1、 - 1 - 2017-2018 学年度第一学期期中考试 高三理科数学试题 第 I卷(选择题) 一 、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5分,共 60 分,每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1设集合 A y|y 2x, x R, B x|x2 10, x , xb0), F1, F2为左、右焦点, B 为短轴端点,且 S BF1F2 4,离心率为 22 , O为坐标原点 (1)求椭圆 C的方程; (2)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆 C恒有两个交点 M, N,且满足 |OM ON| |OM ON|?若存在,求出该圆的方程,若不存在,说 明理由 -
2、 4 - 21已知函数 f(x) x 1e2x . (1)当 x0 时, f(x) m2x 1(m0)恒成立,求实数 m的取值范围; (2)求证: f(x)ln xb0),由题意 得 S BF1F2122 c b 4, eca22 ,a2 b2 c2, 所以? a2 8,b2 4, 椭圆 C的方程为x28y24 1. (2)假设存在圆心在原点的圆 x2 y2 r2,使得该圆的任意一条切线与椭圆 C 恒有两个交点 M, N,且满足 |OM ON| |OM ON|,则有 OM ON 0, 设 M(x1, y1), N(x2, y2),当切线斜率存在时,设该圆的切线方程为 y kx m,解方程组-
3、7 - ? y kx m,x28y24 1,得 x2 2(kx m)2 8,即 (1 2k2)x2 4kmx 2m2 8 0, 则 16k2m2 4(1 2k2)(2m2 8) 8(8k2 m2 4)0,即 8k2 m2 40, x1,2 4km 16k2m2 2k2 m2 2k2 , x1 x24km1 2k2, x1x22m2 81 2k2, y1y2 (kx1 m)(kx2 m) k2x1x2 km(x1 x2) m2 k2 m21 2k2 4k2m21 2k2 m2 m2 8k21 2k2, 要使 OM ON 0,需 x1x2 y1y2 0, 即 2m2 81 2k2m2 8k21 2
4、k2 0, 所以 3m2 8k2 8 0,所以 k2 3m2 88 0 , 又 8k2 m2 40,所以? m22,3m28 , 所以 m2 83,即 m2 63 或 m 2 63 , 因为直线 y kx m为圆心在原点的圆的一条切线, 所以圆的半径为 r |m|1 k2, r2 m21 k2m21 3m2 88 83, r 2 63 ,所求的圆为 x2 y2 83, 此时圆的切线 y kx m都满足 m 2 63 或 m 2 63 , 而当切线的斜率不存在时,切线为 x 2 63 ,与椭圆 x28y24 1的两个交点为 ?2 63 , 2 63 或? 2 63 , 2 63 ,满足 OM O
5、N 0.综上,存在圆心在原点的圆 x2 y2 83满足条件 21.(1) x0 , f(x) m2x 1(m0)恒成立, m2 x2e2x 0在 x0 时恒成立,即 mx 1ex 在 x0 时恒成立 令 g(x) x 1ex (x0) ,即 g( x) xex 0 , g(x)在 0, ) 上单调递减, g(x)max g(0) 1, m的 取值范围是 1, ) (2)证明:要证 f(x)ln x0, x 10,只需证 ln x0, 必有 x0 (1,2),使得 h( x0) 0,即 ex0 2 1x0 0, x0 2 ln x0. h(x)在 (0, x0)上是减函数,在 (x0, ) 上是增函数, h(x)min h(x0) ex0 2ln x0 - 8 - 1x0 x0 2 x02x0 0, ex 2 ln x0,即 ln xex 2. 故 f(x)ln xx 1ex 2 . 22.(1)设 为圆上的任意一点,在已知的变换下变为 上的点 , 则有 ( 2)曲线 C化为极坐标方程得: ,设 A( ), B( ), 则 |OA|= , |OB|= = = = . 23.( )当 时, , 当 时,不等式等价于 ,解得 , ; 当 时,不等式等价于 ,即 , 解集为空集; 当 时,不等式等价于 ,解得 , 故原不等式的解集为 ( ) , 原命题等价于 ,即 ,