1、 考纲展示 考情汇总 备考指导 (1)不等关系 了解现实世界和日常生活 中的不等关系,了解不等 式(组)的实际背景. 本章的重点是应用线性规 划求目标函数的最值,基 本不等式及其应用,难点 是不等式及其性质的综合 应用,解决简单的线性规 划问题时,要注意理解并 应用目标函数的几何意 义,应用基本不等式求最 值时,要注意其使用条件. (2)一元二次不等式 会从实际情境中抽象出 一元二次不等式模型. 通过函数图象了解一元 二次不等式与相应的二次 函数、一元二次方程的联 系. 会解一元二次不等式, 对给定的一元二次不等 式,会设计求解的程序框 图. 2019 年 1 月 T6 (3)二元一次不等式组
2、与 简单线性规划问题 会从实际情境中抽象出 二元一次不等式组. 了解二元一次不等式的 几何意义,能用平面区域 表示二元一次不等式组. 会从实际情境中抽象出 一些简单的二元线性规划 问题,并能加以解决. 2017 年 1 月 T11 2018 年 1 月 T9 2019 年 1 月 T11 2020 年 1 月 T13 (4)基本不等式:ab 2 ab(a0,b0) 了解基本不等式的证明 过程. 会用基本不等式解决简 单的最大(小)值问题. 2017 年 1 月 T13 不等式的性质与解法 基础知识填充 1不等关系及不等式 ab0ab; ab0ab; ab0ab,那么 ba;如果 aa. (2)
3、传递性:如果 ab,bc,那么 ac;如果 ab,bc,那么 ab,那么 acbc. (4)同向可加性:如果 ab,cd,那么 acbd. (5)可乘性:如果 ab,c0,那么 acbc;如果 ab,c0,那么 acb0,cd0,那么 acbd0. (7)乘方性:如果 ab0,那么 anbn(nN,n2) (8)开方性:如果 ab0,那么nanb(nN,n2) 3一元二次不等式的解集 b24ac 0 0 0)的图象 ax2bxc 0(a0)的根 有两个不相等的实 根 有两个相等的实根 没有实根 ax2bxc0(a0) x|xx2 x x b 2a R ax2bxc0) x|x1xx2 学考真题
4、对练 (2019 1 月广东学考)不等式 x290 的解集为( ) Ax|x3 Bx|x3 Cx|x3 Dx|3x3 D x290,x29,3x0(a0)或 ax2bxc0)的形式; (2)计算相应的判别式; (3)当 0 时,求出相应的一元二次方程的根; (4)根据对应的二次函数的图象,写出不等式的解集 最新模拟快练 1(2019 佛山市学考模拟)若集合 Ax|(2x1)(x3)0,Bx|xN*, x5,则 AB 等于( ) A1,2,3 B1,2 C4,5 D1,2,3,4,5 B (2x1)(x3)0,1 2x3,又 xN *且 x5,则 x1,2. 2(2019 珠海市学考模拟)不等式
5、 9x26x10 的解集是( ) A x x1 3 B x 1 3x 1 3 C D x x1 3 D (3x1)20,3x10,x1 3. 3(2019 东莞市学考模拟)设 xa0,则下列不等式一定成立的是( ) Ax2axaxa2 Cx2a2a2ax B xaa2.x2axx(xa)0,x2ax. 又 axa2a(xa)0,axa2.x2axa2. 4(2019 揭阳高二月考)已知 a0,b1,则下列不等式成立的是( ) Aaa b a b2 B a b2 a ba Ca ba a b2 Da b a b2a D 由题意知a b0,b 21,则a b2a.且 a b20,所以 a b a
6、b2a. 5(2018 广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)设 Mx2,Nx1, 则 M 与 N 的大小关系是( ) AMN BMN CM0,MN. 6 (2018 广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)函数 f(x)ln(x2x)的定义 域为( ) A(0,1) B0,1 C(,0)(1,) D(,01,) C 要使函数有意义,需满足 x2x0,解得 x1,故选 C 7(2018 深圳市高一期中)不等式 x22x52x 的解集是( ) Ax|x5 或 x1 Bx|x5 或 x1 Cx|1x0, 即(x5)(x1)0, 得 x5, 故选 B 8(2019 韶关高二期中)当不等式 x2xk0
