1、2024年湛江市普通高考第二次模拟测试数 学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在木试卷上无效。3，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容；高考全部内容。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（ ）A.B.C.D.2.如图，这是一件西周晚期的青铜器，其盛酒的部分可近似视为一个圆台（设上、下底面
2、的半径分别为a厘米，b厘米，高为c厘米），则该青铜器的容积约为（取）（ ）A.立方厘米B.立方厘米C.立方厘米D.立方厘米3.函数在上的值域为（ ）A.B.C.D.4.若复数的实部为4，则点的轨迹是（ ）A.直径为2的圆B.实轴长为2的双曲线C.直径为1的圆D.虚轴长为2的双曲线5.已知，则（ ）A.-2B.-19C.15D.176.当，时，这个基本不等式可以推广为当时，其中且，.考虑取等号的条件，进而可得当时，.用这个式子估计可以这样操作：，则.用这样的方；法，可得的近似值为（ ）A.3.033B.3.035C.3.037D.3.0397.已知函数，则（ ）A.当有2个零点时，只有1个零点B
3、.当有3个零点时，有2个零点C.当有2个零点时，有2个零点D.当有2个零点时，有4个零点8.在四棱锥中，底面为矩形，底面，与底面所成的角分别为，且，则（ ）A.B.C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.广东省湛江市2017年到2022年常住人口变化图如图所示，则（ ）A.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的极差约为38万B.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口呈递增趋势C.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口的第60百分位数为730.50万D.湛江市2
4、017年到2022年这6年的常住人口的中位数为717.02万10.已知函数的定义域为，不恒为零，且，则（ ）A.B.为偶函数C.在处取得极小值D.若，则11.下列命题为真命题的是（ ）A.的最小值是2B.的最小值是C.的最小值是D.的最小值是三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若向量，则_，_，（本题第一空3分，第二空2分）13.财富汇大厦坐落在广东省湛江市经济技术开发区，是湛江经济技术开发区的标志性建筑，同时也是已建成的粤西第一高楼.为测量财富汇大厦的高度，小张选取了大厦的一个最高点A，点A在大厦底部的射影为点O，两个测量基点B，C与O在同一水平面上，他测得米，在点B处测得
5、点A的仰角为，在点C处测得点A的仰角为45，则财富汇大厦的高度_米.14.已知，是椭圆C的两个焦点，若C上存在一点P满足，则C的离心率的取值范围是_.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）甲、乙两人进行中国象棋比赛，采用五局三胜制，假设他们没有平局的情况，甲每局赢的概率均为，且每局的胜负相互独立.（1）求该比赛三局定胜负的概率；（2）在甲赢第一局的前提下，设该比赛还需要进行的局数为X，求X的分布列与数学期望16.（15分）如图，在直三棱柱中，为的中点.（1）证明：平面.（2）若以为直径的球的表面积为，求二面角的余弦值.17.（15分）在个数
6、码构成的一个排列中，若一个较大的数码排在一个较小的数码的前面，则称它们构成逆序（例如，则与构成逆序），这个排列的所有逆序的总个数称为这个排列的逆序数，记为，例如，.（1）计算；（2）设数列满足，求的通项公式；（3）设排列满足，求.18.（17分）双曲线：上一点到左、右焦点的距离之差为6.（1）求的方程.（2）已知，过点（5，0）的直线与交于M，N（异于A，B）两点，直线与交于点P，试问点P到直线的距离是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.19.（17分）已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）若，且，证明：.2024年湛江市普通高考第二次模拟测试数学参考答案1.D【解析】本题
7、考查集合的交集，考查数学运算的核心素养.因为，所以.2.C【解析】本题考查中国古代数学文化与圆台的体积，考查应用意识.该青铜器的容积约为立方厘米.3.B【解析】本题考查三角函数的值域，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.因为，所以，所以，故在上的值域为.4.A【解析】本题考查复数的运算与圆的方程，考查数学运算的核心素养.因为，所以，即，所以点的轨迹是直径为2的圆.5.D【解析】本题考查二项式定理，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.令，得.因为，所以.6.C【解析】本题考查基本不等式的推广，考查逻辑推理与数学运算的核心素养.，则.7.D【解析】本题考查函数的零点，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.
8、作出，的大致图象，如图所示.由图可知，当有2个零点时，无零点或只有1个零点；当有3个零点时，只有1个零点；当有2个零点时，有4个零点.8.B【解析】本题考查线面角与三角恒等变换，考查直观想象与数学运算的核心素养.设，因为，所以，所以，.因为，所以，解得（负根已舍去）.9.ACD【解析】本题考查统计，考查数据处理能力.由图可知，B错误.湛江市2017年到2022年这6年的常住人口按照从小到大的顺序排列为698.12，703.09，703.54，730.50，732.20，736.00，则极差为736-698.1238万，60.6=3.6，所以第60百分位数为730.50万，中位数为万，A，C，D
9、均正确.10.ABD【解析】本题考查抽象函数，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.令，得，解得或，当时，令，则，则，这与不恒为零矛盾，所以，A正确.令，则，即，为偶函数，B正确.取，满足题意，此时不是的极小值点，C错误.令，得，若，则，则，则，D正确.11.BC【解析】本题考查抛物线定义的应用，考查逻辑推理、直观想象的核心素养及化归与转化的数学思想.设，易知点P的轨迹是抛物线的上半部分，抛物线的准线为直线，到准线的距离，为抛物线的焦点：所以，所以的最小值为，A错误，B正确.，所以的最小值是，C正确，D错误.12.9；-4【解析】本题考查平面向量的共线问题与对数的运算，考查数学运算的核心素养.因为
10、，所以，解得，所以.13.204【解析】本题考查解三角形的实际应用，考查直观想象与数学运算的核心素养.设米，因为在点B处测得点A的仰角为，所以，则米.因为在点C处测得点A的仰角为45，所以米.由余弦定理，得，即，解得.4. 【解析】本题考查椭圆的定义与几何性质，考查逻辑推理的核心素养.因为，所以，则，所以，则，又，所以C的离心率的取值范围是.15.解：（1）该比赛三局定胜负意味着甲、乙两人前面三局有一人连赢，则该比赛三局定胜负的概率为.（2）的可能取值为2，3，4，,则的分布列为234故.16.（1）证明：连接交于点E，则E为的中点，因为D为的中点，所以，又平面，在平面，所以平面.（2）解：因
11、为，为的中点，所以，且.因为以为直径的球的表面积为，所以，解得.以为坐标原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则令，得.设平面的法向量为，则令，得.因为，且由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.17.解：（1）在排列51243中，与5构成逆序的有4个，与1构成逆序的有0个，与2构成逆序的有0个，与4构成逆序的有1个，与3构成逆序的有0个，所以.（2）由（1）中的方法，同理可得，所以，设，得，所以，解得，则.因为，所以数列是首项为1，公比为5的等比数列，所以，则.（3）因为，所以，所以（或），所以.18.解：（1）依题意可得解得，故的方程为.（2）由题意可得直线的斜率不为0，设的方程为，设，联立得，则，.直线：，直线：，联立与，消去得，解得，所以点在定直线上.因为直线与直线之间的距离为，所以点P到直线的距离为定值，且定值为.19.（1）解：由，得，则，.故曲线在点处的切线方程为，即.（2）证明：由，且，不妨设，则证明等价于证明，即证.令，则，当时，单调递减，故，即，则.要证，只需证.令，则.令，得.令，则令，则在上恒成立，则，则在上恒成立，则单调递增.当时，则，则，单调递减，当时，则，则，单调递增.因为，所以，即在上恒成立，从而.12
