d(3a5b) (ma3b)3ma2(5m9)a b15b2 27m3(5m9)6042m870, m29 14,即 m 29 14时,c 与 d 垂直 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1已知非零向量 a,b,若 ab,则 a b0,反之也成立 2设 a 与 b 夹角为 ,利用公式 cos a b |a|b|可求夹角 ,求解时注意向 量夹角 的取值范围 0, 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 再练一题 4若非零向量 a,b 满足|a|3|b|a2b|,则 a 与 b

13、 夹角的余弦值为 _ 【解】 设 a 与 b 夹角为 ,因为|a|3|b|, 所以|a|29|b|2, 又|a|a2b|,所以|a|2|a|24|b|24a b |a|24|b|24|a| |b| cos 13|b|212|b|2cos , 即 9|b|213|b|212|b|2cos ,故有 cos 1 3. 【答案】 1 3 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 构建 体系 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 1在ABC 中,BC5,AC8,C60,则BC CA ( ) A20 B20 C20 3 D20 3 【解析】 BC CA |BC |CA |cos 12058 1 2 2

14、0. 【答案】 B 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 2设 e1,e2是两个平行的单位向量则下面的结果正确的是( ) Ae1e21 Be1e21 C|e1e2|1 D|e1e2|1 【解析】 e1e2|e1|e2|cos 1. 【答案】 C 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 3在ABC 中,AB a,BC b,且 b a0,则ABC 是( ) A锐角三角形 B钝角三角形 C直角三角形 D无法确定 【解析】 在ABC 中, 因为 b a0, 所以 ba, 故ABC 为直角三角形 【答案】 C 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 4已知|a|4,e 为单位向量,a 在 e 方

15、向上的投影为2,则 a 与 e 的夹 角为_. 【导学号:00680055】 【解析】 因为 a 在 e 方向上的投影为2, 即|a|cos2, 所以 cos2 |a| 1 2,120. 【答案】 120 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 5已知 a b20,|a|5,求 b 在 a 方向上的投影的大小 【解】 设 a,b 的夹角为 , 则 b 在 a 方向上的投影就是|b|cos , 因为|a|b|cos a b20, 所以|b|cos 20 |a| 20 5 4, 即 b 在 a 方向上的投影是 4. 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 我还有这些不足: (1) (2) 我的课下提升方案: (1) (2) 上一页上一页返回首页返回首页下一页下一页 学业分层测评学业分层测评 点击图标进入点击图标进入

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