7、恒成立时,k 的取值范围 为 1 4, 由题意知 0,即 14k1 4,即 k 1 4, . 9(2018 肇庆市学考模拟)关于 x 的不等式(mx1) (x2)0,若此不等式的 解集为 x 1 m x2 ,则 m 的取值范围是 (,0) 由题意得 m0 1 m2 解得 m0,表示直线 AxByC 0 某侧所有点组成的平面区域,其作法分两步: (1)定边界:画直线 AxByC0 确定边界; (2)定区域:取特殊点确定区域 学考真题对练 1(2018 1 月广东学考)若实数 x,y 满足 xy10 xy0 x0 ,则 zx2y 的最小 值为( ) A0 B1 C3 2 D2 D (快速验证法)交
8、点为(0,1),(0,0), 1 2, 1 2 ,则 zx2y 分别为2,0, 3 2,所以 z 的最小值为2,故选 D 2(2019 1 月广东学考)设 x,y 满足约束条件 xy30 xy10, y0 则 zx2y 的 最大值为( ) A5 B3 C1 D4 C xy30 xy10 x1, y2, xy30 y0 x3, y0, xy10 y0 x1, y0. 将三点代入 zx2y 则可得最大值 为 1. 3(2020 1 月广东学考)设 x,y 满足约束条件 y20 xy10 xy10 ,则 zx2y 的最小值是( ) A2 B3 C5 D6 C 由 zx2y 得 y1 2x 1 2z,
9、 作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分): 平移直线 y1 2x 1 2z,由图象可知当直线 y 1 2x 1 2z 过点 C(1,2)时,直线的 截距最大,此时 z 最小, 代入目标函数 zx2y,得 z1225. 目标函数 zx2y 的最小值是5.故选 C 简单线性规划问题的解题步骤 1根据线性约束条件画出可行域 2根据线性目标函数,画出直线 l0:z0. 3平移 l0过特殊点使目标函数取得最大值或最小值(当 y 的系数大于 0 时,越 向上平移 l0,z 越大,越向下平移 l0,z 越小;当 y 的系数小于 0 时,正好相反) 最新模拟快练 1(2019 东莞高二月考)不等式组 x1
10、, xy30, xy30, 表示的平面区域是( ) D 在直角坐标系中,画出直线 x1,xy30,xy30,判断(2,0) 满足不等式组 x1, xy30, xy30, 所以不等式组的可行域为:故选 D 2(2018 广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷(考前压题篇)设 x,y 满足约束条件 x3y3 xy1 y0 ,则 zxy 的最大值为( ) A0 B1 C2 D3 D x,y 满足约束条件 x3y3 xy1 y0 的可行域如图: 则 zxy 经过可行域的 A 时,目标函数取得最大值,由 y0 x3y3 解得 A(3,0), 所以 zxy 的最大值为 3.故选 D 3 (2018 广州
11、市高中二年级学生学业水平模拟测试)已知实数 x, y 满足约束条 件 xy50 xy0 y0 ,则 z2x4y1 的最小值是( ) A14 B1 C5 D9 A 作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线 l0:2x4y0,平移直线 l0, 由图知,当直线 l:z2x4y1 过点 A 时,z 取最小值,解 xy50 xy0 得 A 5 2, 5 2 ,故 zmin14,故选 A 4(2018 江门市学考模拟题)设 x,y 满足约束条件 x10, y2x0, xy30, 则 zx y 的最大值为( ) A3 B1 C1 D5 B yxz,作 l0:yx,当 l0移至 l1,l2两直线交点 H 时截距
12、z 最小,即 z 最大,H(1,2),zmax121. 5(2019 梅州学考模拟)设变量 x,y 满足约束条件 3xy60, xy20, y30, 则目标 函数 zy2x 的最小值为( ) A7 B4 C1 D2 A 可行域如图阴影部分(含边界) 令 z0,得直线 l0:y2x0,平移直线 l0知,当直线 l 过 D 点时,z 取得最 小值由 y3, xy20 得 D(5,3)zmin3257. 6(2018 广东省普通高中数学学业水平考试模拟题)若 x,y 满足约束条件 xy10, x2y0, x2y20, 则 zxy 的最大值为( ) A0 B1 C2 D3 B 如图所示,作出可行域,
13、由目标函数可得 yxz.令 z0,作出直线 yx,结合图形得出直线平 移过 A 点时,截距最大,此时目标函数值最大可得 A(0,1),则 z 最大值为 1,故 本题选 B 7(2019 广州高二期中检测)若 x,y 满足约束条件 x2, y2, xy2, 则 zx2y 的取值范围是 2,6 如图, 作出可行域, 作直线 l: x2y0, 将 l 向右上方平移, 过点 A(2,0) 时,有最小值 2,过点 B(2,2)时,有最大值 6,故 z 的取值范围为2,6 8(2020 广东学考模拟)已知实数 x,y 满足 xy2 xy2 0y3 ,则 z2xy 的最 大值为 7 根据约束条件 xy2 x
