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广东省湛江市2024届高三下学期4月二模考试 数学 Word版含解析.docx

1、2024年湛江市普通高考第二次模拟测试数 学注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在木试卷上无效。3,考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容;高考全部内容。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则( )A.B.C.D.2.如图,这是一件西周晚期的青铜器,其盛酒的部分可近似视为一个圆台(设上、下底面

2、的半径分别为a厘米,b厘米,高为c厘米),则该青铜器的容积约为(取)( )A.立方厘米B.立方厘米C.立方厘米D.立方厘米3.函数在上的值域为( )A.B.C.D.4.若复数的实部为4,则点的轨迹是( )A.直径为2的圆B.实轴长为2的双曲线C.直径为1的圆D.虚轴长为2的双曲线5.已知,则( )A.-2B.-19C.15D.176.当,时,这个基本不等式可以推广为当时,其中且,.考虑取等号的条件,进而可得当时,.用这个式子估计可以这样操作:,则.用这样的方;法,可得的近似值为( )A.3.033B.3.035C.3.037D.3.0397.已知函数,则( )A.当有2个零点时,只有1个零点B

3、.当有3个零点时,有2个零点C.当有2个零点时,有2个零点D.当有2个零点时,有4个零点8.在四棱锥中,底面为矩形,底面,与底面所成的角分别为,且,则( )A.B.C.D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.广东省湛江市2017年到2022年常住人口变化图如图所示,则( )A.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万B.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势C.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万D.湛江市2

4、017年到2022年这6年的常住人口的中位数为717.02万10.已知函数的定义域为,不恒为零,且,则( )A.B.为偶函数C.在处取得极小值D.若,则11.下列命题为真命题的是( )A.的最小值是2B.的最小值是C.的最小值是D.的最小值是三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.若向量,则_,_,(本题第一空3分,第二空2分)13.财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区,是湛江经济技术开发区的标志性建筑,同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度,小张选取了大厦的一个最高点A,点A在大厦底部的射影为点O,两个测量基点B,C与O在同一水平面上,他测得米,在点B处测得

5、点A的仰角为,在点C处测得点A的仰角为45,则财富汇大厦的高度_米.14.已知,是椭圆C的两个焦点,若C上存在一点P满足,则C的离心率的取值范围是_.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)甲、乙两人进行中国象棋比赛,采用五局三胜制,假设他们没有平局的情况,甲每局赢的概率均为,且每局的胜负相互独立.(1)求该比赛三局定胜负的概率;(2)在甲赢第一局的前提下,设该比赛还需要进行的局数为X,求X的分布列与数学期望16.(15分)如图,在直三棱柱中,为的中点.(1)证明:平面.(2)若以为直径的球的表面积为,求二面角的余弦值.17.(15分)在个数

6、码构成的一个排列中,若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面,则称它们构成逆序(例如,则与构成逆序),这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数,记为,例如,.(1)计算;(2)设数列满足,求的通项公式;(3)设排列满足,求.18.(17分)双曲线:上一点到左、右焦点的距离之差为6.(1)求的方程.(2)已知,过点(5,0)的直线与交于M,N(异于A,B)两点,直线与交于点P,试问点P到直线的距离是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.19.(17分)已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程;(2)若,且,证明:.2024年湛江市普通高考第二次模拟测试数学参考答案1.D【解析】本题

7、考查集合的交集,考查数学运算的核心素养.因为,所以.2.C【解析】本题考查中国古代数学文化与圆台的体积,考查应用意识.该青铜器的容积约为立方厘米.3.B【解析】本题考查三角函数的值域,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.因为,所以,所以,故在上的值域为.4.A【解析】本题考查复数的运算与圆的方程,考查数学运算的核心素养.因为,所以,即,所以点的轨迹是直径为2的圆.5.D【解析】本题考查二项式定理,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.令,得.因为,所以.6.C【解析】本题考查基本不等式的推广,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.,则.7.D【解析】本题考查函数的零点,考查直观想象与逻辑推理的核心素养.

8、作出,的大致图象,如图所示.由图可知,当有2个零点时,无零点或只有1个零点;当有3个零点时,只有1个零点;当有2个零点时,有4个零点.8.B【解析】本题考查线面角与三角恒等变换,考查直观想象与数学运算的核心素养.设,因为,所以,所以,.因为,所以,解得(负根已舍去).9.ACD【解析】本题考查统计,考查数据处理能力.由图可知,B错误.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口按照从小到大的顺序排列为698.12,703.09,703.54,730.50,732.20,736.00,则极差为736-698.1238万,60.6=3.6,所以第60百分位数为730.50万,中位数为万,A,C,D

9、均正确.10.ABD【解析】本题考查抽象函数,考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.令,得,解得或,当时,令,则,则,这与不恒为零矛盾,所以,A正确.令,则,即,为偶函数,B正确.取,满足题意,此时不是的极小值点,C错误.令,得,若,则,则,则,D正确.11.BC【解析】本题考查抛物线定义的应用,考查逻辑推理、直观想象的核心素养及化归与转化的数学思想.设,易知点P的轨迹是抛物线的上半部分,抛物线的准线为直线,到准线的距离,为抛物线的焦点:所以,所以的最小值为,A错误,B正确.,所以的最小值是,C正确,D错误.12.9;-4【解析】本题考查平面向量的共线问题与对数的运算,考查数学运算的核心素养.因为

10、,所以,解得,所以.13.204【解析】本题考查解三角形的实际应用,考查直观想象与数学运算的核心素养.设米,因为在点B处测得点A的仰角为,所以,则米.因为在点C处测得点A的仰角为45,所以米.由余弦定理,得,即,解得.4. 【解析】本题考查椭圆的定义与几何性质,考查逻辑推理的核心素养.因为,所以,则,所以,则,又,所以C的离心率的取值范围是.15.解:(1)该比赛三局定胜负意味着甲、乙两人前面三局有一人连赢,则该比赛三局定胜负的概率为.(2)的可能取值为2,3,4,,则的分布列为234故.16.(1)证明:连接交于点E,则E为的中点,因为D为的中点,所以,又平面,在平面,所以平面.(2)解:因

11、为,为的中点,所以,且.因为以为直径的球的表面积为,所以,解得.以为坐标原点,的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系,则,设平面的法向量为,则令,得.设平面的法向量为,则令,得.因为,且由图可知,二面角为锐角,所以二面角的余弦值为.17.解:(1)在排列51243中,与5构成逆序的有4个,与1构成逆序的有0个,与2构成逆序的有0个,与4构成逆序的有1个,与3构成逆序的有0个,所以.(2)由(1)中的方法,同理可得,所以,设,得,所以,解得,则.因为,所以数列是首项为1,公比为5的等比数列,所以,则.(3)因为,所以,所以(或),所以.18.解:(1)依题意可得解得,故的方程为.(2)由题意可得直线的斜率不为0,设的方程为,设,联立得,则,.直线:,直线:,联立与,消去得,解得,所以点在定直线上.因为直线与直线之间的距离为,所以点P到直线的距离为定值,且定值为.19.(1)解:由,得,则,.故曲线在点处的切线方程为,即.(2)证明:由,且,不妨设,则证明等价于证明,即证.令,则,当时,单调递减,故,即,则.要证,只需证.令,则.令,得.令,则令,则在上恒成立,则,则在上恒成立,则单调递增.当时,则,则,单调递减,当时,则,则,单调递增.因为,所以,即在上恒成立,从而.12

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