1、 - 1 - 2017-2018 学年度第一学期期中考试 高三理科数学试题 第 I卷（选择题） 一 、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分，每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的） 1设集合 A y|y 2x， x R， B x|x2 10， x ， xb0)， F1， F2为左、右焦点， B 为短轴端点，且 S BF1F2 4，离心率为 22 ， O为坐标原点 (1)求椭圆 C的方程； (2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 C恒有两个交点 M， N，且满足 |OM ON| |OM ON|？若存在，求出该圆的方程，若不存在，说 明理由 -
2、 4 - 21已知函数 f(x) x 1e2x . (1)当 x0 时， f(x) m2x 1(m0)恒成立，求实数 m的取值范围； (2)求证： f(x)ln xb0)，由题意 得 S BF1F2122 c b 4， eca22 ，a2 b2 c2， 所以? a2 8，b2 4， 椭圆 C的方程为x28y24 1. (2)假设存在圆心在原点的圆 x2 y2 r2，使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交点 M， N，且满足 |OM ON| |OM ON|，则有 OM ON 0， 设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，当切线斜率存在时，设该圆的切线方程为 y kx m，解方程组-
3、7 - ? y kx m，x28y24 1，得 x2 2(kx m)2 8，即 (1 2k2)x2 4kmx 2m2 8 0， 则 16k2m2 4(1 2k2)(2m2 8) 8(8k2 m2 4)0，即 8k2 m2 40， x1,2 4km 16k2m2 2k2 m2 2k2 ， x1 x24km1 2k2， x1x22m2 81 2k2， y1y2 (kx1 m)(kx2 m) k2x1x2 km(x1 x2) m2 k2 m21 2k2 4k2m21 2k2 m2 m2 8k21 2k2， 要使 OM ON 0，需 x1x2 y1y2 0， 即 2m2 81 2k2m2 8k21 2
4、k2 0， 所以 3m2 8k2 8 0，所以 k2 3m2 88 0 ， 又 8k2 m2 40，所以? m22，3m28 ， 所以 m2 83，即 m2 63 或 m 2 63 ， 因为直线 y kx m为圆心在原点的圆的一条切线， 所以圆的半径为 r |m|1 k2， r2 m21 k2m21 3m2 88 83， r 2 63 ，所求的圆为 x2 y2 83， 此时圆的切线 y kx m都满足 m 2 63 或 m 2 63 ， 而当切线的斜率不存在时，切线为 x 2 63 ，与椭圆 x28y24 1的两个交点为 ?2 63 ， 2 63 或? 2 63 ， 2 63 ，满足 OM O
5、N 0.综上，存在圆心在原点的圆 x2 y2 83满足条件 21.(1) x0 ， f(x) m2x 1(m0)恒成立， m2 x2e2x 0在 x0 时恒成立，即 mx 1ex 在 x0 时恒成立 令 g(x) x 1ex (x0) ，即 g( x) xex 0 ， g(x)在 0， ) 上单调递减， g(x)max g(0) 1， m的 取值范围是 1， ) (2)证明：要证 f(x)ln x0， x 10，只需证 ln x0， 必有 x0 (1,2)，使得 h( x0) 0，即 ex0 2 1x0 0， x0 2 ln x0. h(x)在 (0， x0)上是减函数，在 (x0， ) 上是增函数， h(x)min h(x0) ex0 2ln x0 - 8 - 1x0 x0 2 x02x0 0， ex 2 ln x0，即 ln xex 2. 故 f(x)ln xx 1ex 2 . 22.(1)设 为圆上的任意一点，在已知的变换下变为 上的点 ， 则有 （ 2）曲线 C化为极坐标方程得： ，设 A（ ）， B（ ）， 则 |OA|= ， |OB|= = = = . 23.（ ）当 时， ， 当 时，不等式等价于 ，解得 ， ； 当 时，不等式等价于 ，即 ， 解集为空集； 当 时，不等式等价于 ，解得 ， 故原不等式的解集为 （ ） ， 原命题等价于 ，即 ，