14、y2 0y3 画出可行域如图, 得到ABC 及其内部,其中 A(5,3),B(1,3),C(2,0) 平移直线 l:z2xy,得当 l 经过点 A(5,3)时,z 取最大值, z 最大为 2537.故答案为 7. 9(2019 韶关市学考模拟)设 m1,在约束条件 yx ymx xy1 下,目标函数 z x5y 的最大值为 4,则 m 的值为 3 满足约束条件 yx ymx xy1 的平面区域如下图所示: 目标函数 zx5y 可看做斜率为1 5的动直线,其纵截距越大 z 越大,由 ymx xy1 可得 A 点 1 m1, m m1 ,当 x 1 m1,y m m1时,目标函数 zx5y 取最大
15、值为 4,即15m m1 4;解得 m3. 基本不等式的应用 基础知识填充 基本不等式 (1)对任意实数 a,b,我们有 a2b22ab,当且仅当 ab 时,“”成立 (2)若 a0,b0,则 abab 2 ,当且仅当 ab 时,“”成立 学考真题对练 (2017 1 月广东学考)下列不等式一定成立的是( ) Ax1 x2(x0) Bx2 1 x211(xR) Cx212x(xR) Dx25x60(xR) B A 选项:错在 x 可以小于 0; B 选项:x2 1 x21x 21 1 x211 2x21 1 x2111, (当且仅当 x21 1 x21,即 x0 时等号成立) C 选项:x21
16、2x(x1)20,x212x. D 选项:设 yx25x6 可知二次函数与 x 轴有两个交点,其值可以小于 0. 利用基本不等式求最值的方法 (1)利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值,主要有 两种思路: 对条件使用基本不等式,建立所求目标函数的不等式求解 条件变形,进行“1”的代换求目标函数的最值 (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过添项、 分离常数、平方等手段使之能运用基本不等式常用的方法还有:拆项法、变系 数法、凑因子法、分离常数法、换元法、整体代换法等 最新模拟快练 1(2019 佛上高二期末检测) 若 0aab 2 abb Bb aba
17、b 2 a Cbab 2 aba Dbaab 2 ab C 0aab,bab 2 ab. ba0,aba2, aba.故 bab 2 aba. 2(2019 蛇口高二期末检测)已知 x1,y1 且 lg xlg y4,则 lg xlg y 的 最大值是( ) A4 B2 C1 D1 4 A x1,y1,lg x0,lg y0,lg xlg y lg xlg y 2 2 4,当且仅当 lg xlg y2,即 xy100 时取等号 3(2018 佛山市学考模拟)当 a0 时,2a1 a的最小值为( ) A3 B2 2 C2 D 2 B 2a1 a2 2a1 a2 2,当且仅当 2a 1 a,即 a
18、 2 2 时等号成立 4(2018 揭阳学考模拟题)已知 a0,b0,且 a2b8,那么 ab 的最大值等 于( ) A4 B8 C16 D32 B 由 a2b2 2ab得 2 2ab8,即 ab8. 5(2019 惠州学考模拟)已知点 P(x,y)在经过 A(3,0),B(1,1)两点的直线上, 则 2x4y的最小值为( ) A2 2 B4 2 C16 D不存在 B 点 P(x, y)在直线 AB 上, x2y3.2x4y2 2x 4y2 2x 2y4 2. 当且仅当 2x4y,即 x3 2,y 3 4时,等号成立 6(2019 珠海学考模拟)已知 a(x1,2),b(4,y)(x,y 为正实数),若 ab, 则 xy 的最大值是( ) A1 2 B1 2 C1 D1 A ab, 则 a b0, 4(x1)2y0, 2xy2, xy1 2(2x) y 1 2 2 2 21 2,当且仅当 2xy 时,等号成立 7(2018 茂名市学考模拟)若 a1,则 a 1 a1的最小值是 3 原式a1 1 a112 a1 1 a113. 8(2018 中山市高二月考)已知 a,bR*,且 a2b1,则1 a 1 b的最小值 为 32 2 1 a 1 b(2ab) 1 a 1 b 3b a 2a b 32 b a 2a b 32 2.
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